WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 16 |

Далее покажем, что для t 2 и любого j = 2,..., t - 1 имеет место 1e1 + · · · + jej, X 0.

Действительно, возьмём любой стандартный x X и рассмотрим в упорядоченном множестве {e1x,..., ejx } первый ненулевой элемент erx, если он вообще существует. Так как r t-1, то из предыдущего заключаем, что этот элемент положительный. Следовательно, ввиду стандартности ex и в силу > 0 & +1/ 0, = 1,..., k, где k+1 = 0, заключаем 1e1 + · · · + jej, x = rerx + · · · + jejx 2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений что и требовалось доказать. Но тогда в силу леммы 2.4.2 заключаем 1e1 + · · · + jej, X 0. (2.4.19) Далее докажем собственно тождество (2.4.18). Для t = 1 оно следует из Утверждения 2.4.2. Предположим, t {2,..., k} и покажем, что B(p) = B(t, p, w).

Начнём с проверки включения B(p) B(t, p, w)24. С этой целью возьмём произвольный x B(p) и предположим, что x B(t, p, w). В таком случае по выбору t найдётся такой номер j {1,..., t}, что ejx > 0, ex = 0, = 1,..., j - 1. (2.4.20) Теперь рассмотрим x x, x X и подсчитаем 1 1 px = [1e1 + · · · + j-1ej-1]x + ejx + [j+1ej+1 + · · · + kek]x.

j j j В силу (2.4.19) первое слагаемое суммы из правой части неотрицательно (при j = 1 оно отсутствует), второе слагаемое превосходит 0 на стандартную величину, а третье пренебрежимо мало. Следовательно, (1/j)px строго положительно, откуда px > 0 для всех x X, x x, что противоречит выбору x B(p). Таким образом B(p) B(t, p, w) доказано.

Докажем включение в равенстве (2.4.18). При t = k+1 доказывать нечего. Пусть t k и x B(t, p, w). Предполагая x, et = 0 (напомним, что w = 0), возьмём x B(t, p, w), такой, что x, et < 0, и оценим величину x, p :

k k x, p = x, jej = t x, et + j x, ej = j=1 j=t+ k j t x, et + x, ej.

t j=t+Так как j/t 0 при j > t, то должно быть x, p /t d < 0 при некотором стандартном d. Теперь положим xµ = (1 - µ)x + µ x, где µ 0 и µ 0. По построению xµ y, xµ X, и справедлива оценка k xµ, p = (1 - µ) x, p + µ x, p (1 - µ) j x, ej + µtd.

j=t+В этой части, включая лемму 2.4.2, мы следуем рассуждениям А.В. Коновалова.

Оригинальное доказательство автора несколько более длинное и громоздкое.

84 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Ясно, что при µ = t+1/t 0 величина, стоящая в последнем неравенстве справа, будет отрицательна, и, стало быть, xµ, p 0. Таким образом, по произвольно заданному x B(t, p, w) найден xµ y, при надлежащий множеству {x X | p, x p, w }, что всё и доказывает.

Формулировка и особенно анализ доказательства Теоремы 2.4.1 могут породить сомнения в необходимости предположения о полиэдральности (многогранности) множества X и желание заменить его чемнибудь более слабым, например выпуклостью. Следующий пример показывает, что для выпуклых множеств результат неверен.

Пример 2.4.1 Пусть множество X IR3 задано формулой X = {(x1, x2, x3) | x1 0 & x2 < 0 x2 0 & x1 x2} и изображено на рис. 2.4.1.

xxX xРис. 2.4.Рассмотрим в качестве нестандартных цен вектор вида p = (1, 0, 0) + 22(0, -1, 0) + 4(0, 0, 1) при 0, > 0. Положим w = 0 и исследуем структуру множества st{x X | p, x p, w = 0}. С учётом строения множества X, для околостандартных x = (x1, x2, x3) X получаем px 0 = x1 0 & x1 0 = st(x1) = 0, px 0 = x2 - 22x2 0 = x2 0 = st(x2) = 0, 2 2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений px 0 = 4x3 22x2-x2 max(-x2+22x2) = 4 = st(x3) 1.

2 Тем самым доказано, что st{x X | px 0} {(y1, y2, y3) X | y1 = y2 = 0, y3 1}.

Чтобы убедиться в истинности обратного включения, достаточно заметить, что для любого y = (0, 0, y3), удовлетворяющего y3 1, вектор y = (4, 2, y3) y, принадлежит X и удовлетворяет py 0.

В итоге имеем “бюджетное” множество, строение которого отличается от описанного в теореме 2.4.1. Анализ данного примера может подсказать гипотезы о строении “бюджетных множеств при выпуклом X”.

Последнее, однако, остаётся открытым вопросом.

Теорема 2.4.1 не дает непосредственного ответа на вопрос относительно ключевого понятия для теории равновесия устройства бюджетного множества с нестандартными ценами и трансферабельными стоимостями. Тем не менее эта теорема является достаточно мощной, чтобы дать корректный ответ, нужно всего лишь воспользоваться следующим несложным техническим приёмом.

Рассмотрим (m + 1)-мерное множество X = X {1} и вектор цен p = (p, -). Тогда проекция множества B = {x X | px 0} на первые m компонент является в точности множеством B(p, ) = {y X | py }. (2.4.21) Ясно, что стандартная часть множества B может быть описана посредством теоремы 2.4.1 (относительно w = 0), а её проекция на IRm совпадает со стандартной частью множества B(p, ) (в силу непрерывности проектирующего отображения). Далее, чтобы воспользоваться теоремой 2.4.1, с целью описать stB, нужно иметь представление вектора нестандартных цен (p, -) в виде “разложения по ортонормальному стандартному базису”, определённому в лемме 2.4.1 с помощью формулы (2.4.17). Полученное на этом пути описание структуры множества stB(p, ) имеет довольно громоздкий вид, и мы его опускаем. Однако важен сам принцип описания это множества типа B(t, p, w), определённые в пространстве IRm+1. Из последнего в частности следует, что стандартные части множеств вида (2.4.21) имеют следующие небезынтересные математические свойства.

86 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Следствие 2.4.3 Если X полиэдральное множество, то при любом IR и каждом y stB(p, ) имеет место st{z X | p, z p, y } stB(p, ).

Следствие 2.4.4 Если X полиэдральное множество, то при любом околостандартном x X имеет место st{z X | p, z p, st(x) } st{z X | p, z p, x }.

Следующий пример показывает, что включение, описанное в следствии 2.4.4, может быть собственным.

Пример 2.4.2 Пусть X = [0, 2] [0, 2], p = (1, ), x = (, 1) при 0, > 0. Так как st(x) = (0, 1) и e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), где p = 1 · e1 + · e2, то в силу теоремы 2.4.1 должно быть st{z X | p, z p, st(x) } = {(y1, y2) X | y1 = 0, y2 1} = {0}[0, 1].

В то же время {(y1, y2) X | y1 + y2 2} {0} [0, 2] и {(y1, y2) X | y1 + y2 2} [0, 2] [0, 2], откуда следует st{(y1, y2) X | y1 + y2 2} = {0} [0, 2].

Особый интерес в приложениях понятия равновесия с нестандартными ценами и схемой перераспределения избыточных стоимостей к классическим моделям экономики представляет выяснение структуры бюджетных множеств с трансферабельными стоимостями, заданных с помощью функций распределения дохода, имеющих вид скалярного произведения (содержательно это стоимость исходных запасов, по определению представленных стандартными векторами при нестандартных ценах). Изучение внутренней структуры множеств этого типа является 2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений предметом нижеследующих рассмотрений. В отличие от общего случая множеств типа (2.4.21) мы дадим, используя специфику определения, полноценное описание структуры этих множеств в исходных терминах нестандартной цены и заданных трансферабельных стоимостей (а не в терминах расширенного функционала цен, как это было отмечено выше).

Итак, далее нас будет интересовать внутреннее устройство множеств вида Bw(p, ) = st{x X | px pw + } при некотором нестандартном 0, где X IRm, а w любой стандартный вектор из IRm. Прежде всего установим следующий вспомогательный результат.

Лемма 2.4.3 Пусть множество X IRm выпукло и замкнуто, а нестандартные вектора p, p IRm и величины > 0, > 0 удовлетворяют условиям ||p - p || 0 & и найдется такой околостандартный z X, что pz pw. Тогда Bw(p, ) = Bw(p, ).

Доказательство леммы 2.4.3. Сначала установим Bw(p, ) = Bw(p, ).

Предполагая >, покажем, что имеет место Bw(p, ) Bw(p, ).

Действительно, пусть x Bw(p, ). По определению найдется такой y x, y X, что py pw +. Предположим, что py > pw + (иначе нечего доказывать), и рассмотрим z = (1 - )y + z = y + (z - y), где нестандартный вектор z выбран из условия леммы, а 0 из условия = (1 + ). По построению, z y x, z X, а из предположений следует, что pz - py < -, откуда получаем pz pw + + (z - y)p < pw + - = pw +, что все и доказывает. Теперь установим Bw(p, ) = Bw(p, ).

88 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Положим p = p-p. По условию имеем p 0, а значит, найдется такой 0, > 0, что p 0.

Но тогда для всех околостандартных y X будем иметь |p y| ||p || · ||y||, откуда следует p y - py p y +, что влечёт Bw(p, - ) Bw(p, ) Bw(p, + ).

Однако в силу доказанного выше, левая и правая части этой цепочки включений равны Bw(p, ).

Следующая теорема дает полную характеристику бюджетных множеств с нестандартными ценами и трансферабельными стоимостями.

Используя лемму 2.4.1 и представление (2.4.17), для данного p IRm поставим в соответствие нестандартной величине > 0 такой j = 1,..., k + 1, что /j-1 0 & /j 0. (2.4.22) В (2.4.22) для определенности полагаем 0 = + и k+1 = 0. Такой j = j(p, ), в силу сказанного и леммы 2.4.1, определен корректно. Положим µ = st(/j) при /j.

Теорема 2.4.2 Пусть X выпуклое полиэдральное множество, w X, а p IRm, нестандартный > 0 и номер j = j(p, ) связаны соотношением (2.4.22). Тогда истинна одна из альтернатив:

(i) Bw(p, ) = X при /1 +;

(ii) существует такой t < j, что Bw(p, ) = B(t, p, w), причем найдется такой y X, что ety < etw;

(iii) Bw(p, ) = {x X | ery = erw, r < j} при /j +;

(iv) Bw(p, ) = {x X | ery = erw, r < j, ejy ejw + µ} при /j +.

2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений Доказательство теоремы 2.4.2. Рассмотрим (m+1)-мерное множество X = X{1}, вектор “исходных” запасов w = (w, 0) и “бюджетное” множество B = {x X | px pw}, (2.4.23) где вектор цен p определяется по формуле k (p, -), при /j +, p = p - rer, r=j p = j -jµ), при /j +, p = rer.

(p, r=По построению, в силу условия w X и Леммы 2.4.3 проекция стандартной части множества (2.4.23) совпадает с Bw(p, ). Чтобы убедиться в этом прежде всего заметим, что всегда имеет место st(pr| [B]) = pr| [stB], I Rm Rm I где pr| [A] означает проекцию множества A на подпространство L. ДаL лее, из построения следует, что для любого x X при /j + имеем p x - = p, (x, 1), а для второй альтернативы при = jst(/j) выполняется p x- = p, (x, 1). Таким образом st(pr| [B]) совпадаI Rm ет с Bw(p, ) или Bw(p, ) соответственно. Поскольку в обоих случаях для данных p, p,, выполнены условия Леммы 2.4.3, то мы имеем искомый результат.

Далее, из построения мы можем также написать:

p = re + e, r j j r

Поскольку система векторов {e}rj и коэффициентов {}rj удовлеr r творяет требованиям леммы 2.4.1 (строго говоря, вектор e следовало j бы отнормировать, однако это несущественно), то применима теорема 2.4.1. Альтернативы (i)–(iii) получаются немедленно. При /j + 90 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами величина µ = st(/j) 0 существует, и в силу теоремы 2.4.1 при t = j в качестве последнего линейного ограничения, определяющего B(t, p, w), будем иметь (y, 1), (ej, -µ) (w, 0), (ej, -µ) = yej wej + µ, что все и доказывает.

Глава Неоклассические модели экономики 3.1 Модель рынка с нестандартными ценами Модель рынка или, в другой терминологии, экономики чистого обмена, представляет из себя одну из конкретизаций абстрактной модели экономики типа Эрроу–Дебре, рассмотренной в первом разделе предыдущей главы. В рамках этой модели предполагается, что каждый экономический агент является “торговцем” (потребителем), торговцы торгуют (обмениваются) между собой продуктами, номенклатура которых образует множество {1, 2,..., l}. Торговцы “потребляют” купленные (вымененные) наборы потребительских благ, которые математически представлены как вектора пространства IRl. Будучи ограниченными разного рода институциональными, этическими и просто физическими рамками, допустимые наборы этих благ образуют “потребительские множества”, которые потенциально могут быть разными у разных агентов. Итак, пусть I = N = {1, 2,..., n} множество потребителей и IRl пространство продуктов, а Xi IRl потребительское множество потребителя i. Тогда множество X = Xi IRln будет iI совокупностью всех допустимых состояний экономики, где IRln = L отождествляется с пространством состояний. В простейшем варианте экономики обмена предполагается, что у каждого потребителя имеется вектор исходных запасов, обозначенный как i IRl, i I. Таким обра92 Глава 3. Неоклассические модели экономики зом, заданный набор векторов (i)iI формализует в модели отношения собственности, и при = (1,..., n) X вектор можно принять в качестве “исходного” состояния экономики. В соответствии с интерпретацией достижимыми являются такие состояния экономики, которые представляют из себя допустимые обмены совокупных исходных запасов i, т. е., принимая F (x) = xi при x = (x1, x2,..., xn) L, I I для = (1,..., n), получаем A(X ) = {x X | xi = i}.

iI iI С содержательной точки зрения интересы потребителей сосредоточены в сфере индивидуального потребления, поэтому в модели рынка предполагается отсутствие внешних влияний и независимость предпочтений от текущих (рыночных) цен. Таким образом, предпочтения потребителей заданы с помощью точечно-множественных отображений Pi : X X и удовлетворяют определению ограниченных внешних влияний из первого раздела предыдущей главы (см. формулу (2.1.2)) при T = I и Ti = {i}, Li = IRl для i I, где при Pi(x) = имеет место i-1 n {i} Pi(x) = Xj Pi (x) Xj.

j=1 j=i+Для простоты изложения в пределах этого раздела мы будем отожде{i} ствлять отображения Pi(.) и Pi : X Xi.

Модель оснащена механизмом стоимостного регулирования, который включает в себя множество допустимых рыночных цен Q IRl, а также заданные для каждого i I функции распределения дохода i : Q IR. Таким образом, в отличие от абстрактной модели, где функционируют индивидуальные цены, в модели обмена цены общие, которые являются элементами l-мерного пространства, и, кроме того, функции распределения дохода зависят только от текущих рыночных цен. В простейшем варианте, для заданного набора исходных ресурсов, доход потребителя i определяется в виде i(p) = p, i. От цен p Q можно перейти к соответствующему набору индивидуальных цен q(p) = q = (q1,..., qn), если положить p, при i = j, (qi)j = 0, при i = j, для i, j I. Отметим, что в терминах абстрактной модели этот набор индивидуальных цен является эффективным по отношению к заданному выше оператору F, ибо, если xi = 0, т. е. x kerF, то, так I 3.1. Модель рынка с нестандартными ценами как qi = (p, p,..., p), имеем qi, x = pxi = p, xi, что I I I I означает ker qi kerF.

I В краткой форме модель рынка может быть записана в виде пятёрки:

Em = I, IRl, {Xi, Pi(.)}iI,, Q.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.