WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 12 |

Пусть решение уравнения (2.41) задано в виде суммы общего решения одxсв нородного уравнения и частного решения xв неоднородного уравнения x = xсв + xв. (2.42) Для управляемости системы необходимо чтобы решение (2.41) было устойчивым, что будет выполняться в том случае если:

lim xсв = 0. (2.43) t Следовательно, для оценки управляемости системы можно ограничится рассмотрением статических режимов. В этом случае исходная система уравнений преобразуется к виду:

Ax + Bu = 0 (2.44) В том случае если размерность вектора u(t) больше или равна размерности вектора x(t), то по завершении управления, когда вектор x(t1) = x1система (2.41) будет иметь единственное решение в то и только том случае если ранг матрицы В равен n. Если размерность вектора u(t) меньше размерности вектора x(t), то необходимое и достаточное условие полной управляемости по Калману примет вид:

Rank(B(AB)(A2B)...(An-1B)) = n, (2.44) где U = [B(AB)(A2B)...(An-1B)] - матрица управляемости.

В противном случае система не вполне управляема. Причем степень неуправляемости может быть по величине q равной q = n - Rank(B(AB)(A2B)...(An-1B)) (2.45) В качестве примера рассмотрим критерий управляемости двигателя постоянного тока с двухзонным регулированием (одновременное регулирование, как по цепи якоря, так и по цепи возбуждения).

Система уравнений для рассматриваемого случая будет выглядеть:

dx1 u1 - Rb x= ;

dt Lb dx2 u2 - kn x1 - Rx2 - kIbn x= ;

dt L dx3 kIn x1 + kIbn x=.

dt J Или после преобразований dx= a11x1 + b11u1;

dt dx= a21x1 + a22 x2 + a23x3 + b22u2 ;

dt dx= a31x1 + a32 x2 ;

dt a11 0 0 b11 A = 0 b22 ;

a a22 a23 ; B = a a32 0 0 31 Запишем выражение для матрицы U, в соответствии с формулой (2.44).

b11 0 a11 0 0 b11 0 a11 0 0 a11 0 0 b11 U= 0 b22a21 a22 a23 0 b22a21 a22 a23 a21 a22 a23 0 b a a a 0 0 a32 0 0 0 a32 a33 a32 0 0 31 31 После перемножения матриц и вычисления ранга получим, что Rank (U ) = 3, т. е. двигатель постоянного тока при двухзонном регулировании является вполне управляемым. Самостоятельно можно убедиться, что при раздельном управлении двигателем по цепи якоря, или цепи возбуждения система также будет управляемой.

Управляемость двигателя постоянного тока предполагает, что в результате соответствующего изменения напряжения возбуждения или якоря можно получить любые, наперед заданные значения обобщенных координат двигателя (тока, скорости и угла поворота) из области их допустимых значений.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 3.1. Устойчивость систем в пространстве состояний.

Первая теорема Ляпунова.

Пусть система управления описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши:

dx = F(x,u, f,t);

dt y = (x,u); (3.1) u = (x).

Так устойчивость является внутренним свойством системы, то на нее не оказывают влияние не управляющие, не возмущающее воздействия.

Кроме того, ограничимся рассмотрением устойчивости стационарных систем, для которых все ее параметры не зависят от времени.

С учетом этих допущений исходную систему можно представить в виде:

dx = F (x, t). (3.2) dt Решение этого векторного дифференциального уравнения при некоторых начальных условиях x(t0 ) имеет вид:

x = x0 (t).

Полученное решение описывает траекторию движения системы в пространстве состояний, а само движение называется невозмущенным движением.

~(t Если теперь решить систему при других начальных условиях x ), отклоняющихся от x(t0 ) на незначительную величину, то ее решение будет называться возмущенным движением и запишется в виде:

x = x1 (t).

Введём отклонение координат x = x1 - x0 ‚ характеризующее разность между возмущенным и невозмущенным движениями системы. Выражая x1 через x0 и x, после подстановки его в (3.2) получим дифференциальное уравнение системы записанное для отклонений:

d(x) = F(x0 + x) - F(x0 ). (3.3).

dt Это уравнение возмущенного движения. Его тривиальное решение x = соответствует невозмущенному движению, так как в этом случае x0 = x1.

Начальные значения x(t0 ) носят название возмущений. Решение уравнения (3.3) при x 0 представляет собой возмущенное движение.

А. М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным x, если при всяком заданном положительном числе А2, как бы мало оно не было, можно выбрать другое положительное число так, что для всех возмущений, удовлетворяющих условию:

x(t0 ) (3.4) возмущенное движение (3.3) будет в промежутке времени t0 t удовлетворять неравенству:

x(t0 ) A (3.5) Если с течением времени x(t) стремится к нулю, то система называется асимптотически устойчивой.

Геометрическая интерпретация устойчивости показана на рис. 3.1.

Отметим, что условие устойчивости, доказанное Ляпуновым будет справедливо, если имеется возможность перехода к дифференциальным уравнениям записанным в отклонениях (3.3). Очевидно, что такой переход возможен только в случае линейных или линеаризуемых систем, причем линеаризация осуществляется в окрестностях точки невозмущенного движения при малых отклонениях x.

Линеаризуя (3.3), можно записать:

dxi n, = x + (t; x1, x2,..... xn ) i = 12,....n(3.6) aij j dt j=x x 3 x0(t) x0(t) A x1(t) x x 1 x1(t) x x 2 Устойчивое движение Асимтотически устойчивое движение Рис 3.1.

Первая теорема Ляпунова дает определение достаточное условие устойчивости при малых отклонениях системы от ее невозмущенного движения, или определение устойчивости " в малом " и формулируется следующим образом:

Пусть все корни характеристического уравнения линеаризованной системы (3.6), без учета второго слагаемого (t; x1, x2,... xn ), имеют отрицательную дейi ствительную часть и все функции (t; x1, x2,... xn ) удовлетворяют условию i + n (t; x1, x2,... xn ) M xi2, причем M - постоянная и > 0.

i i= Тогда тривиальное решение системы (3.2) устойчиво.

Наиболее просто можно судить об устойчивости линейных систем.

Для них понятие устойчивости " в малом " и устойчивости в большом, или абсолютной устойчивости совпадают. Если система устойчива "в малом", то она устойчива и в большом.

В случае нелинейной системы с гладкими нелинейностями Ляпуновым были доказаны следующие теоремы:

1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой. Малые нелинейные члены не могут нарушить устойчивость системы.

2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система также будет неустойчивой. Малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой.

3. При наличии нулевых или чисто мнимых корней, поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. Малые нелинейные члены могут коренным образом изменить характер переходного процесса.

Следует иметь в виду что данные теоремы Ляпунова сформулированы для устойчивости " в малом " и для нелинейных систем с гладкими нелинейностями, которые могут быть линеаризованы путем разложения в ряд Тейлора.

Для определения устойчивости нелинейных систем с нелинейными статическими характеристиками, имеющими точки разрыва, или для определения устойчивости нелинейных систем "в большом" используется прямой метод Ляпунова, или вторая теорема Ляпунова.

3.2 Устойчивость линейных систем.

Алгебраические критерии устойчивости Для линейной системы уравнения её движения в пространстве состояний можно представить в следующем виде:

dX, (3.7) = AX dt a11 a12 K a1n a a22 K a2n A = где.

L L L L a an2 L ann nКвадратная матрица размером n n Или в развернутой форме:

dX= a11X1 + a12 X +Ka1n X 2 n dt dX = a21X1 + a22 X +Ka2n X 2 n dt (3.8) KKKKKKKKKKKKKK dX n = an1X1 + an2 X +Kann X 2 n dt Из математического анализа известно, что любое частное решение однородной системы (3.8) вида:

Xi = e it, (3.9) будет обращаться в тождество, где произвольные числа.

i Подставляем в (3.8) частное решение (3.9) и после очевидных преобразований получим следующую систему линейных однородных алгебраических уравнений из которых можно найти i (a11 - )x1 + a12 x2 + a13x3 + Ka1n xn = 0;

a21x1 + (a22 - )x2 + a23x3 + Ka2n xn = 0;

a31x1 + a32 x2 + (a33 - )x3 + Ka3n xn = 0;

(3.10) LLLLL x1 + an2 x2 + an3x3 + K + (ann - )xn = 0.

an1 n Решая эту систему можно найти xi. Известно, что нетривиальное решение такой системы будет при условии равенство нулю главного определителя системы a11 - 1 a12 a13 K a1n a21 a22 - a23 K a2n a31 a32 a33 - K a3n = (3.11) K K K K K an1 an2 an3 K ann - n Это и будет характеристическое уравнение системы, a 1,,.... явля2 n ются корнями характеристического уравнения.

Получив характеристическое уравнение системы можно определить устойчивость по корням этого уравнения. Для этого запишем общее решение системы (3.8) n XCB i = e it.

Ci i=Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы lim X = CB.

t Это условие выполняется в случае, если все корни характеристического уравнения будут "левыми", т.е. будут иметь отрицательные действительные части и располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости.

Непосредственное применение необходимого и достаточного условия, требующее решение характеристического уравнения, просто лишь для систем первого и второго порядков, менее удобно в случае третьего и четвертого порядков, а для систем более высоких порядков является довольно трудоемкой задачей. Однако, чтобы судить о том, удовлетворяет ли линейная система необходимому и достаточному условию устойчивости, нет надобности находить корни характеристического уравнения: достаточно убедиться в том, что их вещественные части отрицательны. Для этого служат алгебраические критерии, позволяющие судить об устойчивости линейной системы по коэффициентам ее характеристического уравнения.

Рассмотрим характеристическое уравнение вида a0 pn + a1 pn-1+....+an-1 p + an = 0. (3.12) все коэффициенты которого вещественны.

В конце 19 века с необходимостью определения устойчивости систем высокого порядка встретился словацкий инженер Стодола выдающийся конструктор паровых турбин, работающий в Швейцарии. По его предложению швейцарский математик Гурвиц в 1893 г. нашел способ, позволяющий достаточно просто определить по коэффициентам характеристического уравнения, отрицательны ли вещественные части его корней. Для этого составляется определитель Гурвица a1 a3 a5.... a0 a2 a4.... Dn = 0 a1 a3.... 0, (3.13)...........

0 0 0 0 an по диагонали которого располагаются коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an. Выше коэффициента, стоящего по диагонали, в каждом столбце пишутся подряд старшие по индексу коэффициенты, а ниже - младшие.

Затем составляются все диагональные миноры определителя:

D1 = a1;

a1 aD2 = ;

a0 aa1 a3 aD3 = a0 a2 a4, 0 a1 aи т. д. Критерий Гурвица требует, чтобы у системы, для которой соблюдается необходимое и достаточное условие устойчивости, выполнялось условие Dk 0.k = 1.2.....n.

Это легко проверить с помощью формул Виета, задаваясь корнями с отрицательной вещественной частью.

Применим критерий Гурвица к системе третьего порядка с характеристическим уравнением a0 p3 + a1 p2 + a2 p + a3 = 0, для которой определитель (3.12) принимает вид:

a1 a3 D3 = a0 a2 0.

0 a1 aОтсюда D1 = a1;

D 2 = a1a - a0 a3 ;

D 3 = a3 D 2.

Из условия D1 > 0 находим a1 > 0. При этом из условия D2 > 0 и D3 > получаем a3 > 0. Тогда из условия D2 > 0 следует, что a1a -a0a3 > 0.

Таким образом, определители D1, D2, D3 будут положительными, как требует критерий Гурвица, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны и между ними имеет место соотношение a1a -a0a3 > 0.

3.3. Частотные критерии.

Применение критериев Гурвица и Рауса к системам высокого порядка требует длительных вычислений. В этих случаях имеют преимущества методы исследования устойчивости по частотным характеристикам. С помощью этих методов формулируются частотные критерии устойчивости.

Частотные характеристики можно получить, переходя от преобразования Лапласа, к преобразованию Фурье, путем замены оператора Лапласа p на комплексный оператор частоты j. Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (3.12), представляющую некоторый вектор на комплексной плоскости корней.

Этот вектор, называется характеристическим, и имеет n составляющих вида p - pk, где pk - корни характеристического уравнения. Делая подстановку p = j, составляющие характеристического вектора можно представить в виде j - pk, а общее его выражение определяется произведением n a0 j - pk ), (3.14) ( k =где n- степень характеристического уравнения.

Рассмотрим две составляющие характеристического вектора (3.14), соответствующие паре комплексно-сопряженных корней:

pk = sk + jk ;

pk +1 = sk - jk, где sk 0, так что эти корни удовлетворяют необходимому и достаточному условию устойчивости.

Нанеся их на плоскость корней (рис. 3.2), построим векторы j - pk и j - pk +1. Исследуем, как изменяется положение этих векторов при изменении от 0 до бесконечности.

Очевидно, что вектор j - pk повернется на угол + q, где q- показанный на рис. 3.2 угол между вектором Pk и отрицательным направлением оси абс цисс. Вектор j - pk +1 повернется в том же случае на угол - q. Эти повороты рассматриваемых векторов изменяют аргумент характеристического вектора на угол + q + - q =, так что при изменении частоты от 0 до бесконечности на каждый корень приходится изменение аргумента на угол.

То же самое будет и в случае вещественных корней, для которых q=0, за исключением нулевых корней, которые не k вызывают изменение аргумента характериpk - p j k j q стического вектора. Чисто мнимые корни из S sk меняют аргумент характеристического векj - p k + тора так, что при изменение частоты в укаpk+1 - k занных пределах положительный корень даРис. 3.ет +, а отрицательный - 0. Таким образом, на каждый корень приходится изменение ар гумента на угол, но знак этого изменения оказывается неопределенным.

Положим теперь, что S k>0, так что необходимое и достаточное условие устойчивости не удовлетворяется. Нетрудно убедится, что в этом случае при изменении частоты в тех же пределах на каждый корень будет приходиться из менение аргумента характеристического вектора, равное - за исключением нулевых и чисто мнимых корней.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.