WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ В. М. Маракулин РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИКИ С НЕСТАНДАРТНЫМИ ЦЕНАМИ Учебное пособие Теория Игр часть III Новосибирск 2001 УДК 519.8 ББК В.173.1/2 Маракулин В. М. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами.: Учебное пособие к курсу Теория Игр : часть III/ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2001. 125 с.

В учебном пособии излагаются элементы современной теории экономического равновесия с нестандартными ценами, основанные на оригинальных результатах автора. Рекомендуется студентам старших курсов и аспирантам-математикам, специализирующимся в области математической экономики, а также научным сотрудникам. Ил. 6, библиогр. 22.

Рецензент доктор физико-математических наук профессор В. И. Шмырёв Подготовленно при финансовой поддержке ФЦП Интеграция № 274.

© Маракулин В. М., 2001 © Новосибирский государственный университет, 2001 Оглавление Введение 4 1 Введение в нестандартный анализ 8 1.1 Нестандартный анализ: конструктивный подход...... 9 1.1.1 Фильтры......................... 11 1.1.2 Индивиды и суперструктуры............. 12 1.1.3 Универсумы....................... 14 1.1.4 Языки и семантика................... 18 1.2 Три техники........................... 21 1.2.1 Принцип переноса.................... 22 1.2.2 Теорема направленности................ 24 1.3 Сводка некоторых результатов................ 25 2 Экономическое равновесие с нестандартными ценами 28 2.1 Нестандартные цены в абстрактной экономике...... 28 2.1.1 Модель абстрактной экономики............ 29 2.1.2 Нестандартная характеристика оптимальности по Парето.......................... 2.2 Теорема существования аппроксимирующих равновесий. 2.2.1 Равновесия, предположения и теоремы....... 2.2.2 Техника точечно-множественных отображений... 2.2.3 Доказательство теорем существования........ 2.3 Общее понятие равновесия с нестандартными ценами... 2.4 Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений 2.4.1 Бюджетные множества, условие Слейтера и непрерывные предпочтения................. 2.4.2 Бюджетные множества без условия Слейтера.... 4 Оглавление 3 Неоклассические модели экономики 3.1 Модель рынка с нестандартными ценами.......... 3.2 Экономики с производством модель Эрроу–Дебре.... 3.3 Экономики с общественными благами............ 3.4 Конечность числа нестандартных равновесий....... Литература Введение Экономика это общественная наука, которая анализирует поведение разумных существ (людей, марсиан) в условиях ограниченности ресурсов. Микроэкономическая теория является составной частью экономики и нацелена на моделирование экономических реалий как процесса взаимодействия экономических агентов, преследующих свои частные интересы. В свою очередь теория общего равновесия, основанная на методологии теории игр, является ядром микроэкономической теории.

Крайне важно, что исследуемые теорией общего равновесия математические модели экономики допускают одновременное рассмотрение кооперативного и бескоалиционного игрового подхода, что позволяет провести их сравнительный анализ. В числе исследуемых теорией равновесия вопросов находится центральное понятие конкурентного равновесия, которое можно рассматривать как одну из возможных реализаций концепции равновесия по Нэшу в стратегических играх, а также концепция ядра экономики, основанная на сугубо кооперативном теоретикоигровом сценарии. При этом получаются наиболее интересные и значимые результаты как собственно для микроэкономической теории, так и для теории игр.

В математическом виде понятие конкурентного равновесия впервые появляется в работах швейцарского экономиста Леона Вальраса1, почему и называется равновесием по Вальрасу. Вальрас также впервые задаётся вопросом о существовании равновесия, первого ключевого вопроса теории, означающего, ко всему прочему, математическую корректность исследуемой модели. Рассуждения Вальраса в этой части сводятся к наблюдению, что математически равновесие представимо как решение некоторой системы алгебраических уравнений, в которой число неизвестных совпадает с числом уравнений. Позже Абрахам Вальд (1936) дал первое строгое доказательство существования и единWalras L. Elements of Pure Economics, 1874.

6 Введение ственности равновесия, основанное на предположении, что все продукты является взаимозаменяемыми. Однако его модель была описана в слишком агрегированном виде (отождествляется с функцией избыточного спроса), недостаточно точно и ясно отражающем экономические реалии. Решающий шаг был сделан в основополагающей работе Кеннета Эрроу и Жерара Дебре [2], заложившей основы современных математических моделей замкнутой децентрализованной экономической системы. Развитая в их рамках теория экономического равновесия является, по-видимому, одним из наиболее выдающихся достижений математической ветви экономической теории второй половины 20-го века. Последние 40 лет были отмечены обширным потоком работ, обобщающих результаты Эрроу–Дебре в самых различных направлениях. В частности, многими исследователями ослаблялись предположения, гарантирующие существование равновесий. Большая часть этих предположений, усилиями многих авторов (таких как А. Мас-Колелл, Р. Ауманн, В. Хильденбранд, Д. Гейл и многие другие), была доведена до математического совершенства и, по-видимому, не может быть принципиально ослаблена в дальнейшем (во всяком случае для конечномерных моделей). Однако все эти результаты в той или иной мере основываются на одном весьма ограничительном модельном предположении, так называемом условии выживаемости (survival) потребителей. Обычно это условие формулируется как “ресурсная связность” или “нередуцируемость” экономической модели, а фактически оно играет роль “условия Слейтера” в задаче потребителя. Хотя это предположение и является интерпретируемым свойством, однако вызывает ощущение дискомфорта и, главное, не является безусловно необходимым требованием.

Основной теоретической целью (наряду с учебной демонстрацией современных методов теории общего равновесия) настоящего пособия является устранение “предположения выживаемости” из условий, гарантирующих существование экономических равновесий. Эта проблема не может быть разрешена в традиционных модельных рамках, ибо, как показывают многие примеры (см. основной текст и [20], [22]), при отсутствии какого-либо аналога условию Слейтера и при прочих обычных посылках (причем гораздо более сильных по сравнению с имеющимися в современной теории существования) равновесия могут не существовать. Мы преодолеваем эту трудность, ревизуя собственно понятие цены. А именно, вместо обычных “стандартных” цен мы предлагаем использовать “нестандартные” (в смысле нестандартного анализа).

Другими словами, цены на продукты могут быть не только обычными числами, но и нестандартными, т. е. выбранными из нестандартного Введение расширения числовой прямой IR (о нестандартном анализе см., напр.

[13], [18], [9]). С математической точки зрения мы заменяем обычное понятие “решения” на обобщенное, которое существует уже при более слабых предпосылках, типичный для математики прием, эффективно работающий в ряде других областей математики (таких как теория обычных и частных дифференциальных уравнений, вариационный анализ и др.). С экономической точки зрения представляется, что этот подход не должен вызывать серьезных возражений, ибо фактически он всего лишь означает, что шкала измерений для цен на разного рода продукты должна быть мельче (в достаточной мере) шкалы, используемой для исчисления физических благ, не изменяя методологической концепции равновесия2. Фактически же мы предлагаем определенную асимметрию продукты измеряются в стандартных величинах, а цены нестандартных. Таким способом мы явным образом вводим в модель более тонкий, по сравнению с традиционным, механизм стоимостного регулирования, что и позволяет достичь намеченной цели. В литературе известны и другие способы “разрешения проблемы Слейтера”. Например, Данилов и Сотсков в [4] предложили подход, основанный на понятии меновых стоимостей (работа выполнена в чисто стандартных терминах). В рамках классической модели обмена таким образом получаются результаты, близкие к нижеизложенным. Однако в отличие от [4], где постулируется надлежащая конструкция бюджетных множеств (агентов), мы доказываем, что бюджетные множества при нестандартных ценах могут быть представлены в форме, близкой к данной в [4] (см. § 3.1).

Следующим по значимости вопросом общей теории равновесия является проблема оптимальности, или эффективности, равновесного распределения (ресурсов). Под эффективными распределениями в экономике принято понимать оптимальные по Парето не существует другого распределения, в котором, по сравнению с данным, часть агентов улучшила бы свое положение, не ухудшая положения прочих участников экономики. Первая теорема благосостояния утверждает, что в классической модели Эрроу–Дебре (без внешних влияний) равновесие по Вальрасу оптимально по Парето и является формальным доказательством известного высказывания Адама Смита о “невидимой руке”:

[Каждый индивидуум] стремится к собственной выгоде. При этом, ведомый невидимой рукой [рынка], он приходит к итоДействительно, если экономисты согласны с использованием в теории иррациональных величин, не наблюдаемых в практике (кто встречал на рынке цены типа 2,, e ), то почему нельзя использовать нестандартные 8 Введение гу, к которому он [осознанно] не стремился. Преследуя свой собственный интерес, он часто способствует эффективной деятельности сообщества более, нежели бы он действительно стремился к этому.

Вильфредо Парето (1909) уточнил формальное понятие оптимальности и, более того, впервые установил, что с каждым эффективным распределением можно ассоциировать такую систему цен, что распределение обращается в равновесное относительно некоторого исходного распределения ресурсов. Сейчас это составляет содержание второй теоремы благосостояния. В пособии также рассматривается проблема эффективности распределения и отвечающих ему цен, но в более широком контексте. Именно, известно, что теоремы благосостояния имеют место, только если экономические агенты полностью эгоистичны, т. е. если их “полезность” зависит только от объёмов потребляемых ими лично благ. Однако если допустить возможность зависимости полезности от потребительских планов других агентов в таком случае говорят о наличии внешних влияний (в потреблении), то конкурентное равновесие генерически (почти всегда) теряет свойство эффективности (см. [21]).

В пособии показано, что проблему эффективности при внешних влияниях можно разрешить если допустить индивидуализированные цены, достаточно гибко изменяющиеся, совокупность которых должна удовлетворять некоторому дополнительному требованию, связывающему индивидуальные цены с рыночными. С помощью индивидуальных цен можно определить и соответствующее понятие (эффективного) равновесия. Однако здесь мы опять сталкиваемся с “проблемой условия Слейтера”, которую можно разрешить переходом к нестандартным ценам.

Пособие основано, в основном, на авторских результатах, опубликованных в работах [22], [10] и в совместной с Коноваловым [19]. Содержание этих работ существенно переработано и изложено здесь с единых позиций “абстрактной модели экономики” (с тотальными внешними влияниями). Первая глава вводит читателя в мир нестандартной математики (анализа) и содержит сводку наиболее употребительных в приложениях фактов и результатов нестандартного анализа. Во второй главе последовательно развивается теория экономического равновесия с нестандартными ценами в абстрактной экономике. Пособие завершает третья глава, в которой рассматриваются приложения полученных результатов к основным неоклассическим моделям экономики модели рынка, модели Эрроу–Дебре (с производственным сектором) и, наконец, модели экономики с общественными благами. В завершающем разделе формулируется (без доказательства) теорема о конечности числа равновесий с нестандартными ценами в модели рынка.

Глава Введение в нестандартный анализ Нестандартный анализ, иногда называемый также инфинитезимальным анализом, это, скорее, математическая техника, нежели самостоятельная теория. Нестандартный анализ оперирует с идеальными элементами, которые могут быть как бесконечно близки к интересующему объекту, так и бесконечно далеки от него. Ниже представлено построение совокупности нестандартных чисел и более сложных нестандартных объектов, ассоциированное с достаточно простой системой логики.

Кроме того, приведена сводка необходимых базисных результатов этой теории. С её деталями, а также с большинством из опущенных доказательств, читатель может ознакомится в [18], [1], [9].

Нестандартный анализ находит своё применение во многих областях современной математики. В их числе действительный и комплексный анализ, теория меры и теория вероятности, функциональный анализ и общая топология. Одно из наиболее заметных преимуществ нестандартной методологии состоит в том, что она обладает возможностью упростить математические рассуждения. Например, используя нестандартные методы, обычно можно существенно упростить громоздкие рассуждения. Поэтому о нестандартном анализе часто говорят, что он служит целям “элиминации количеств”.

Большинство из приложений нестандартного анализа основывается на идее гиперконечного множества это множество, которое может быть занумеровано нестандартными натуральными числами, не превосходящими некоторое фиксированное нестандартное натуральное 10 Глава 1. Введение в нестандартный анализ число. Используя это понятие, можно аппроксимировать бесконечные (и даже бесконечномерные) объекты множествами, к которым применимы стандартные заключения о конечных объектах. В частности, в экономико-математической литературе имеется значительное количество работ, использующих идею гиперфинитного множества это в основном результаты, в которых исследуются “большие” модели экономики (с бесконечным числом агентов или продуктов). Например, таким способом моделируются ситуации, отражающие условия совершенной конкуренции, это модели, в которых имеется “много” индивидуумов, каждый из которых имеет пренебрежимо малое влияние на экономику в целом. Такого рода постановки приводят к рассмотрению моделей с гиперфинитным множеством экономических агентов, оснащённых стандартно ограниченными возможностями влиять на текущую ситуацию (в модели обмена околостандартными векторами исходных запасов).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.