WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

3.2 Векторный критерий Качество проектируемых радиоэлектронных средств и их частей оценивается показателями, относящимися к различным свойствам – целевому назначению, помехозащищенности, пропускной способности, надежности и т.д. Комплекс показателей качества имеет исключительно большую размерность и включает как количественные величины, имеющие определенную размерность, количественные безразмерные (относительные) величины, так и качественные, например, оценивающие дизайн, и представляемые в баллах. Поэтому обычно при сравнении вариантов проектных решений комплекс показателей качества представляется в виде векторного критерия Q (см. (8)).

Все частные показатели делятся на две группы: монотонно «убывающие» (масса, стоимость и т.п.) и монотонно «возрастающие» (пропускная способность, вероятность безотказной работы и т.д.).

При формировании критерия Q рекомендуется:

1) выбирать минимальное число наиболее важных частных критериев qi, i = 1,K,k ;

2) вектор Q должен с достаточной точностью характеризовать качество проектируемого узла или системы;

3) показатели qi должны иметь ясный смысл и характеризовать простые свойства.

Обычно при решении задач оптимального проектирования все qi приводятся к стандартному виду, т.е. они должны удовлетворять условиям: 1) qi > 0 ; 2) чем меньше qi, тем лучше; 3) у идеальной системы qi 0.

Для сокращения размерности вектора Q отдельные показатели могут рассматриваться в виде ограничений.

Многокритериальность в задачах принятия проектных решений может рассматриваться в следующих аспектах:

1) непосредственно в смысле векторного критерия с k частными показателями (см. (8));

2) как результаты работы отдельных экспертов по скалярному критерию q, т.е. пусть r( j,i), j = 1,K,m; i = 1,K,n нормированные ранги, выставленные m экспертами n вариантам, тогда для варианта i можно рассматривать m -вектор показателей QЭ (i ) = (r(1,i), r(2,i),K,r(m,i)); (24) 3) результаты оценок вариантов различными методами при скалярном критерии q в условиях, выполненных ЛПР, в этом случае QM (i ) = (q1(i ), q2(i ),K,qµ (i )), (25) где q (i ), j = 1,K,µ – значения показателей варианта i, полученные различными методами; µ – число j используемых методов;

4) для сравнения значений q(i, s) на множестве ситуаций S.

Во всех рассмотренных случаях оптимальный вариант обычно определяется на основе «компромисса» между частными показателями. Наибольшее развитие получили алгоритмы решения многокритериальных задач, использующие [8, 9]:

- метод оптимизации по Парето;

- способы «свертки» векторного критерия в скалярный;

- способ выделения наиболее важного частного показателя в качестве основного и наложение ограничений на остальные показатели.

Многокритериальные задачи принятия проектного решения с использованием метода оптимизации п по Парето обычно решаются в два этапа. На первом этапе формируется подмножество V Парето-оптимальных вариантов. На втором этапе применяется один из способов сведения векторного критерия Q в скалярный q, после чего используются методы для скалярных критериев.

п Для задач ВПВ (см. (3)) второй этап зависит от соотношения между мощностями множеств V (поп лучается в результате первого этапа) и V0 (задается условиями задачи). Если V = V0, то второго этапа п п п не требуется и V0 = V. Если V > V0, то выполняются работы второго этапа с вариантами V. Если п же V < V0, то расчеты начинаются с первого этапа для элементов V \Vп с целью выделения подп множества вариантов V0, для которого V0 = V0 - V.

п V п Рассмотрим формирование подмножества Парето-оптимальных вариантов V на примере работы одного эксперта при ранжировании вариантов раздельно по всем частным критериям q, j = 1,K,k (см.

j (8)), в результате такого ранжирования получается матрица рангов R = r( j,i), (26) kn здесь r( j,i) – ранг i-го варианта по j-му показателю.

Предполагается, что чем меньше ранг, тем вариант лучше. Тогда из двух вариантов i и, характеризующихся столбцами матрицы R r(1, i) r(1,) r(2, i) r(2,) и, M M r(k, i) r(k,) вариант i считается предпочтительнее ( i f ), если для всех j = 1,K,k, выполняется условие r( j,i) меньше или равно r( j,), причем хотя бы по одному частному критерию строго r( j, i)< r( j,).

В случае, когда по отдельным частным критериям предпочтительнее вариант i, а по другим –, варианты i и считаются равнозначными или эквивалентными относительно векторного критерия Q, равнозначность вариантов обозначается i ~.

Вариант * считается оптимальным, если он предпочтительнее по отношению к остальным n -1 ваi риантам, и оптимальным по Парето, если для него нет предпочтительных вариантов. Если имеется несколько вариантов, для которых нет предпочтительных, то эти варианты образуют подмножество варип п п антов V, оптимальных по Парето (V V ). Алгоритм формирования подмножества V следующий.

1 Сопоставляются варианты 1 и 2. Если 1 ~ 2, то переходят к сравнению 1 с 3. Если 1 f 2, то вариант 2 исключается из дальнейшего рассмотрения. Если же 2 f 1, то из рассмотрения исключается 1.

2 Аналогично вариант 1 попарно сопоставляется с остальными вариантами 3,...,n. Все варианты i, для которых имеет место i p 1 исключаются из дальнейшего анализа.

В результате сравнений варианта 1 с другими вариантами i, i = 2,K,n первый вариант либо вклюп чается в подмножество V (если имеются варианты i p 1), либо нет, если имеется вариант i f 1.

Если же имеет место 1 f i, i = 2,K,n, то 1 является оптимальным вариантом *.

3 Таким же образом производится попарное сравнение второго варианта (если 2 ~ 1 или 2 f 1 ) с оставшимися i, i = 3,K,n и т.д.

п Аналогично подмножество V формируется и для других случаев. В задачах на максимум, когда q j играют роль эффективностей, вариант i предпочтительнее (i f ), если для всех j = 1,m выполняется условие q( j,i) q( j,), причем хотя бы по одному частному критерию q( j,i) > q( j,).

п Естественно, что при формировании V все частные показатели должны быть ориентированы или только на максимум (эффективность), или только на минимум (затраты, ранги и т.д.).

Пример 2. Рассмотрим оптимизацию по Парето для исходных данных, содержащихся в примере (табл. 3). Здесь роль частных показателей ( q ) играют мнения четырех экспертов (k = m = 4) при ранжировании шести вариантов (n = 6). Результаты сопоставления нормированных рангов первого варианта (1) с остальными показывает, что 1 предпочтительнее каждого из остальных вариантов i,i = 2,...,6, т.е. является оптимальным.

3 Результаты сопоставления варианта 1 и 2 1 и 3 1 и 4 1 и 5 1 и 1,5 < 3 1,5 ~ 1,5 1,5 < 5 1,5 ~ 1,5 1,5 < 1,5 < 3,5 1,5 < 3,5 1,5 < 5 1,5 < 6 1,5 < 1,5 ~ 1,5 1,5 < 4,5 1,5 < 3 1,5 < 4,5 1,5 < 1,5 ~ 1,5 1,5 < 4 1,5 < 4 1,5 < 6 1,5 < Если для дальнейшего исследования требуется отобрать три-четыре варианта, то формируется множество Парето-оптимальных вариантов из оставшихся пяти.

Результаты сопоставления вариантов 2 с i, i = 3... 6 (табл. 4) показывают, что 2 3, 2 5 и 2 f 4, 2 f 6, т.е. для 2 нет предпочтительных вариантов, и он включается в подмножество п, а варианты 4 и 6 исключаются из дальнейшего рассмотрения.

4 Результаты сопоставления варианта 2 и 3 2 и 4 2 и 5 2 и 3 > 1,3 < 5 3 < 4 3 < 3,5 ~ 3,5 3,5 < 5 3,5 > 1,5 3,5 < 1,5 < 4,5 1,5 < 3 1,5 < 4,5 1,5 < 1,5 < 4 1,5 < 4 1,5 < 6 1,5 < Сравнение вариантов 3 с 3 и 1,5 < 3,5 > 1,4,5 ~ 4,4 < показывает, что они эквивалентны.

Таким образом, сопоставлением рангов для вариантов i, i = 2,...,6 выделено три варианта 2, 3, 5, для которых нет предпочтительных, эти варианты образуют подмножество Парето-оптимальных, т.е. п = {2, 3, 5}.

Для «свертывания» векторного критерия на втором этапе решения многокритериальных задач обычно используются «аддитивный» и «мультипликативный» способы.

При «аддитивном» способе свертывание производится путем сложения значений частных показателей с соответствующими весами. Так как обычно частные критерии имеют различную физическую природу и в соответствии с этим – различную размерность, то при образовании обобщенного критерия оперируют не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями. Нормирование частных показателей производится путем отношения «натурального» критерия к некоторой нормирующей величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий.

Обычно применяется три подхода к выбору нормирующего делителя. В соответствии с первым подходом в качестве нормирующего делителя принимаются некоторые директивные значения параметров.

Второй подход предполагает выбор в качестве нормирующих делителей максимальных значений критериев, достигаемых в соответствующих областях.

При третьем подходе в качестве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Выбор подхода к формированию безразмерной формы частных критериев в значительной степени носит субъективный характер и должен быть обоснован в каждом конкретном случае.

Таким образом, расчет аддитивного критерия для варианта i производится по формуле k q (i ) qa (i ) =, (27) c ( qo)(i ) =( здесь c – весовой коэффициент -го частного критерия; qo)(i ) – -й нормирующий делитель.

Введение весовых коэффициентов c должно учитывать различную значимость частных показателей при формировании аддитивного критерия. Определение весовых коэффициентов часто встречает серьезные трудности и обычно сводится к использованию формальных процедур или к применению экспертных оценок.

Аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из них состоит в том, что критерий qa не вытекает из объективной роли частных показателей и выступает как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид. Другой недостаток заключается в том, что в критерии qa может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка вводят ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов.

«Мультипликативный» способ предполагает перемножение частных критериев, т.е.

k qм (i ) = (i ). (28) q =В случае неравноценности частных показателей вводятся весовые коэффициенты c и мультипликативный критерий принимает вид m c qм(i ) = (i ). (29) q =Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировка частных показателей. К недостаткам критерия относятся: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного показателя избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений критериев.

Таким образом, задача «свертывания» векторного критерия Q в скалярный qa или qм является достаточно сложной и не имеет однозначного решения.

3.3 Метод парных сравнений Метод парных сравнений часто используется при экспертизе вариантов сложных проектов, здесь трудоемкая процедура ранжирования n вариантов заменяется многократным применением более простой процедуры попарного сравнения вариантов между собой [9]. Достоинства этого метода особенно проявляются при векторных критериях оптимальности Q большой размерности и большом числе вариантов n.

Пусть сравниваются два варианта,h из множества V и вариант по заданным критериям p p предпочтительнее варианта h. Это будем обозначать p f h.

В ходе экспертизы каждый эксперт заполняет таблицу, в нее он заносит результаты парных сравнений, образующие n n – матрицу Z = z(h, p), nn где 1, если h предпочтительнее p (h f p ) z(h, p) = если h p p, 0, -, если h = p.

Для j-го эксперта матрицу Z будем обозначать Z( j). Общий вид матрицы Z( j), характеризующей результаты парных сравнений, представлен в виде табл. 5.

Например, для четырех вариантов (n = 4) заполненная одним экспертом табл. 5 может иметь вид, представленный табл. 6, ей соответствует матрица Z, равная - 1 0 0 - 0 Z =.

1 1 - 0 0 1 5 Матрица парных сравнений j-го эксперта Номера 1 2 n вариан-... p...

тов 1 z(1,2; j) z(1, p; j) z(1, n; j) -......

2 z(2,1; j) z(2, p; j) z(2,n; j) -......

.......

.......

h z(h,1; j) z(h,2; j) z(h, p; j) z(h,n; j)......

.......

.......

n z(n,1; j) z(n,2; j) z(n, p; j)...... - 6 Пример заполненной матрицы парных сравнений одним экспертом Номера 1 2 3 вариантов – 1 0 0 – 0 1 1 – 0 0 1 – Элементы данной матрицы означают, что эксперт при сравнении вариантов 1 и 2 отдал предпочтение первому варианту ( 1 f 2 ), поэтому z(1, 2) = 1, при сравнении 1 с 3 – третьему ( 1 p 3 ) и z(1, 3) = 0, при сравнении 1 с 4 – первому и z(1, 4) = 1 и т.д.

Матрицы Z( j) обладают следующими свойствами:

1) по главной диагонали стоят знаки «–» (прочерк);

2) если элемент z(h, p) = 1, то z(h, p) = 0 ;

3) так как число парных сравнений вариантов равно числу сочетаний из n по 2, т.е.

C(2 n) = n (n -1) 2, то матрица Z содержит C(2 n) единиц и C(2 n) нулей.

Третье свойство используется для проверки правильности заполнения матрицы экспертом, т.е.

n n z(h, p) = n(n -1) 2.

q=1 p=Эксперту рекомендуется следующий порядок заполнения Z( j).

Сначала следует попарно сравнивать вариант 1 с 2,..., n, т.е. заполнять первую строку матрицы Z( j). Далее вариант 2 с 3,..., n и т.д. То есть достаточно записать значение z(h, p; j) лишь выше главной диагонали. Другая часть матрицы заполняется на основе второго свойства (если z(h, p) = 1, то z(p, h) = 0 ).

При сравнении вариантов h и по векторному критерию необходимо учитывать важность поp казателей и число показателей, по которым h превосходит.

p В результате работы m экспертов заполняется m таблиц Z( j), j = 1,2,..., m парных сравнений. Обработка результатов экспертизы начинается с объединения этих таблиц в одну обобщенную табл. 7, содержащую ( n n ) – матрицу Г = g(h, p), nn элементы которой получаются суммированием соответствующих значений матриц Z( j), т. е.

m g(h, p) = p; j).

z(h, j=Дополнительно табл. 7 содержит столбец и строку. Элементы (H1,..., Hn ) столбца рав1 2 ны суммам элементов строк матрицы Г, т.е.

n Hh = p), g(h, p=а элементы P1,..., Pn строки равны суммам элементов столбцов матрицы Г, т.е.

n Pp = p).

g(h, h=Матрица Г и компоненты табл. 7 должны удовлетворять следующим свойствам.

1 Сумма элементов матрицы Г равна n n 3 = g(h, p) = mC(2 n) = mn(n -1) 2.

h=1 p=2 При полном согласии мнений экспертов в C(2 n) ячейках g(h, p) = m, в остальных g(h, p) = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.