WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 16 |

Как показывает вышеизложенный комментарий, модель рынка действительно является частным случаем абстрактной модели экономики и, следовательно, в её рамках может быть рассмотрено понятие равновесия с нестандартными ценами, адаптированная версия которого приводится ниже. Однако сначала мы напомним стандартное неоклассическое понятие конкурентного равновесия.

Состояние x X и вектор p Q называется конкурентным, или вальрасовским равновесием модели Em, если x сбалансирован, т. е.

xi = i, и при этом Pi(x) Bi(p) = для всех i I. Здесь I I символом Bi(p) обозначено бюджетное множество потребителя i:

Bi(p) = {y Xi | py i(p)}.

Для данного p Q и каждого i I рассмотрим нестандартные бюджетные множества Bi (p), определяемые посредством ограничения px i(p) + i, т. е. положим Bi (p) = {x Xi | px i(p) + i}, i I.

Заметьте, что в отличие от случая абстрактной модели, бюджетные множества являются подмножеством собственного потребительского множества, а не множества всех допустимых состояний модели. Вектор 0, определяющий стоимости, добавленные к правым частям бюджетных ограничений потребителей, будем называть, как и в случае абстрактной модели, схемой перераспределения избыточных стоимостей.

Определение 3.1.1 Допустимое состояние x X экономики Em на зывается равновесием с нестандартными ценами p Q и фиксиро ванной схемой перераспределения избыточных стоимостей IRI, 0, если выполнены условия:

(i) xi stBi (p) i I;

(ii) Pi(x) stBi (p) = i I;

(iii) x A(X ).

94 Глава 3. Неоклассические модели экономики Тройку (x, p, ) будем называть -равновесием с нестандартными ценами.

Иллюстрацией определения 3.1.1 служит приведённый выше пример 2.2.1 экономики обмена, а также следующий пример.

Пример 3.1.1 Рассмотрим заимствованный из [22] пример экономики, в котором нет ни обычного равновесия, ни равновесия и даже полуравновесия с нестандартными ценами, но есть нестандартное равновесие с трансферабельными стоимостями (см. рис. 3.1.1).

В модели имеется два агента и два типа продуктов. При этом X1 = {(x1, x2) | 0 xj 10, j = 1, 2}, X2 = X1 {(x1, x2) | x2 4 - x1}, полезности заданы по формулам u1 = 16-(x1 -4)2 -(x2 -4)2 и u2 = x2, а Q = {p IRl | p 2} множество допустимых рыночных цен и 1 = (1, 3), 2 = (2, 2) исходные запасы.

При ценах p = (p1, p2) таких, что p1 0, оптимальная реакция 1-го агента такова, что его спрос на первый товар 4, т. е. больше общего имеющегося в распоряжении количества данного товара. Поэтому ни равновесие, ни даже полуравновесие в этом случае невозможно.

x grad uТочка насыщения uxРис. 3.1.При p2 0 с нереальным запросом товара x2 выступает 2-й агент:

x2 = 10. Следовательно, должно быть p > 0. При p2 > p1 оптимальная / реакция 2-го агента совпадает с 2, а 1-го такова, что x1 > 1, т. е. баланс снова недостижим даже в форме неравенства. При p1 > p2 оптимальная / реакция 2-го агента это (0, x2), где x2 4, а оптимальная реакция 1-го 2 такова, что суммарный спрос на второй продукт > 5 и превышает предложение. Последнее следует из того, что все наборы (x1, x2), которые 1 лучше 1 и такие, что x2 1 (чтобы выдерживался баланс), находятся 3.1. Модель рынка с нестандартными ценами при этих ценах вне бюджетного множества 1-го участника. При ценах p = (1, 1) так же как и при нестандартных ценах p = (1 +, 1 - ), 0, > 0, спрос на x2 выше предложения. Цены (1-, 1+) дают превышение спроса на x1 над его предложением. Все случаи, когда нестандартность в ценах играет роль, исчерпываются двумя вышеуказанными. В остальных ситуациях бюджетные множества участников при ценах p и stp совпадают (см. утверждение 2.4.2). Таким образом, при любых ценах из Q условие сбалансированности нарушается. Однако в этой экономике есть состояние нестандартного равновесия: x1 = (2, 2), x2 = (1, 3), реализующееся при ценах p = (1 -, 1 + ) и трансферабельных стоимостях = (0, 2) (а также при = (, 2) и любых 0, > 0, > 0). Как видим, 1-й агент всего лишь выменял единицу 1-го продукта на единицу 2-го у 2-го агента, при этом оба существенно повысили свою полезность, но для описания этой ситуации потребовались нестандартные цены и трансферабельные стоимости.

Следующая теорема существования нестандартных -равновесий фактически является следствием теоремы 2.3.1 о существовании -квазиравновесий с нестандартными ценами в абстрактной модели E.

Для модели рынка Em могут быть использованы стандартные предположения A1–A7 и A3. Здесь нужно только уточнить форму закона Вальраса:

A6m (закон Вальраса) i(p) = p, i при любом p Q.

I I Отметим также, что в простейшем варианте функций распределения дохода, имеющих вид i(p) = p, i, p Q, для того чтобы удовлетворить предположению A7 (непустота бюджетных множеств), достаточно требовать i Xi.

Теорема 3.1.1 Пусть Em удовлетворяет предположениям A1, A2, A3, A4, A5, A6m, A7 и 0 int Q. Тогда для каждого = (1, 2,..., n) IRN, такого, что 0, существуют -равновесия, такие, что = · при некотором нестандартном 0.

Доказательство теоремы 3.1.1. Воспользуемся теоремой 2.3.1, применённой к абстрактной модели экономики, в которой N = I, X = Xi, I Q = {(q1,..., qn) (L )N | (qi)i Q i N & (qi)j = 0 i = j, i, j N }.

Функции дохода i(.) агентов абстрактной экономики определим по формуле i i(x, q) = i(qi), i N.

96 Глава 3. Неоклассические модели экономики Тогда для Ti = {i} имеем Ti = N = T и в данном случае получаем N j Leff = { q = (q1,..., qn) (L )N | qi = 0 i N, j = i, j N }.

Следовательно, в силу 0 int Q заключаем 0 int| (Q Leff ), что Leff заканчивает проверку условий теоремы 2.3.1. Пусть (x, q, ) соответствующее -квазиравновесие абстрактной модели (см. Определение 2.3.3). Прежде всего, рассмотрим условие (iv) эффективности равновесных цен q A(Q). Из определения F (.) (см. выше) несложно заключить, что для всех q = (q1,..., qn) (L )n имеет место ker qi kerF (.) & q Leff N p IRl : p = (qi)i & (qi)j = 0 i = j, i, j N.

Следовательно, из принципа переноса и по определению A(Q) заклю чаем существование такого p Q, что p = (qi)i i N & (qi)j = 0 i = j, i, j N.

Наконец, из определений и того, что в модели рынка функции дохода потребителей не зависят от текущего состояния экономики, легко заключить, что тройка (x, p, ) является -равновесием с нестандартными ценами модели Em.

Замечание 3.1.1 Теорему 3.1.1 можно применить к чисто стандартному случаю, с целью определить условия, при которых существуют обычные конкурентные равновесия. Действительно, это в точности те условия, которые обеспечивают выполнение условия Слейтера для i(.) при “потенциально равновесных” (например, всех!) p Q, таких, что для p = 0 имеет место y Xi : py < i(p), i I.

Дополнительно, с тем чтобы избавиться от трансферабельных стоимостей, обычно используется предположение о локальной ненасыщаемости предпочтений в области всех достижимых состояний экономики:

x A(X ), i I xi cl Pi(x).

Чтобы убедиться в этом, прежде всего укажем, что при условии ненасыщаемости цены p = 0 не могут реализоваться как равновесные, ибо 3.1. Модель рынка с нестандартными ценами тогда Bi (p) = Xi и нарушено условие (ii) определения 3.1.1. Следова тельно, p = 0, p Q и, так как тогда можно считать функции i(.) однородными по p степени 1 (см. замечание 2.3.1), то можно предпола гать, что цены равновесия удовлетворяют ||p|| = 1 (достаточно разде лить бюджетное ограничение на ||p|| и рассмотреть новые трансферабельные стоимости i = i/||p||). Далее, используя утверждение 2.4.2, заключаем stBi (p) = {y Xi | yp i(p) + i}, где p = st(p), i = st(i). Теперь, в силу (iii) и локальной ненасы щаемости предпочтений для равновесных (x, p) X Q находим xip = i(p) + i для всех i I. Суммируя эти неравенства и используя закон Вальраса A6m, в силу xi = i, находим i = 0, что I I I при i 0 возможно только при i = 0 для всех i I. Таким образом (x, p) стандартное равновесие модели Em.

Далее, рассмотрим модель Em применительно к случаю, в котором функции дохода принимают наиболее естественный вид i(p) = p,, а также при полиэдральных потребительских множествах Xi. В данных условиях возможно совместное использование теорем 3.1.1, 2.4.2.

Теорема 2.4.2 характеризует структуру бюджетных множеств, по отношению к которым и формулируется понятие -равновесия в модели Em. Теперь, в силу произвола в выборе нестандартного вектора = (1,..., n) 0 это вектор, задающий в теореме 3.1.1 вектор в виде =, 0, без ущерба к содержательной стороне вопроса можно считать стандартным и, более того, конкретизировать (например положить = (1, 1,..., 1), постулируя тем самым равномерную схему перераспределения избыточных стоимостей = (,,..., )). В таком случае величину можно рассматривать как своего рода цену на избыточные финансовые ресурсы и, таким образом, вектор (p, ) можно понимать как нестандартный расширенный вектор цен. Сказанное выше в данных условиях можно положить в основу понятия “обобщенного равновесия” в модели Em, по сути очень близкого к понятию равновесия в меновых стоимостях (а также и обобщённого равновесия) по Данилову – Сотскову (см. [4]). В силу теорем 3.1.1 и 2.4.2 отвечающие этому понятию состояния экономики будут существовать только если i Xi и при прочих других “естественных” предположениях A2, A3 Напомним, что в силу замечания 2.2.1 при полиэдральных потребительских множествах или порядковых предпочтениях предположение A3 эквивалентно более слабому требованию A3.

98 Глава 3. Неоклассические модели экономики и A4 (ограниченность сбалансированных состояний, открытость графика предпочтений, а также их выпуклость и иррефлексивность). Итак, перейдём к определению (одному из возможных вариантов) обобщённого равновесия.

Любой упорядоченный набор ортонормальных векторов {ej}j=k, j=k l, связанное с ним число h 0 и вектор = (1,..., ) 0 назовём -обобщённой ценой рынка. Набору {ej}j=k сопоставим матрицу j=P, строка j которой совпадает с вектором ej. Вектору x IRl поставим в соответствие k-мерный вектор стоимостных оценок Px. Теперь предположим, что некоторый потребитель имеет “доходы”, формализованные посредством k-мерного вектора. Тогда его потребительский вы бор x IRl должен удовлетворять “бюджетному ограничению” Pxleks, где посредством обозначено лексикографическое упорядочивание в leks IRk.2 Таким образом, в силу свойств введение обобщённой цены и leks связанный с ним способ стоимостного сравнения потребительских наборов, постулируют иерархию стоимостных оценок, отвечающую упорядочению, заложенному в определении обобщённой цены посредством набора векторов {ej}. В модели рынка, имеющийся у потребителя, вектор доходов естественно положить равным набору стоимостных оценок, полученных из имеющихся у него исходных ресурсов. Тем самым логично считать, что потребительский выбор торговца i удовлетворяет ограничению Px Pi для x Xi. Однако множества вида leks {x Xi | Px Pi} leks обладают плохими математическими свойствами и, в частности, могут быть незамкнуты (что может повлечь невозможность решить задачу потребителя). Более того, нетрудно видеть, что в общем случае, даже при “обычных” ценах, в силу закона Вальраса все рынки продуктов могут быть одновременно сбалансированны (в форме равенства) только при наличии какого-либо механизма перераспределения избыточных стоимостей (в соответствии с некоторой схемой перераспределения). Оказывается, что в случае обобщенного стоимостного регулирования достаточно использовать этот механизм только на последнем, k-м иерархическом уровне. Этот механизм вводится с помощью вектора = (1,..., n) 0, определяющего пропорции (доли) потребителей в общем объёме избыточной стоимости k-го уровня. В итоге в качестве Если x, y IRk, то xleksy x = y или r k : xj = yj j r & xr+1 < yr+1.

3.1. Модель рынка с нестандартными ценами ключевого понятия бюджетного множества с обобщённой ценой примем множества вида Bi (e1,..., ek) = cl{x Xi | Px P(i + i ek)}, (3.1.1) leks где i = h i, i I, т. е. мы полагаем = h. Теперь, чтобы ввести понятие -обобщённого равновесия, достаточно в определении 3.1.1 заменить нестандартный вектор цен p обобщённой ценой (e1,..., en, h), предположить стандартность = (1,..., n) = h· и заменить в усло виях (i) - (iii) множества stBi (p) на Bi (e1,..., en).

Бюджетным множествам, заданным формулой (3.1.1), можно дать и другую, более привычную характеризацию. Для каждого i I определим номер t(i) k по следующему правилу: положим t(i) = k, если функционалы ej опорны к Xi в точке i для всех j < k; в противном случае определим такой t(i) < k, что все ej опорны в i к Xi при j < t(i) и при этом существует такой y Xi, что et(i), y < et(i), i. Теперь, анализируя свойства и формулу (3.1.1), несложно убедиться в том, leks что при t(i) < k имеет место Bi (e1,..., en) = {x Xi | ejx = eji, j < t(i) & et(i), x et(i), i }, (3.1.2) а при t(i) = k имеем Bi (e1,..., en) = {x Xi | ejx = eji, j < k & ek, x ek, i + i}.

(3.1.3) Имеется ещё одна возможность найти номер t(i), определяющий “длину цепочки линейных ограничений” в структуре обобщённого бюджетного множества. Именно, для i I определим k-мерный вектор i как минимум оператора P : IRl IRk на множестве Xi, где на IRk рас сматривается лексикографическое упорядочение. Отметим, что при leks многогранном Xi этот минимум всегда существует3. Далее сравним век тор i с вектором P(i + i ek). Очевидно, что i leks P(i + i ek). Теперь в качестве t(i) нужно взять минимальный номер компоненты, для которой имеет место строгое неравенство (i)j < (P(i + i ek))j. Из сказанного в частности следует, что обобщённое бюджетное ограничение Убедиться в этом можно по-разному, но проще всего рассмотреть нестандартный функционал p = 1 e1 + 2 e2 + · · · + k ek, где 1 = 1 и j+1/j 0 & j+1 > для всех j = 1, 2,..., k - 1. Теперь, поскольку Xi = co A при некотором конечном A IRl, то у нестандартной задачи оптимизации px min, x Xi имеется решение в (стандартном) множестве A. Очевидно, что P реализует искомый минимум оператора P на Xi.

100 Глава 3. Неоклассические модели экономики Px P(i + i ek) удовлетворяет обобщённому условию Слейтера на leks < Xi, если только i > 0: существует y Xi, такой, что Py P(i +i ek).

leks В случае i = 0 условие Слейтера может нарушиться, причём только если ej, Xi ej, i для всех j = 1, 2,..., k.

Итак, если резюмировать сказанное в комментариях к понятию обобщённого равновесия, то можно заключить, что это понятие полностью совпадает с понятием равновесия с нестандартными ценами и схемой распределения избыточных стоимостей, заданной с помощью стандартного вектора = (1,..., n) 0, определяющего трансферабельные стоимости по правилу = ·, где нестандартный 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.