WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 17 |

b(V) = -а1V + с, откуда Р = (-a1V + с)[(1 + 2)V - (1+ )Vr - V0] = = -a1(1+2)V2 + a1[(1+)Vr + V0]V + + (1+2)cV+... члены, не зависящие от V.

Для нахождения значения V = V* приравняем производную dP/dV к нулю и получим:

dP/dV = -2a1(1+2)V + a1[(1+)Vr+V0] + (1+2)c = 0, откуда a1[(1+ )Vr + V0]+ c(1+ 2) (3.2.3) V = 2a1(1+ 2 ) Вычислим значение V* для следующего модельного набора коэффициентов и параметров:

а = -0.01, а1 = 0.01, с = 1.3, V0 = 30, Vr = 60, = 0.5.

Подставляя их в (3.2.3), находим: V* = 91.25.

Результат исследования модели II может быть проиллюстрирован рисунком 3.2.6, где использованы следующие обозначения:

Р1 = [(1+)b(V) - b(V)](V-V0), Р2 = (1+)b(V)(V-Vr).

При этом, очевидно, Р = Р1+Р2.

Полученный результат означает, что для заданных ценовых зависимостей b(V), q(V), известного объема реализации товара дилером в периоде Т-1 – V0 и заданной менеджерами оценки объема реализации в периоде В этом разделе были рассмотрены две модели принятия решений об объемах закупок фирмой – оптовым покупателем у производителя в зависимости от оценок объемов предстоящих розничных продаж, которые делают сотрудники различных подразделений фирмы, принимающих участие в выработке такого решения.

b(V), q(V) 1,q(V)=(1+)b(V) P 1,0,P1(V*) P(V*) P2(V*) b(V)=c-a1V Vr= V*= 91,V0=40 50 60 70 80 90 V Рис. 3.2.6.

Основное содержательное отличие моделей, представленных в настоящем разделе, от моделей, представленных в разделе 3.1, состоит в следующем:

а.) В моделях настоящего раздела предполагается, что производитель сам определяет либо отпускную цену дилера для конечных покупателей (модель I), либо торговую наценку, получаемую дилером (модель II).

б.) В моделях настоящего раздела, в отличие от моделей раздела 3.1, реакция конечного покупателя на изменение цен не учитывается.

РАЗДЕЛ 3.3. Задача определения структуры закупки при ограниченном финансовом ресурсе и различной рентабельности товаров.

В процессе функционирования хозяйствующего субъекта – коммерческой фирмы, осуществляющей свою деятельность в сфере торговли некоторым набором продуктов, постоянно возникает проблема инвестирования ограниченного финансового ресурса в различные виды товарных активов, реализация которых является основным предметом деятельности фирмы. Целью же осуществления торговых операций является получение коммерческой прибыли, которая образуется как разность между закупочной, включающей издержки обращения, и продажной ценами.

В силу ограниченности финансового ресурса не все виды товаров из набора товаров, реализуемых фирмой, и не все товары в нужном, с точки зрения возможности сбыта, объеме могут быть закуплены по мере возникновения необходимости пополнения запасов на складе фирмы. Очевидно также, что различные товары приносят фирме различную прибыль на единицу инвестированных в них финансовых ресурсов, т.е. товары обладают различной рентабельностью.

Принятию решений об объемах закупок товаров на склад в условиях ограниченности финансового ресурса и различной рентабельности товаров и посвящена модель, формулируемая и исследуемая в настоящем разделе.

Рассмотрим следующую исходную постановку.

Допустим, что рассматриваемая коммерческая фирма производит закупку и реализует товары единственного поставщика (производителя или торгового посредника).

В момент времени t0 производится заказ товаров на склад для периода [t1, t2] так, чтобы за время = t1-t0 они успели на него поступить. Предполагается, что в момент времени t1-t, где t = 0(), предшествующий поступлению заказываемой партии товара на склад, на нем будет иметься остаток товаров (всего номенклатура товаров содержит n позиций): u1, u0, …., u0. Потребность в товарах 2 n (оценка), т.е. оценка количества товаров, которое можно продать в периоде [t1, t2], составит, соответственно: s1, s2, …, sn. Таким образом, дефицит товаров (недостаток товаров для покрытия спроса предстоящего периода) в момент t1-t составит: s1 = s1- u1, s2 = s2u0, …,sn = sn- u0.

2 n Необходимо определить объем закупок (заказа) товаров в момент t0 для периода [t1, t2]: u1, u2, …, un с тем, чтобы прибыль от закупки товаров была максимальной.

Финансовый ресурс на закупку товаров ограничен и составляет B единиц, т.е. это та сумма денежных средств, которая может быть инвестирована в товары в момент времени t0.

Продажная цена товара i-го вида составляет Pi, а прибыль на каждую единицу товара i-го вида в абсолютном выражении – Di.

Себестоимость товара составляет Pi-Di единиц. Обозначим через di долю прибыли в отпускной цене товара i-го вида:

di = Di/Pi, Di < Pi, 0 < di < 1.

Тогда доля себестоимости в продажной цене товара составит 1di = (Pi-Di)/Pi. Необходимо определить оптимальный набор товаров (в количественном выражении по каждой позиции), который максимизирует прибыль фирмы в периоде [t1,t2].

На основании вышеизложенного может быть сформулирована следующая задача линейного программирования (ЗЛП):

n (3.3.1) Piui max di U i=при ограничениях n (3.3.2) (1 - di)Piui B i=ui si, i = 1,n ;

или, что то же самое, Piui Pisi, i = 1,n.

Очевидно, также имеет место условие, вытекающее из смысла задачи и не являющееся ограничением:

n (1 - di)Pisi > B i=В противном случае задача имеет очевидное решение:

u1=s1, u2=s2, …,un=sn.

Для решения задачи введем обозначения:

(3.3.3)Piui = u(i), Pisi = s(i), UT=(u(1), u(2),…,u(n)), где UТ – вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U.

С учетом обозначений (3.3.3) сформулируем ЗЛП (3.3.1)-(3.3.2) в векторно-матричной форме:

(3.3.4) CTUmax U (3.3.5)AU A0, где CT = (d(1),d(2),…d(n)), где d(i) = di;

1 - d(1) 1 - d( 2 ) 1 - d( n ) 1 0 A = 0 0 T A0 = (B, s(1), s(2), …,s(n)), где s(i) = Pisi.

Двойственная задача к данной ЗЛП имеет вид:

T AO X min X ATX C, где AT – транспонированная матрица A, а X – вектор-столбец, соответствующий вектору-строке XT = (x(1), x(2), …, x(n+1)).

Решение этих задач (прямой и двойственной) основывается на следующих двух теоремах [117, с. 46 и 63], [166].

Теорема 3.3.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества U1, то она принимает это значение в крайней точке U1.

Теорема 3.3.2. Если U0 и X0 – допустимые решения прямой и T двойственной задачи, и если СTU0 = X0 A0, то U0 и X0 – оптимальные решения этих задач.

Крайними точками допустимого множества U1 являются точки вида U(i) = (0, …, u(i) = s(i), 0, …,0), а также их линейные комбинации вида k (3.3.6) ( j )U( i ), где (j) = 1, k < n, U(l) U(r), j=не нарушающие условие допустимости (3.3.5) множества U1 (если при k=n линейная комбинация является допустимой, то нет дефицита финансового ресурса B и, соответственно, нет задачи). Но в этом случае ((j)=1, k < n) условие допустимости (3.3.5) всегда выполняется как строгое неравенство (за исключением случаев, когда все u(i)=s(i) кратны В). Это означает, что практически всегда происходит недоиспользование финансового ресурса В.

Для достижения полного использования финансового ресурса В можно применить следующее построение.

Допустим, что в сумме (3.3.6) присутствует единственное слагаемое, для которого имеет место (j) < 1, такое что если в этом слагаемом заменить (j) < 1 на (j) = 1, то нарушится условие допустимости (3.3.5).

Предположим, что j=k и покажем, что в качестве (k) может быть выбрано k-B - - d( i ))s( i ) (i=(3.3.7) ( k ) = (1 - d( k ))s( k ) Возможность выбора (k), удовлетворяющего условию (3.3.7) базируется на допущении, что любая цена Pi, i = 1,n, входящая в выражение (3.3.3) для s(i), пренебрежимо мала по сравнению с B, т.е.

Pi = 0(B). С практической точки зрения это допущение может означать нежесткость финансового ограничения (3.3.5), т.е. всегда есть дополнительный финансовый ресурс, чтобы закупить 1 единицу товара по цене Pi, какой бы эта цена не была.

Покажем, что решением вышеприведенной ЗЛП является вектор U*:

UT* = (u(1)*=s(1), u(2)*=s(2), …, u(k)*=(k)s(k), u(k+1)*=0, …, u(n)*=0), где UT* – вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U*, а (k) задается соотношением (3.3.7). Решением ДЗЛП является вектор X* размерности n+1:

XT* = (x(1)*=0, x(2)*=d(1), x(3)*=d(2), …, x(k+1)*=(k)d(k), x(k+2)*=0, …, x(n+1)*=0).

Можно легко проверить, что для заданных векторов U* и X* выполняется соотношение СTU* = XT*A0, откуда по теореме 3.3.2: U* и X* – оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП, соответственно.

Поскольку коэффициент (k) имеет специальный вид (3.3.7) то, нетрудно видеть, что условие допустимости (3.3.5) выполняется как равенство в виде:

n ( 1 - d( i )) u( i ) = B i=u(1)* = s(1) u(2)* = s(2) (3.3.8) u(k)* = (k)s(k) < s(k) u(k+1)* = u(n)* = 0.

Полученное нами решение представлено в параметрической форме, т.е. существует некоторое множество решений, соответствующее различным перестановкам элементов внутри вектора U*, сохраняющим справедливость условий (3.3.8) через выполнение соотношения (3.3.7) для, вообще говоря, различных k. Также следует отметить, что вектор U* может содержать не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, удовлетворяющих условиям (3.3.7) и (3.3.8).

Для того, чтобы получить решение задачи для конкретных значений u(i)*, u(j)*, т.е. определить: какие u(i)* 0, а какие u(j)* = 0, нам необходимо воспользоваться дополнительной информацией, содержащейся в ее условиях. Попытаемся использовать знание соотношений между коэффициентами d(i) для нахождения вектора U** из множества U всех допустимых векторов U*, который и будет решением задачи (3.3.4) при соблюдении условий (3.3.8) в виде:

n F ( D,U ) = d(i)u(i) max i=(3.3.9) при условиях n (3.3.10) ( 1 - d( i )) u( i ) = B i=u(1)* = s(1) u(2)* = s(2) (3.3.11)u(k)* = (k)s(k) < s(k) u(k+1)* = u(n)* =0.

где вектор U* может иметь не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, и удовлетворяет условиям (3.3.8).

Вектор U** будем искать непосредственно в виде (3.3.11), т.е. в виде u(i)** 0, i=1,k; u(j)** = 0, j= k+1,n.

Решение.

Упорядочим путем соответствующих перестановок множество D = {d(1), d(2), …, d(n)} так, что d(1)> >d(2)>…>d(n) (случай более сложный, и его мы рассматривать не будем). Полученное таким образом множество обозначим буквой D. Множество D является упорядоченным множеством. Для элементов D, очевидно, справедливо: 1-d(1)<1-d(2)<…<1-d(n). Выделим из D подмножество D1, k1, состоящее из первых k1 элементов этого множества:

D1,k1 = {d(1), d(2), …, d(k1)} D так, что k(3.3.12) ( 1 - d( i )) u( i ) = B i=где u(i) – i-компонента вектора U*1, k1, который получается из вектора U*, теми же перестановками, что и множество D из множества D и содержит только k1 первых его элементов. Т.е. если i-элемент множества D переходит в l-элемент подмножества D1,k1, то и iкомпонента вектора U* переходит в l-компоненту вектора U*1,k(при l k1).

Кроме подмножества D1,k1 и вектора U*1, k1 без потери общности будем рассматривать только упорядоченные подмножества и вектора вида Dj,k(j,r) и U*j,k(j,r). Подмножество Dj,k(j,r) получается из множества D путем выборки из этого множества k(j,r) элементов, начиная с j-го элемента (при выборке допускаются пропуски), с выполнением условия аналогичного условию (3.3.12) в виде:

k( j,r) ( 1 - d( i )) u( i ) = B i=(3.3.13) r – номер выборки, где r {1,…,R(j)}, а R(j) – общее количество выборок такого вида, начинающихся с j-го элемента множества D.

Вектор U*j,k(j,r) получается аналогичным образом.

Теорема 3.3.3.

F(D1,k1;U*1,k) = max F(Dj,k(j,r);U*j,k(j,r)), где r {1,…,R(j)}.

Для доказательства теоремы нам необходимо показать, что k(D1,k1)ui(U1,k1) > di i=(3.3.14) k( j,r) > di(Dj,k( j,r))ui(U j,k( j,r)) i= j r {1,…,R(j)}, где di(•,•) = d(i,•,•), ui(•,•) = u(i,•,•), и либо j 1, либо k(j,r) k1.

Рассмотрим два подмножества: D1,k1 D и любое подмножество вида Dj,k(j,r) D. Допустим, что l элементов этих подмножеств совпадают (для полностью несовпадающих элементов доказательство является более простым).

Произведем перестановку элементов подмножеств D1,k1 и Dj,k(j,r) следующим образом:

1. В качестве первых l элементов каждого из подмножеств возьмем их совпадающие элементы, расположенные в порядке убывания.

2. На оставшихся, соответственно k1-l для подмножества D1,k1 и k(j,r)-l для подмножества Dj,k(j,r), позициях расположим оставшиеся (несовпадающие) элементы этих подмножеств, беря их также в порядке убывания. Вновь образованные подмножества будем обозначать D1,k1 и Dj,k(j,r) Правило определения номера r задавать не будем.

Для первых l элементов подмножеств Dj,k(j,r) и D1,k1 имеет место:

d1(D1,k1) = d1(D1,k(1,r)), d2(D1,k1) = d2(D1,k(1,r)), …, dl(D1,k1) = dl(D1,k(1,r)).

В качестве примера подмножеств D1,k1 и Dj,k(j,r) рассмотрим следующие подмножества (совпадающие элементы подмножеств подчеркнуты):

D1,k1 (k1=15): 0.59.58.57.56.55.54.53.52.51 0.50.49.48.47.46.45, Dj,k(j,r) (j=5, k(5,r)=13): 0.55.54.53.50.49.48.33 0.32.31.30.29.25.Множества D1,k1 и Dj,k(j,r) = D5,k(5,r) соответственно будут иметь вид:

D1,k1: 0.55.54.53.50.49.48.59.58.57.56.52.51 0.47.46.45.

Dj,k(j,r): 0.55.54.53.50.49.48.33.32.31.30.29.25.21.

Согласно правилам (1)-(2) произведем также перестановку элементов векторов U*j,k(j,r) и U*1,k1, в результате получим вектора U*j,k(j,r) и U*1,k1, для первых l элементов которых будут иметь место соотношения:

u1(U*1,k1) = u1(U*j,k(j,r)), u2(U*1,k1) = = u2(U*j,k(j,r)), …, ul(U*1,k1) = ul(U*j,k(j,r)).

Далее введем обозначение:

di( D1,k1)ui(U1,k1) = di( D1,k(1,r ))ui(U1,k(1,r ))= F i=1 i=Таким образом, для доказательства теоремы нам необходимо показать, что k F1 + ( D1,k1 )ui (U 1,k1 ) > di i= +(3.3.15) k( 1,r) F1 + di ( D1,k( 1,r ))ui (U 1,k( 1,r )) i= +или, что то же самое, k ( D1,k1 )ui (U 1,k1 ) > di i= +(3.3.16) k(1,r) di ( D1,k( 1,r ))ui (U 1,k( 1,r )) i= +Введем обозначение:

(1- di ( D1,k1 ) )ui(U1,k1) = i=(1- di ( D1,k( 1,r )) )ui(U1,k( 1,r )) = Bi=Тогда в силу (3.3.12) и (3.3.13):

k ( 1 - di( D1,k1 ) )ui(U1,k1 ) = i=l +(3.3.17) k( 1,r ) ( 1 - di( D1,k( 1,r )) )ui(U1,k( 1,r )) = B - Bi =l +После вводных замечаний перейдем непосредственно к доказательству теоремы 3.3.3.

Доказательство.

Разделим левую и правую части неравенства (3.3.16) на (3.3.17), получим:

k ( D1,k1 )ui (U 1,k1 ) di i= +> B - Bk(1,r) di ( D1,k( 1,r ))ui (U 1,k( 1,r )) i= +B - BИли, что то же самое, k ( D1,k1)ui (U 1,k1) di i= +> k (1 - di ( D1,k1))ui (U 1,k1) i=l+(3.3.18) k(1,r) di ( D1,k( 1,r ))ui (U 1,k( 1,r )) i= +k( 1,r ) (1 - di ( D1,k( 1,r )) )ui(U 1,k( 1,r )) i=l+Обозначим (3.3.19) d = min{d(l+1), d(l+2),…,d(k)} D1,k1;

(3.3.20) d =max{d(l+1),d(l+2),…,d(k(1,r))} D1,k(1,r).

Очевидно в силу упорядоченности D1,k1 и D1,k(1,r):

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.