WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

84 = {8,17,24} 8,17,24 ; 9 ; {13} Вид множеств Классы сопряженных элементов Совокупности элементов Дальнейшие Объединяем те множества, в Оставляем без изменений действия которых есть общие элементы Классы 14 = {1}, 44 = {4,12,13,21}, 1 = 1, 2 = {4, 12, 13, 21}, сопряженности 84 = {8,17,24}, 54 = {5,9,16,20} 3 = {5, 9, 16, 20}, 4 = {8, 17, 24} Число композиций 72 Литература 1. Курош, А.Г. Теория групп / А. Г. Курош. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.

2. Мухаметьянов, И.Т. Введение в теорию групп и некоторые ее проблемы. / И.Т. Мухаметьянов. – Соликамск: Изд-во Солик. гос. пед. инст-та, 2001.

3. Введение в теорию групп. Часть вторая: методические указания / сост. Я.Д. Половицкий. – Пермь: Перм. ун-т, 2002.

~ 8 ~ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНВОЛЮТИВНЫХ МАТРИЦ А.А. Габов, А.С. Кокшаров, Р.С. Трифонов, студенты 1 курса УГТУ-УПИ Научный руководитель: А.П. Зорин, ассистент кафедры алгебры и ТЧ УрГПУ Рассмотрена задача о нахождении всех матриц, квадрат которых равен единичной матрице, т.е. о нахождении всех решений матричного уравнения:

X E, где X – квадратная матрица 2-ого или 3-его порядков. Задача решена двумя способами: непосредственным решением системы квадратных уравнений (причем систему можно получить двумя способами: непосредственно умножая матрицы или исходя из конструкции обратной матрицы для уравнения X X ), а также на основе теории, позволяющей извлекать корни степени m из квадратных матриц. При этом использованы обозначения, принятые в монографии Гантмахера Ф. «Теория матриц». Дана геометрическая интерпретация действия линейного оператора, заданного инволютивными матрицами второго и третьего порядков (в базисе из их собственных векторов).

Рассмотрен вопрос о максимально возможном числе независимых параметров, образующих матрицу-решение. В работе также указана связь между множеством инволютивных матриц и множеством ортогональных матриц 2-ого порядка.

Основные результаты:

Теорема 1. Пусть X – решение уравнения X E, где X – матрица 2-ого a b порядка, тогда X где |, a2 bc |1.

c a Теорема 2. Пусть X – решение уравнения X E, где X – матрица 3-ого x11 x12 x порядка, тогда X x21 x22 x23, где x31 x32 x x11 a(ek hf ) b( fg dk) c(dh ge), x12 abk( ) ach( ), x13 abf ( ) aec( ), x21 dek( ) dhf ( ), x22 d(ch bk) e(ak cg) f (bg ah), x23 bdf ( ) cde( ), x31 egk( ) fgh( ), x32 bgk( ) cgh( ), x33 g(bf ce) h(cd af ) k(ae bd).

a,b,c, d,e, f, g, h, k C, 2 1;

a b c и переменные a, b, c, d, e, f, g, h, k связаны соотношением d e f 1, причем в g h k матрице-решении нужно брать знак «+», если этот определитель положительный и знак «–», если этот определитель отрицательный.

Литература 1. Беллман, Р. Введение в теорию матриц, 2-е изд.

2. Гантмахер, Ф.Р. «Теория матриц», М., физ-мат. лит.1988.

3. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре, Москва, 1978.

~ 9 ~ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЯТИСТОРОННИКОВ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ ПОРЯДКА А.М. Кузнецова, студентка 5 курса Научный руководитель: В.И. Васильков, канд. физ.-мат. наук, доцент, ЧГПИ В настоящее время проведено полное исследование - дуг в трех известных проективных плоскостях порядка 9: дезарговой, трансляций и хьюзовой [1].

Аналогичная задача не решена для четвертой известной плоскости:

плоскости сдвигов, двойственной плоскости трансляций. Сложность решения этой задачи связана с тем, что группа коллинеаций указанной плоскости до сих пор не известна.

Возможный вариант решения упомянутой задачи таков: исследовать в плоскости трансляций - сторонники (наборы из прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку), а затем, благодаря возможности перехода от плоскости трансляций к двойственной плоскости сдвигов путем конкретного отображения, получить необходимые результаты о - дугах плоскости сдвигов.

Результаты исследования - сторонников для = 1, 2, 3 в плоскости трансляций получены ранее научным руководителем данной работы. Эти результаты позволили автору работы [3] провести исследование, с точностью до изоморфизма, -сторонников для = 4 (четырехсторонников) с помощью метода поэтапных отождествлений, разработанного профессор, Гониным Е.Г. [2].

Аналогичным методом в плоскости трансляций проведено исследование пятисторонников. Оказалось, что в указанной плоскости имеются, с точностью до изоморфизма, - сторонники для = 5 (пятисторонники) точно 75 типов. Для каждого опорного пятисторонника найдены группа автоморфизмов, а также общее число пятисторонников, изоморфных опорному.

Полученные результаты позволяют продолжить исследование, с точностью до изомофизма, - сторонников для = 6, …, 10.

Литература 1. Васильков, В.И. Опорные дуги и группы их автоморфизмов проективных плоскостях малых порядков: справочное пособие /В.И. Васильков, Ю.Н.Зверева, Г.В. Масленников. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2005. – 261 с.

2. Гонин, Е.Г, Гонина Е.Е. Метод поэтапных отождествлений // Известия научнообразовательного центра «Математика». – Вып. 3. – Пермь: ПГТУ, 2006. – С.16-38.

3. Кузнецова, А.М. Исследование четырехсторонников в плоскости трансляций порядка /Материалы научно-практ. конф. студентов матем. фак-та ПГПУ: Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2009. – Вып. 2. – Ч. 1, с. 30-31.

~ 10 ~ ТОПОЛОГИЯ УЗЛОВ Е.Е. Лысенко, студентка 4 курса Научный руководитель: А.А. Уткин, к.ф.м.н., доцент, ОГТИ (филиал ГОУ ОГУ) Теория узлов возникла более ста лет назад; но проблемы, рассматриваемые в этой теории, остаются актуальными и в настоящее время. Интересна связь теории узлов со статистической и квантовой физикой, с молекулярной биологией. В работах [1], [2], [4], [6] сформулирован ряд нерешенных практических задач, решение которых и представлено в данной работе.

Первая задача связана с понятием изотопности узлов. Два узла изотопны, если один узел можно «перевязать» в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений. В работе с помощью диаграмм показана изотопность топового и тривиального узлов, бабьего и бабушкиного узлов.

Вторая задача связана с понятием эквивалентности узлов. Два узла эквивалентны, если они изотопны или если один из них изотопен зеркальному изображению другого. В работе доказана зеркальность «левой» и «правой» восьмерки, а также приведено доказательство эквивалентности исходного узла тривиальному с помощью только двух операций Рейдемейстера.

Для доказательства эквивалентности используется метод инвариантов. Среди инвариантов выделяют следующие: число двойных точек [2]; количество правильных раскрасок диаграммы узла в три цвета [2]; полином Конвея [6];

полином Джонса [3]; полином HOMFLY [6]; группа узла [3]; инвариант Васильева [3]; род узла [3].

Третья задача, рассмотренная в работе, связана с нахождением инвариантов узла. Так показано, что для трилистника количество раскрасок равно девяти и найден полином Конвея для узла «восьмерка» и для зацеплений двух вариантов «проколотая восьмерка».

Перспектива дальнейшего исследования состоит в изучении узлов с помощью других инвариантов.

Литература 1. Белага, Э.Г. Узел на столе математика / Э.Г. Белага // Квант. – 1975. - №4. – С. 6-20.

2. Виро, О. Раскрашенные узлы / О. Виро// Квант. – 1981. - №3. – С. 8-14.

3. Дужин, С.В. Узлы и их инварианты / С.В. Дужин, С.В. Чмутов // Математическое просвещение. Серия 3. – 1999. – Вып. 3. – С. 53-93.

4. Иванов, С.Г. Узлы тривиальные и нетривиальные / С.Г. Иванов // Компьютерные инструменты в образовании. - СПб.: Изд-во ЦПО "Информатизация образования", - 2007. – №1. – С. 42-47.

5. Мантуров, В.О. Экскурс в теорию узлов / В.О. Мантуров // Сетевой образовательный журнал. – 2004. – Т.8. - №1. – С. 122-127.

6. Сосинский, А.Б. Узлы, зацепления и их полиномы / А.Б. Сосинский // Квант. – 1989. - №4. – С. 11-18.

~ 11 ~ УСЛОВИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ТРИ-ТКАНЬ, ЗАДАННУЮ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ = + Н.Ю. Макарова, студент 4 курса Научный руководитель: А.А. Уткин, к.ф.м.н., доцент, ОГТИ (филиал ГОУ ОГУ) Под три-тканью понимается геометрический объект, состоящий из двух множеств: первое - множество точек, второе - множество линий. Множество линий разбито на три правильных семейства, т.е. линии из одного семейства общих точек не имеют, и при этом выполняется условие: через каждую точку проходит только одна линия из каждого семейства[1]. Такие геометрические объекты существуют в пространствах, размерность которых равна двум или более.

В данной работе рассматривается плоская три-ткань, у которой линии первого семейства определяются условием =, линии второго семейства определяются условием =, а линии третьего семейства являются решением = + - - 1 линейного дифференциального уравнения = +.

Известно, что три-ткань характеризуется двумя параметрами: кривизной и кручением. Так как в данном случае рассматривается плоская ткань, то у не кручение равно нулю. В работе ставится задача: найти кривизну исходной триткани. Вторая задача состоит в установлении конечных соотношений между кривизной и е производными.

Запишем уравнение = (, ) в следующем виде: -, = 0 и введем две дифференциальные формы[2]:

1 =, 2 =.

- Дифференцируя внешним образом формы 1 и 2получаем: = -.

Здесь кривизна три-ткани, которая в нашем случае имеет вид: =.

+ Дифференцируя полученное выражение, используя лемму Картана, находим производные в третьей дифференциальной окрестности и продолжаем этот процесс до окрестности шестого порядка. В результате получим 14 производных, исключая из которых переменные и получаем 17 соотношений, среди которых существенными являются два:

22 = 2 (1) 12 - 21 = 22 (2) 15 = 32 (3) Итак, имеет место теорема: производные от кривизны три-ткани определяемой линейным дифференциальным уравнением = + связанны зависимостями (1), (2) и (3). Справедливо и обратное утверждение.

Литература 1. Бляшке, В. Введение в геометрию тканей. – М., 1959.

2. Акивис, М.А., Шелехов А.М. Основы теории тканей. Учебное пособие. – Калинин:

КГУ,1981.

~ 12 ~ КОМПЛЕКСНЫЙ ЛОГАРИФМ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Э.Р. Салахова, студент 4 курса Научный руководитель: Г.Н. Васильева, канд. пед. наук, доцент, ПГПУ Известно, что обобщение понятия заключается в переходе от данного понятия к более абстрактному. Одним из путей обобщения понятий является расширение числового множества. Таким образом, обобщением понятия вещественного логарифма является понятие комплексного логарифма.

Логарифм комплексного числа 0 определяется по формуле = ln +, где = + 2, – многозначная функция.

Таким образом, комплексный логарифм в каждой точке ( 0) принимает бесконечное число различных значений, отличающихся друг от друга на 2,. Из определения логарифма вытекают следующие формулы: = ; = + 2.

При = 0 получается главная ветвь (главное значение) логарифма ln = ln || +. При = ±1, ±2, ±3, … получаются другие ветви: 1, -1, 2, -2, … Точка = 0 является логарифмической точкой разветвления. Один обход вокруг нее в положительном направлении переводит главную ветвь в ветвь 1, следующий – в 2 и т. д.. Обход в отрицательном направлении переводит главную ветвь в ветвь -1, следующий – в -2 и так далее [1].

Ряд свойств логарифмов, известных из алгебры, имеют место для комплексного логарифма. Например, тождество log = log + log, где ( > 0, 1, > 0, > 0). Для комплексного логарифма справедлива формула ln 12 = ln 1 + ln 2, если аргументы 1, 2 и их сумма лежат в интервале (-, ). Нами исследована истинность других свойств (логарифм степени, логарифм частного) для комплексных логарифмов.

Конформное отображение, заданное по формуле = log +, применяется в картографии при построении географических карт. Если ко всем точкам карты, выполненной в стереографической проекции, применить конформное преобразование, указанное выше, то она перейдет в новую фигуру, которую также можно рассматривать как географическую карту [2]. Карта, получившаяся в результате такого преобразования, получила большое распространение в навигации. Ее преимущества перед картой, выполненной в стереографической проекции, состоят в том, что здесь не только меридианы, но и параллели изображаются прямыми линиями.

Литература 1. Шахно, К.У. Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления / К.У. Шахно. – Минск: Вышейшая школа, 1975.

2. Маркушевич, А.И. Комплексные числа и конформные отображения / А.И. Маркушевич. – М.: Наука, 1979.

~ 13 ~ ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ В ЦЕЛОМ О. Скипина, студентка 4 курса Научный руководитель: Ю. М. Филимонов, к. ф.-м. н., доцент кафедры математики и МОМ НТГСПА В работе [2] установлен критерий асимптотической устойчивости движения в целом, определяемого системой дифференциальных уравнений первого порядка, для которого система уравнений возмущенных движений имеет вид:

dxi Xix1, x2, x3 i 1, 3 (1) dt Правые части (1) – это функции, дифференцируемые во всем пространстве x x1, x2, x3, обеспечивающие неограниченное продолжение любого решения и x 0 является единственным положением равновесия этой системы. Критерий налагает ограничения на частные производные правых частей системы (1) и предполагает выполнимым неравенство X12 X22 X32 q 0 (2) вне любой сферы с центром в начале координат.

Сохраняя основные понятия [2]: «интегральная поверхность», образованная интегральными траекториями, начинающимися в точках любого отрезка, не имеющего контактов с полем направлений системы (1); «производная функции по времени на интегральной поверхности», – методом контурных интегралов нами установлена и доказана следующая теорема, не содержащая ограничения (2). А именно.

Теорема. Если: 1) положение равновесия системы (1) асимптотически устойчиво в смысле А. М. Ляпунова и 2) существует положительно-определенная n квадратичная форма с постоянными коэффициентами gi g, где aij j i, jgi y Xk yk X, i j k такая, что ее производная на любой интегральной j j X X X j k gi j X k gk поверхности gi – функция неположительная, то x xk xi xk j невозмущенное движение системы (1) асимптотически устойчиво в целом.

В монографии [1] рассматривается так называемая система непрямого регулирования:

dx x2 f x1, dt dx x3 x1, (1') dt dx ax1 bf x1, dt С помощью доказанной теоремы нами выясняются условия, которым должна удовлетворять нелинейность системы (1'), чтобы она была устойчива в целом.

~ 14 ~ Здесь предполагается, что параметры системы (1') удовлетворяют неравенствам ab 1, b 0.

1 b В связи с этим методом неопределенных коэффициентов найдена 2aквадратичная форма g12 1 bg22 kg32 2bg1g3 2ag2g3, где k b, которая 1 b является определенно положительной, а ее производная на интегральной поверхности имеет вид:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.