WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Пример 2.11. Определить изображение ошибки управления для САУ, структурная схема которой приведена на рис.

Решение.

1 К К 2 К rfl 3.

Л (Р) 1 + (Р) • 4.

/ \ + 2.5. Методика составления математических моделей динамических систем При составлении математической модели САУ часто представляется в виде совокупности элементов, рассматриваемых с точки зрения их динамических свойств. Каждое из таких звеньев может быть рассмотрено самостоятельно. При этом входная и выходная переменные соответствуют физическим воздействиям предыдущего звена на данное звено и данного звена на последующее звено. В общем случае звено системы может быть устройством любой физической природы и назначения.

Методика построения математических моделей каждого конкретного элемента системы автоматического управления, включая объект управления, является предметом изучения соответствующих курсов (электротехники, элементов автоматики, динамики полета, систем управления летательными аппаратами и др.). Однако следует остановиться на общих принципах составления математических моделей динамических звеньев и систем.

Чаще всего исходная математическая модель получается в виде системы неоднородных нелинейных дифференциальных уравнений, отыскать общее решение которых не всегда удается. Однако бывает возможно отыскать систему функций, образующих частное решение упрощенной системы уравнений, в которой не учитываются некоторые второстепенные факторы. Часто удается сложную задачу интегрирования нелинейных уравнений свести к более простой задаче - решению линейных дифференциальных уравнений.

Достаточным условием возможности проведения линеаризации математической модели звена или системы является отсутствие разрывных неоднозначных функций. Линеаризация нелинейной аналитической функции основана на положении, что непрерывная и имеющая все производные в окрестности некоторой (рабочей) точки функция (например, статическая характеристика звена) может быть разложена в ряд Тейлора по степеням малых отклонений аргумента (рис.

Если при этом отклонения аргумента Аи достаточно малы, то можно ограничиться первыми линейными членами разложения и рассматривать вместо нелинейных функций у - линейную, откуда, опуская символ упрощения получим:

где k - коэффициент усиления звена.

Рис. Статическая характеристика звена Полученные в результате линеаризации уравнения называются уравнениями первого приближения, а математическая модель - линеаризованной, или линейной моделью звена или системы.

Построение математической модели двигателя как объекта управления, входящего в САУ рассмотрим на примере.

Пример 2.12. Рассмотрим авиационный двигатель с винтом изменяющего шага, введя обозначения: ф - угол разворота лопасти винта, меняющийся с изменением режима работы двигателя; - скорость вращения винта (выходного вала двигателя).

Необходимо получить математическую модель (двигателя как объекта управления) скорости вращения винта авиационного двигателя.

Решение.

1. Предположим, что управление скоростью вращения винта осуществляется за счет изменения величины момента сил сопротивления путем разворота лопасти винта, а расход топлива остается постоянным. Обозначим входную (ф) и выходную переменные.

2. Выберем начало и направление отсчета переменных. Возможны два варианта: за начало отсчета принимается или первоначальное состояние равновесия, или конечное, установившееся после приложения к звену внешнего воздействия. В первом случае математическая модель получается в виде неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями, а во втором однородного с ненулевыми начальными условиями.

Примем за начало отсчета установившееся значение скорости вращения 3. Составим уравнения невозмущенного движения (рис. 2.18), которое в рассмотренном примере представляет собой равенство момента развиваемого двигателем, и момента сил сопротивления на валу двигателя, то есть (2.28) 4. На основании физического закона, которому подчиняется поведение объекта (в данном случае закон Ньютона), составим уравнение возмущенного движения в отклонениях от установившегося состояния, то есть :

, Рис. Характеристика невозмущенного движения Получим (2.29) 5. Путем вычитания из уравнения (2.29) уравнения (2.28) получаем уравнение возмущенного движения в отклонениях (вариациях).

6. Исследуем возможность линеаризации имеющихся нелинейных зависимостей и произведем линеаризацию уравнений возмущенного движения:

ем 1 Л — J (2.30),.

Уравнение (2.30) является линейным уравнением первого приближения, записанным в абсолютных величинах. Все члены уравнения имеют размерность момента.

7. Полученное уравнение первого приближения приведем к уравнению в относительных величинах с безразмерными коэффициентами. Такая форма записи уравнений весьма удобна, так как избавляет от необходимости в каждом конкретном случае согласовывать размерности отдельных уравнений, входящих в систему, а также дает возможность свести изучение и сравнение динамических свойств большого разнообразия элементов самой различной физической природы к изучению свойств ограниченного числа так называемых типовых динамических звеньев или их комбинаций.

Поделим все члены уравнения (2.30) на величину номинального момента двигателя введем относительные отклонения и примем обозначения:

АСУ J - — - выходная координата;

- входное управляющее воздействие;

- время разгона;

- коэффициент самовыравнивания;

- коэффициент регулирующего воздействия.

В этом случае уравнение (2.30) преобразуется к виду:

> = (2.31) Такая форма записи уравнений, когда коэффициенты, стоящие при производных, имеют размерность времени в степени, равной порядку производной, называется первой формой или формой Стодолы.

Другая форма записи дифференциального уравнения предусматривает введение безразмерного времени.

Например: т =, тогда — + = (2.32) Уравнения и (2.32) являются линейной математической моделью стационарного непрерывного объекта, составляемого в форме "вход-выход".

При необходимости модель может быть записана в операторной (символической) форме или в преобразованиях Лапласа. Условно рассмотренный объект может быть представлен с помощью структурной схемы (рис. На рисунке Рис. Структурная схема стационарного непрерывного объекта 3. ЛОГАРИФМИЧЕСИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Логарифмические амплитудные частотные характеристики весьма удобны для целей синтеза, так как их приближенное построение почти не требует вычислений. Асимптотические логарифмические амплитудные характеристики можно легко строить, пользуясь линейкой и бумагой с масштабной логарифмической сеткой. Фазовые частотные характеристики также используются при синтезе, но они играют вспомогательную роль.

В методике синтеза (разработанной расчет производится с использованием типовых логарифмических амплитудных частотных характеристик, для которых разработаны подробные номограммы показателей качества процессов регулирования. С помощью этих номограмм можно построить желаемую амплитудную частотную характеристику синтезируемой системы, определить ее передаточную функцию, найти частотные характеристики и передаточную функцию корректирующего устройства.

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются при исследовании систем автоматического управления с помощью частотных методов и представляют собой амплитудные фазовые частотные характеристики замкнутых или разомкнутых САУ (или элементов САУ), построенные в полулогарифмическом масштабе.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой системы (элементов системы) называется кривая, соответствующая десятичным логарифмам модуля частотной характеристики системы (элементов), построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот:

где - частотная характеристика системы (элементов);

- логарифмическая амплитудная частотная характеристика этой системы (элементов).

Логарифмической фазовой характеристикой (ФЧХ) системы (или элементов системы) называется фазовая частотная характеристика построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот.

При построении ЛЧХ на оси абсцисс откладываются десятичные логарифмы частоты или значение самой частоты в логарифмическом масштабе.

На практике наиболее распространенным является способ, при котором шкала в отношении со будет неравномерной (логарифмическая шкала). Отрезок этой шкалы, соответствующий изменению в 10 раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий изменению со в 2 раза, октавой.

Построение логарифмической шкалы производится с помощью шаблона, рассчитываемого по формуле: / = где - масштаб декады, выбираемой с точки зрения удобств построения и требуемой относительной погрешности;

от 1 до 10;

/ - величина отрезка шкалы между точкой, соответствующей и последующими точками.

На оси ординат при построении значения амплитудной частотной характеристики откладываются в децибелах. Перевод чисел в децибелы производится по формуле:

дЪ == где В - число;

ЦВ) - число В, измеренное в децибелах.

Перевод любого другого числа в децибелы производится по формуле:

Примеры:

33 дБ;

2..

Для обратного перевода ЦВ) представляют в виде L(B) = ±i20+c, где 0 с 20 а В находят по формуле В - А определяется из кривых для L(A) =c.

Примеры:

2. дБ= При построении ФЧХ по оси ординат значения фазовой частотной характеристики откладываются в градусах.

3.1. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем Для построения ЛЧХ передаточную функцию системы представляют в виде произведения передаточных функций элементарных динамических звеньев:

P Р где Kj - коэффициенты усиления усилительных звеньев;

Т - постоянные времени элементарных звеньев;

- показатели колебательности звеньев второго порядка;

г) - количество интегрирующих или идеально дифференцирующих звеньев (при Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы определяются выражениями:

где k - количество элементарных звеньев;

и - ЛАХ и ФЧХ элементарного звена.

Более подробно о методах логарифмических частотных характеристик в построении и синтезе САУ читайте в работе авторского коллектива МВТУ им.

Баумана (Основы теории автоматического управления общ. ред.

М.: Машиностроение, 1985. С. 368-404 ).

3.2. Логарифмические частотные характеристики элементарных звеньев Усиленное звено с передаточной функцией Это звено имеет ЛЧХ следующего вида:

Амплитудно-фазовая (частотная) характеристика звена и его логарифмическая частотная характеристика изображаются следующими графиками.

Jm к Re о а (а) и логарифмическая частотные характеристики (б) усиленного звена со Re Рис. 3.2. Амплитудно-фазовая (а) и логарифмические (б) частотные характеристики звена Последовательное соединение усиленного звена и интегрирующих звеньев. Это соединение имеет передаточную функцию вида = Логарифмические частотные характеристики определяются формулами:

= 20 = СО Для построения ЛАХ на оси абсцисс откладывается точка со = и через нее проводится прямая с наклоном - -.

Пример 3.1. Построить АФХ и ЛЧХ для D=2.

Решение. Построим графики в соответствии с методикой (рис. 3.2).

Последовательное соединение усилительного звена и т идеально дифференцирующих звеньев с передаточной функцией = Логарифмические частотные характеристики строятся по формулам = ; = +m— и имеют вид, представленный на рис. 3.3.

Re Рис. 3.3. Частотные характеристики звена с = (а) - АФХ; (б) - ЛЧХ Примечание. Для упрощения записи в дальнейшем наклон прямой в графиках рис. 3.2 и 3.3 ), например, ± 6 = ± 20 следует обозначить через наклон ±т -20 дЪ/дк - через Апериодическое звено с передаточной функцией к(р) = Логарифмические характеристики определяются по формулам:

= + = Приближенная (асимптотическая) звена представляет собой две асимптоты, сопрягающиеся в точке = — ("опорная" или "сопрягающаяся" частота). Точная ЛАХ отличается от асимптотической на величину поправок AL. Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена и его логарифмические характеристики показаны на рис. 3.4.

При вычислении фазовой характеристики на частотах, находящихся вне интервала можно воспользоваться приближенными соотношениями:

0,5;

Л при 2.

-57,3 со • Т б Частотные характеристики апериодического Ошибка при пользовании этими формулами вне указанного интервала не превышает 0,4°.

Дифференцирующее звено первого порядка с передаточной функцией Т). Это звено имеет ЛЧХ, определяемые выражениями:

Эти характеристики (рис. 3.5) представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих характеристик апериодического звена.

Jm а Рис. 3.5. Частотные характеристики дифференцирующего звена первого (а) - ФЧХ; (б) При уточнении асимптотической а также при построении ФЧХ дифференцирующих звеньев первого порядка (рис. 3.5 б) необходимо пользоваться соответствующими кривыми, изменив знак на обратный Рис. 3.6. График отклонения точной ЛАХ апериодического звена от асимптотической Колебательное звено с передаточной функцией Логарифмические частотные характеристики по формулам:

Амплитудно-фазовая характеристика и ЛЧХ колебательного звена для некоторого фиксированного значения показаны на рис. 3.7. Величина отклонения точной ЛАХ от асимптотической зависит от значения и имеет максимум на частоте со = При ЭТОМ Приведенная выше формула и построенный ниже график (рис. 3.8) позволяют уточнять асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику по одной точке.

Точная ЛАХ практически перестает отличаться от асимптотической при отклонении в обе стороны от опорной частоты = — на 2-3 октавы.

а Рис. Частотные характеристики колебательного звена:

Рис. 3.8. График для определения значения резонансного звена Дифференцирующее звено второго порядка с передаточной функцией Логарифмические частотные характеристики этого звена отличаются от соответствующих характеристик колебательного звена только знаком. Для их построения используются специальные номограммы, их можно использовать для уточнения и построения ФЧХ дифференцирующих звеньев второго порядка, если знаки получаемых поправок AL и значений ф поменять на обратные.

Запаздывающее звено с передаточной функцией = Это звено имеет логарифмические частотные характеристики, определяемые выражениями: Сведем логарифмические частотные характеристики всех рассматриваемых звеньев качественно в таблицу Таблица № № п/п 1. К 5.

о 2. 6.

Т| 1 + + Г 3. 7.

4. 8.

-га со Амплитудно-фазовые и логарифмические частотные характеристики, а) неустойчивым апериодическим звеньям с передаточными функциями:

б) неустойчивому колебательному звену с передаточной функцией:

в) консервативному звену с передаточной функцией:

г) звеньям минимально-фазового типа с передаточными функциями:

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.