WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |

Чтобы построить характеристический вектор на его комплексной плоскости, необходимо отложить по осям координат его вещественную и мнимые части U и V, которые получим после подстановки p = j в левую часть характеристического уравнения, если отделим мнимые члены от вещественных. Тогда левая часть характеристического уравнения будет представлять собой вектор вида:

M( j ) = U ( ) + jV ( ), (3.15) где, 2 U ( ) = an - an-2 + an-4 -.....

(3.16) 3 V ( ) = an-1 - an-3 + an-5 -....

Для каждой из составляющих рассмотренного выше характеристического вектора (3.14) U ( ) и V ( ) равны соответственно ее вещественной и мнимой частям. Например, корню характеристического уравнения P1=-a соответствует единственная в этом случае составляющая характеристического вектора, построенная на рис. 3.3 а.

Характеристический вектор, построенный на рис. 3.3 а показан на плоскости U, V на рисунке 3.3 б. В обоих случаях он одинаков и равен:

j - p1 = a + j.

V j j - p1 a + j S U -a p a а) б) Рис. 3.Таким образом, при изменении частоты вектор (3.15) будет вести себя так же, как характеристический вектор (3.14), и его аргумент будет также изменяться за счет каждого корня характеристического уравнения, как это найдено выше для аргумента характеристического вектора.

Каждому значению частоты соответствует пара значений U и V. Принимая U и V за прямоугольные координаты, можно построить на их плоскости кривые, каждой точке которой будет соответствовать некоторое значение. Эта кривая называется годографом Михайлова.

Рассмотрим изменение аргумента вектора (3.15) при изменении частоты от 0 до бесконечности. Если все n корней характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то при таком изменении частоты аргумент вектора Михайn лова, изменится на угол, как установлено выше. Следовательно, необходимое и достаточное условие устойчивости системы можно интерпретировать так:

при изменении частоты от 0 до бесконечности вектор Михайлова совершает поn ворот на угол, где n - порядок системы. Это первая формулировка критерия устойчивости, называемого критерием Михайлова.

Рассматривая годограф, получаемый при указанном повороте вектора Михайлова, найдем, что при изменении частоты от 0 до бесконечности годограф устойчивой системы должен окружать начало координат, пересекая n квадрантов; это - вторая формулировка критерия Михайлова.

На рис. 3.4 показан вид годографов для систем различного порядка.

Как видно из рис 3.4 координаты U и V годографа по очереди меняют знак, проходя через 0. Отсюда третья формулировка критерия Михайлова: система усV n=тойчива, если при изменении частоты от 0 до бесконечности координаты годо n=графа поочередно проходят n=через нуль, в общем n раз. Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, то изменение аргумента вектора Михайлова при U n=изменении частоты от 0 до бесконечности на меньше требуемого для устойn=чивости системы. При этом an=0 и годограф начинается в начале координат. При Рис. 3.наличии пары чисто мнимых корней годограф проходит через начало координат.

В этих случаях, поскольку имеются корни, лежащие на мнимой осы система находится на границе устойчивости, если только все остальные корни лежат в левой полуплоскости.

Рассмотрим теперь влияние охвата отрицательной обратной связью на устойчивость системы. Пусть разомкнутая система (рис. 3.5) а имеет передаточную функцию P1(p) Wp (p) = k (3.17) P2 (p) и, следовательно, характеристическое уравнение будет равно знаменателю передаточной функции.

P2 ( p) = 0. (3.18) Вектор Михайлова для разомкнутой системы имеет вид:

M( j ) = P2 ( j ). (3.19) Предположим, что характеристическое уравнение (3.18) имеет m корней с положительной действительной частью, т.е. находящихся в правой полуплоскости.

Тогда при изменении частоты от 0 до бесконечности аргумент вектора m (3.19) изменяется за счет этих корней на угол -, а за счет корней находящих(n - m) ся в левой полуплоскости на угол -. Полное изменение аргумента вектора Михайлова при этом будет равно:

(n - m) m (n - 2m) - =.

22 После охвата системы (рис. 3.5 б) отрицательной единичной обратной связью передаточная функция системы имеет вид:

Wp (p) Wz (p) =, (3.20) 1+ Wp (p) а характеристическое уравнение:

1+ Wp (p) = 0 (3.21) откуда:

kP1(p) + P2 (p) = 0 (3.22) x y g x y Wp(p) Wp(p) _ а) б) Рис. 3.5.

Теперь для замкнутой системы выражение для вектора Михайлова запишется в виде:

Mz ( j ) = kP1( j ) + P2 ( j ). (3.23) Чтобы замкнутая система была устойчивой, все n корней уравнения (3.22) должны находиться в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от n бесконечности до аргумент вектора (3.23) изменится на.

Введем вектор, представляющий собой после подстановки p = j левую часть уравнения (З.21):

N ( j ) = 1+ Wp ( j ). (3.24) Этот вектор называется вектором Найквиста. Принимая во внимание (3.17), имеем:

kP1( j ) + P2 ( j ) N ( j ) =.

P2 ( j ) Отсюда, согласно (3.23) и (3.19), Mz ( j ) N ( j ) =. (3.25) M ( j ) p т.е. вектор Найквиста равен частному от деления вектора Михайлова замкнутой системы на вектор Михайлова разомкнутой системы. Следовательно, аргумент вектора Найквиста равен разности аргументов векторов Михайлова замкнутой и разомкнутой систем. При изменении частоты от 0 до бесконечности изменение аргумента вектора Найквиста будет равно:

V 1 + W ( j ) p n (n - 2m) - = m.

U W ( j ) p 2 Отсюда следует первая формулиров-ка критерия Найквиста: если характеристическое уравнение разомкнутой системы Рис. 3.имеет m корней в правой полуплоскости, то аргумент вектора N ( j ) устойчивой замкнутой системы должен изменяться на угол m при изменении частоты от до бесконечности.

Для графической интерпретации этого критерия построим годограф вектора Найквиста по амплитудно-фазо-частотной характеристике, данной для той же системы в разомкнутом состоянии. С этой целью представим частотную характеристику Wp ( j ) в форме Wp ( j) = U() + jV () и построим ее в прямоугольных координатах U ( ) и V ( ). Каждой точке (U,V ), получаемой при этом кривой, будет соответствовать некоторая частота, а вектор, имеющий начало в начале координат и конец в этой точке, будет равен по величине модулю частотной характеристике при той же частоте: Wp ( j) = U ( ) +V ( ) (рис. 3.6).

Теперь построим вектор, начинающийся в точке (-1, j0), и кончающийся в рассмотренной точке (U,V ). Модуль этого вектора, как видно из рисунка (3.6), равен (1+ U )2 +V = 1+ Wp ( j ) откуда следует, согласно (3.14), что это - вектор Найквиста N ( j ).Таким образом, частотная характеристика разомкнутой системы, построенная в координатах U, V, является годографом вектора Найквиста в координатах U+1, V. При изменении частоты вектор N ( j ) замкнутой системы обегает своим концом частотную характеристику разомкнутой системы, имея начало в точке (-1,0).

Если разомкнутая система устойчива, то m=0, и изменение аргумента вектора N ( j ) при изменении частоты от 0 до бесконечности должно быть равно нулю, чтобы замкнутая система была также устойчивой. Это условие будет соблюдено, если частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точку (-1,0), как показано на рисунке 3.7.

Если же m>0, то частотная характеристика должна охватывать точку (-1,0), чтобы при изменении частоты от 0 до бесконечности вектор N ( j ) делал поворот на угол m, тогда замыкание сделает систему устойчивой. На рис. 3.8 показан пример, в котором m=2, но частотная характеристика разомкнутой системы охватывает точку (-1,0) так, что при изменении частоты от 0 до бесконечности вектор N ( j ) делает поворот на 2. Это значит, что замкнутая система устойчива.

V V A = 0 U -U -Рис. 3.Рис. 3. Рассмотрим систему, устойчивую в разомкнутом состоянии. По приведенной уже формулировке критерия Найквиста система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если частотная характеристика разомкнутой системы при Wp (p) 1пересекает вещественную ось четное число раз, поочередно меняя знак производной частоты по углу или угла по частоте при этих пересечениях, либо таких пересечений (при модуле, большем единицы) не имеет. Это - вторая формулировка критерия Найквиста.

Случай четного числа пересечений показан на рис. 3.7. Случай отсутствия пересечений левее точки (-1,0) показан на рис. 3.9, где представлена частотная характеристика устойчивой разомкнутой системы, остающейся устойчивой и после замыкания.

Рассмотрим рис. 3.8, предполагая, что часть характеристики, проходящая левее точки (-1,0), приближается к этой точке. Пока эта часть характеристики остается левее точки (-1,0), замкнутая система сохраняет устойчивость; но система теряет устойчивость, как только характеристика оказывается правее этой точки. Очевидно, поэтому, в случае характеристики, проходящей через точку (-1,0), замкнутая система будет находиться на границе устойчивости. Тот же вывод легко сделать из рассмотрения случаев, представленных на рис. 3.7 и 3.9.

V -1 U Рис. 3. На этом основано понятие о запасе устойчивости, характеризующее удаление характеристики от точки (-1,0). Если замкнутая система находится на границе устойчивости, то в точке (-1,0), модуль частотной характеристики равен единице, а фаза равна. Поэтому запас устойчивости по амплитуде A характеризуется отличием модуля Wp (p) от единицы при =, а запас устойчивости по фазе - отличием фазы от при Wp ( j ) = 1 (рис. 3.8). Пользуясь этими пояснениями, можно исследовать запасы устойчивости системы.

3.4. Особые точки и особые линии фазовых траекторий систем в пространстве состояний.

Фазовая траектория представляет собой годограф обобщенных координат системы в пространстве состояний (фазовом пространстве). Фазовые траектории свободного движения системы при различных начальных условиях образуют фазовый портрет системы, позволяющий дать качественную оценку динамических свойств системы, в том числе и ее устойчивости.

Для наглядной геометрической интерпретации фазовых траекторий ограничимся системами второго порядка.

Пусть имеется система, описывается дифференциальными уравнениями следующего вида:

(cmI - Mc ) d = ;

dt J (U - IR - ce ) dI = ; (3.26) dt L U = k x; x = g - koc.

p Этому случаю соответствует структурная схема (рис 3.10) g x U Kp Wo(p) xoc Koc Рис 3.10.

Введем приращение координат и управляющей переменной:

I = In - I;

= n - ;

g = gn - g.

и подставим полученные значения в уравнение (3.26).

Обозначая, = x1, I = x2 ; g = 0 после очевидных преобразований получим:

dx= a12x2 ;

dt dx= a21x1 + a22x2 ; (3.27) dt ce + k koc R cm p a12 = ; a21 = - ; a22 =-.

J L L Найдем корни Z1 и Z2 характеристического уравнения:

0 - a= 0;

a21 a22 - 2 - a22 - a12a21 = 0.

Пусть, тогда введением новых переменных 1 x = Ax1 + Bx2 ;

y = Cx1 + Dx2, где A, B, C и D можно найти решая систему:

( - )A + a21B = 0;

a A + (a22 - )B = 0;

12 (0 - 1 )C + a21D = 0;

a12C + (a22 - 1 )D = 0.

Заменой переменных систему уравнений (3.27) можно привести к следующему дифференциальному уравнению:

1y dy =.

dx x Решение, которого будет иметь вид:

y = C0 x (3.28) Если 1 = =, то посредством замены ax = a21x1 + x2 ;

y = x2.

исходная система приводится к виду:

dy x + y =. (3.29) dx x Решение этого уравнения будет выглядеть:

y = x ln x + C0x; (3.30) Особыми точками таких уравнений являются точки в которых производная неопределенна, т. е. имеет место деление ноль на ноль.

Рассмотрим несколько особых точек определяемых корнями характеристического уравнения.

1. Корни действительные и одного знака. Особая точка называется узлом. Все кривые в особой точке имеют общую касательную.

Y Y 0 X X 1 =1 а) б) Рис 3.11.

Для устойчивой системы (корни отрицательные) особая точка является точкой устойчивого равновесия, и движение системы осуществляется в особую точку, т.е. в начало координат. Для неустойчивой системы особая точка является точкой неустойчивого равновесия, и движение системы происходит из особой точки.

2. Корни действительные и разных знаков. Особая точка называется седлом (рис.3.12).Система в этом случае неустойчива и не имеет точки устойчивого равновесия.

3. Корни комплексно-сопряженные. Особая точка называется фокусом (рис.3.13).

Имеет место случай аналогичный первому. Для устойчивой системы особая точка является точкой устойчивого равновесия и свободное движение системы заканчивается в этой точке. В случае неустойчивой системы (корни имеют положительную действительную часть) особая точка является точкой неустойчивого равновесия.

Y Y X X Рис. 3.Рис. 3.4. Корни чисто мнимые. Особая точка называется центром.

Система в этом случае находится на колебательной границе устойчивости и совершает движение по замкнутому циклу, размер которого зависит от начальных возмущений (рис. 3.14).

Y X Рис. 3. В отличии от линейных нелинейные системы обладают большим разнообразием фазовых траекторий, характерной особенностью которых являются наличие особых линий соответствующих либо режиму автоколебаний, либо границе устойчивости, либо наличию зоны нечувствительности.

Для линейных систем понятие устойчивости " в малом " и “ большом” совпадают.

Для нелинейных систем кроме абсолютно устойчивой и абсолютно не устойчивой возможны другие варианты:

1. Система неустойчива " в малом ", но устойчива " в большом".

2. Система устойчива "в малом", но неустойчива "в большом".

Картина фазовых траекторий для первого случая показана на рис. 3.15. В начале координат в фазовые траектории имеют вид расходящихся спиралей, как в не устойчивой линейной системе, но далее все они расходятся не до бесконечности, а асимптотически приближаются к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров ABCD.

При больших возмущениях система оказывается устойчивой, так как внешние спирали стремятся к замкнутому контуру. Это замкнутая кривая ABCD называется устойчивым предельным циклом. Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебательному режиму нелинейной системы.

Второму случаю соответствует фазовые траектории рис 3.16.

X2 X B B A C X1 A C XD D Рис. 3.15 Рис. 3. Граница возмущений, до которой система устойчива, называется неустойчивым предельным циклом.

Возможен еще более сложный случай устойчивости, когда внутренний неустойчивый предельный цикл охватывается устойчивым внешним предельным циклом.

Для сложных систем число устойчивых и неустойчивых предельных циклов может быть весьма большим.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.