WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 16 |

Доказательство теоремы 2.3.1. Выберем из условия теоремы 2.3.и найдём такое нестандартное действительное > 0, чтобы было выполнено условие 0. Положим =. Далее воспользуемся теоремой 2.2.2, применяя к которой принцип переноса, заключаем существо вание -равновесий. Пусть x L, zi X, i N {0} и q Q нестандартные вектора, выбранные в соответствии с определением 2.2.2, относительно нестандартного вектора 0, где в условиях (i)–(iv) все множества заменены их -изображениями. Далее, в силу A1, A2 и конечномерности пространства L множество A(X ) компактно. Отсюда, используя A1, несложно доказать, что норма векторов zi при ограничена стандартной величиной22 и, следовательно, в силу конечномерности L и нестандартного критерия компактных множеств (см. те орему 1.3.7), вектора zi, i N {0} околостандартны. Таким образом, существуют st(zi ) для всех i N {0} и существует st(x). Поскольку ||zi - x|| || ||1 0, то st(zi ) = st(x) = st(zj ) для всех i, j. Теперь положим q = q, xi = zi i N, x = st(zi ) при любом i N, x = z0 и = · при нестандартном 0 1, существование которого обеспечивает теорема 2.2.2 и принцип переноса. Покажем, что тройка (x, q, ) является нестандартным -квазиравновесием абстрактной модели E.

Действительно, требование (iv) определения 2.3.3, а также свойство q = q Leff (см. (2.2.10)) обеспечивают теорема 2.2.2 и принцип переноса. Так как F (x) = F () = stF (x) = F (st(x)) (последнее из непрерывности F (.)) и x = st(x) = st(zi ) X (из zi X и в силу нестандартного критерия замкнутости), то по определению x A(X ), что обеспечивает условие (iii). Более того, по построению zi Bi (x, q), откуда x = st(zi ) stBi (x, q), что означает истинность (i) для всех i N. Наконец рассмотрим требование (ii) определения 2.3.3. Опять, в силу теоремы 2.2.2, пункта (ii) определения 2.2.2 и принципа переноса Это следует из того факта, что ||zi - x||2 || ||1 при x L, F (x) = F (), откуда, используя компактность A(X ) и A1, можно заключить, что zi принадлежат изображению некоторой стандартной компактной окрестности множества A(X ).

2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений заключаем Pi(zi ) {y X | qi, y i(z0, q) + i} = i N.

Далее применим утверждение 2.3.1, получая si[Pi(zi )] st{y X | qi, y i(z0, q) + i} = i N, где по построению stBi (x, q) = st{y X | qi, y i(z0, q) + i}.

Наконец, по построению, в силу утверждения 2.3.2 и предположения A3 имеем P i(x) = si[Pi(.)](x) si[Pi(zi )], что совместно с предыдущим и доказывает пункт (ii). Теорема 2.3.доказана.

2.4 Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений В настоящем разделе рассматриваются наиболее важные для теории равновесия с нестандартными ценами математические свойства бюджетных множеств разного типа и топологические свойства предпочтений. В рамках предположения о полиэдральности (многогранности) множества допустимых состояний экономики будет детально исследована структура бюджетных множеств с нестандартными ценами и схемой перераспределения избыточных стоимостей. Именно множества этого типа фигурируют в базисном для данной теории понятии равновесия с нестандартными ценами и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей (определения 2.3.2, 2.3.3).

2.4.1 Бюджетные множества, условие Слейтера и непрерывные предпочтения На первоначальном этапе рассматриваются наиболее общие свойства бюджетных множеств и предпочтений, вытекающие собственно из свойств операторов st(.) и si(.). Прежде всего, укажем на взаимосвязь между этими операциями, следующую непосредственно из их опреде ления. Напомним, что для всякого внутреннего подмножества A X, 76 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами где X топологическое пространство, определены следующие подмножества stA = st(A) = {y X | µ(y) A = }, siA = si(A) = {y X | µ(y) A}, где µ(x) это монада точки x L. Операции st(.) и si(.) связаны между собой соотношениями:

st(A) = X \ si(X \ A) & si(A) = X \ st(X \ A). (2.4.15) Нижеследующее утверждение фактически является следствием нестандартного критерия открытости множества (см. теорему 1.3.5).

Утверждение 2.4.1 Пусть G X подмножество некоторого топологического пространства X. Тогда истинны формулы st(G) = cl(G) & si(G) = int(G), (2.4.16) где cl(.) и int(.) означают операции взятия замыкания и взятия внутренности множества, соответственно. В частности, если множество G замкнуто, то st(G) = G, а если оно открыто, то si(G) = G.

Доказательство утверждения 2.4.1. В силу (2.4.15) чтобы доказать (2.4.16), достаточно установить истинность одного из соотношений в (2.4.16). Докажем, что siG = intG.

Чтобы убедиться в истинности включения в последнем соотношении, возьмём любой g intG. Поскольку intG G, а intG является открытым подмножеством в X, содержащем точку g, то по определению монады в точке заключаем µ(g) [intG] G, что всё доказывает.

Чтобы установить включение, выберем любой g siG. По опре делению имеем µ(g) G и µ(g) = {D | D Wg}, где Wg совокупность всех открытых подмножеств X, содержащих точку g. Далее, воспользуемся теоремой 1.3.4, которая утверждает, что “монада в стандартной точке содержит некоторое внутреннее подмножество, принадлежащее -изображению совокупности всех открытых 2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений окрестностей данной точки”, т. е. имеет место D µ(g) G для неко торого D Wg. Следовательно, в универсуме нестандартной матема тики U истинно D Wg : D G, откуда, применяя принцип переноса (можно “стереть” звёздочки), заключаем:

D Wg : D G.

Следовательно, g intG что и требовалось доказать.

Значение доказанного утверждения для теории равновесия с нестандартными ценами определяет следующее Следствие 2.4.1 Пусть бинарное отношение, определённое на множестве X допустимых состояний абстрактной модели экономики E, удовлетворяющее предположению A3, т. е. имеет открытый график в X X. Тогда = si( ) =.

В условиях этого следствия, комбинируя его с Утверждением 2.3.2, заключаем, что если точечно-множественное отображение P : X X имеет открытый график, то P (st(x)) si(P (x)), если st(x) существует. Тем самым, если нестандартный x X опти мален на некотором внутреннем множестве X для P (.), т. е. если P (x) X =, то st(x) будет оптимален (если существует) для P (.) на X.

Другой важный результат состоит в том, что специфика нестандартных цен может проявиться только в ситуации, когда нарушено условие Слейтера в задаче потребителя при стандартизации нестандартных цен. А именно, если стандартизовать цены (т. е. перейти к их стандартным частям) и трансферабельные стоимости (величины, добавляемые к правым частям бюджетных ограничений) и определить соответвующие стандартные бюджетные множества, то это будут в точности множества, использованные в определении 2.3.3.

Утверждение 2.4.2 Пусть X L выпуклое замкнутое подмноже ство, а p L и IR таковы, что существуют p = st(p) и = st(), и при этом выполнено “условие Слейтера”: существует x X, такой, что px <. Тогда имеет место st{x X | px } = {x X | px }.

78 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Доказательство утверждения 2.4.2. Чтобы установить, возьмём лю бой x X, такой, что px и существует st(x ). В силу замкнутости X и утверждения 2.4.1 заключаем st(x ) X. Далее, стандартизуя неравенство, находим st(x )st(p) = st(px ) st(), что всё доказывает.

Установим включение. Пусть x X и удовлетворяет px.

Положим p = p + p и = +, где по определению p 0 и 0. Необходимо найти такой x 0, чтобы x+x X и при этом (p + p)(x + x) +. Раскрывая последнее неравенство находим (p + p)(x + x) + px + p · x + p · x + p · x +, что, с учётом ||x|| < 1, будет выполнено, если показать, что имеет место p · x ( - px) + - p · x - ||p||.

Последнее эквивалентно p · x ( - px) + при = - x · p - ||p|| 0. Далее, при ( - px) > 0, положим x = 0, а при ( - px) = 0 воспользуемся условием Слейтера и возьмём любой x X, удовлетворяющий условию px <, и такой 0, > 0, чтобы выполнялось условие p(x-x). В последнем случае положим x = (x - x). Поскольку по построению имеем x + x X и px, то необходимое неравенство доказано, а с ним и утверждение 2.4.2.

Следствие 2.4.2 Применительно к концепции -квазиравновесия с нестандартными ценами (x, q, ) в модели экономики E при предположениях A1, A5, последнее утверждение означает, что если суще ствуют q = (q1,..., qn) = st(q) Q, = (,..., ) = st(), и для 1 n данного i N выполнено условие Слейтера: найдётся такой стандартный x X, что qix < i(x, q) + i, (x, то “бюджетное” множество stBi q) совпадает с {y X | qi, y i(x, q) + i} = st{y X | qi, y i(x, q) + i}.

Здесь x x, x X, существование которого постулируется в квази равновесии (см. определение 2.3.3).

2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений Таким образом, если условие Слейтера выполнено для каждого потребителя, то -квазиравновесие с нестандартными ценами превра щается в стандартное равновесие (x, q, ) с “-схемой перераспределе ния избыточных стоимостей”.

2.4.2 Бюджетные множества без условия Слейтера Представляет интерес выяснение структуры бюджетных множеств с нестандартными ценами в случае когда условие Слейтера нарушается, но при этом выполнено предположение о непустоте бюджетных множеств A7. Дальнейшее изложение в пределах данного пункта будет посвящено исследованию этого вопроса, ответ на который не является столь же элементарным, как в ранее рассмотренных случаях. Нам потребуется следующая вспомогательная Лемма 2.4.1 Для каждого p IRm найдётся такая (единственная) система ортонормальных стандартных векторов {e1,..., ek} из IRm, что p = 1e1 + · · · + kek, j IR, j = 1, 2,..., k. (2.4.17) При этом коэффициенты j > 0 и удовлетворяют соотношениям j+1/j 0, j = 1, 2,..., k - 1.

Доказательство леммы 2.4.1. Доказательство проводим по индукции, которую ведём по размерности m пространства, содержащего вектор p IRm. При m = 1 утверждение леммы очевидно. Предполагая её истинность при m l, докажем для m = l + 1.

Предполагая p = 0, положим p = p/||p||. Так как точка p около стандартна, (ввиду компактности единичного шара в конечномерном пространстве и нестандартного критерия компактности), то можно положить e1 = st(p ) и 1 = p, e1. Далее положим p = p - 1e1 и опре делим подпространство L = {x IRm | e1, x = 0}. Отметим, что L будет иметь то же “устройство”, что и L (в силу принципа переноса).

Из определения p получаем:

p, e1 = p, e1 - p, e1 e1, e1 = 0, В работе [20] равновесия этого вида в модели типа Эрроу–Дебре без внешних влияний получили название “равновесия с трансферабельными стоимостями”.

80 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами (ибо e1, e1 = 1), откуда p L. Однако dimL l, что в силу индуктивного предположения означает существование ортонормальной системы стандартных векторов {e2,..., ek}, таких, что p = 2e2 + · · · + kek, причём коэффициенты удовлетворяют j+1/j 0, j = 2,..., k - 1.

Принимая {e1, e2,..., ek} в качестве искомой системы, получаем p = 1e1 + p = 1e1 + · · · + kek.

Ортонормальность полученной системы стандартных векторов очевидна из построения; нужно установить 2/1 0. Чтобы убедиться в этом, положим = ||e1 - p ||2 0 и подсчитаем 2 ||p - e1, p e1||2 = p, p - 2 e1, p + e1, p e1, e1 = 2 2 2 1-2 e1, p + e1, p = 1- e1, p = 1-(1- )2 = 1-1+- = (1- ).

2 4 Отсюда заключаем:

||p || = ||p - 1e1|| = ||p||||p - e1, p e1|| = ||p||, где = (1 - /4) 0. Однако, с другой стороны, ||p || = ||p - 1e1|| = ||2e2 + · · · + kek|| = 2 + · · · + 2.

2 k Отсюда, учитывая e1, p 1, получаем 2 2 + · · · + 2 ||p || ||p|| 2 k 0 = = = 0.

1 1 1 e1, p e1, p Единственность представления нестандартного функционала по формуле (2.4.17) следует из изложенного выше построения системы {e1,..., ek}. Действительно, предполагая наличие другого разложения и повторяя рассуждения, убеждаемся в том, что все параметры этого представления должны совпадать с полученными выше.

В дальнейшем нам потребуется следующая Лемма 2.4.2 Пусть X IRm полиэдральное множество (много гранник) и p IRm. Тогда p, X 0 влечёт p, X 0.

2.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений Прежде всего отметим, что утверждение леммы ложно если множество X не является полиэдральным. Действительно, рассмотрим например X = {x IR2 | (x2)2 x1} и p = (1, -), 0, > 0. Тогда для + каждого x X получим px = x1 - x2 0. Однако для элемента x = (2/4, /2) X будем иметь px = 2/4 - 2/2 < 0.

Доказательство леммы 2.4.2. По данным леммы множество X состоит из векторов из IRm, удовлетворяющих некоторой системе линейных неравенств, т. е.

X = {x IRm | dx g, A}, где d IRm, d = 0, g IR и A конечно. Из теории многогранников (основная теорема о представлении) известно, что множество X может быть альтернативным образом описано как сумма некоторого выпуклого многогранника Y IRm (выпуклая оболочка конечного множества векторов) и выпуклого конуса Z IRm с конечным числом образующих, т. е. X = Y + Z, и для некоторых конечных B IRm, C IRm имеет место Y = co B = { bb | b B b IR, b 0 & b = 1 } B B и Z = con C = { cc | c C c IR, c 0}.

C Тогда по условию p, X 0 pb 0 & pc 0 b B, c C.

С другой стороны, по принципу переноса X = Y +Z, а множества Y и Z описаны, как указано выше, при условии замены IR на IR (т. е.

“навешиваем” звезду на константу IR). Но тогда pb 0 & pc 0 b B, c C p, X 0.

Одним из основных результатов настоящего раздела является нижеследующая теорема, описывающая в стандартных терминах структуру бюджетных множеств с нестандартными ценами.

Пусть p IRm любой фиксированный нестандартный вектор. Используя лемму 2.4.1 рассмотрим представление p (единственное!) в виде 82 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами (2.4.17). При фиксированном w IRm, X IRm определим следующие множества. Для t = 1, 2,..., k положим B(t, p, w) = {y X | yet etw, yej = ejw, j = 1, 2,..., t - 1}, для t = k + 1 определим B(k + 1, p, w) = {y X | yej = ejw, j = 1, 2,..., k}, и пусть для t = B(0, p, w) = X.

Теорема 2.4.1 Если X IRm полиэдральное множество, w IRm некоторый стандартный, а p IRm любой нестандартный вектор, то B(p) := st{x X | p, x p, w } = B(t, p, w) (2.4.18) при некотором натуральном t k + 1, причём для всех t = 1,..., k найдётся такой y B(t, p, w), что yet < etw.

Доказательство теоремы 2.4.1. Без ограничения общности можно считать, что w = 0 и p = 0 (иначе тривиально). Положим e0 = 0. Далее предположим, что существует t {1,..., k} и такой элемент y X(e0,..., et-1) := {y X | yej = 0, j = 0, 1,..., t - 1}, что ety < 0; и пусть t наименьший такой номер. В случае, когда в {1,..., k} нет такого номера, положим t = k +1. Прежде всего, заметим, что по выбору t (из “минимальности”) будем иметь ej, X(e0,..., ej-1) 0, j {1,..., t - 1}.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.