WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |

дб L() 1 2 3 4 -40дб/дек -20дб/дек 20дб/дек 1/T 1/T -0,01 0,1 1 10 100 рад/C Рис. 1.8.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность их построения практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения передаточных функций типовых звеньев. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть построена суммированием ординат ЛАЧХ отдельных сомножителей, и будет представлять собой содб вокупность отрезков прямых с наклонами, кратными величине дек 2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1 Понятие пространства состояний.

К многомерным системам относятся такие системы, у которых имеется несколько управляемых и управляющих величин. Например, системы автоматического регулирования частоты вращения двигателей переменного тока, системы регулирования напряжения и частоты синхронного генератора, системы управления промышленными роботами, системы управления подвижными объектами.

При исследовании многомерных систем пользуются методами пространства состояний [11]. В отличие от подхода основанного на использовании структурных схем и передаточных функций использование метода пространства состояний основано на возможности описания поведения системы некоторым количеством дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния с начальными условиями. Понятие состояния, лежащее в основе современного подхода к описанию поведения динамических систем, было впервые введено Тьюрингом в 1936 г. Позднее это понятие было использовано Шенноном в его работах по теории информации. Начало широкому использованию этого подхода для решения задач автоматического управления положили российские ученые М.А. Айзерман, А.А. Фельдбаум, А.М. Летов, А.И. Лурье. За рубежом распространение этих идей и основанных на них методах анализа и синтеза систем управления принадлежит Р. Беллману и Р. Калману.

Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления, который характеризуется входными и выходными переменными, к которым относятся:

1) входные переменные, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на ее поведение. Входные переменные разделяются на управляющие переменные, задаваемые вектором U T u = (u1,u2,...uk ), (2.1) и возмущающие воздействия, задаваемые вектором f T f = ( f1, f2,... fl ), (2.2) 2) выходные или регулируемые переменные, задаваемые вектором регулируемых величин y T y = (y1, y2,...ym ), (2.3) 3) переменные (обобщенные координаты) состояния или промежуточные переменные, задаваемые вектором обобщенных координат x x = (x1, x2,...xn )T (2.4) Переменные многомерного объекта являются векторными величинами, зависящими от времени, а сам объект может быть структурой рис. 2.1.

f f fl 1 U1 yU2 Внутренние yперем енные x, x,.........xn 1 Uk ym Рис 2.1.

Согласно понятию векторного пространства множество всех значений, которые может принять вектор управления U в момент времени t, образует пространство управляющих величин. Аналогично, множество всех значений, которое могут принимать векторы возмущений f, регулируемых величин y и обобщенных координат x в момент времени t, образуют пространство возмущающих воздействий, пространство регулируемых величин и пространство состояний системы.

В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x(t0 ) и вектора входных величин U(t0,t) и f (t0, t) x(t) = F[x(t0 );u(t0,t);f (t0,t)], (2.5) где F - однозначная функция своих аргументов.

Вектор регулируемых величин в момент t является также функцией начального состояния x0 (t0 ) и вектора входных величин U(t0,t) и f (t0,t) и может быть записан как y(t) = [x(t0 );u(t0, t);f (t0,t)]. (2.6) Уравнения (2.5) и (2.6) называют уравнениями состояния системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, уравнения (2.5) и (2.6) могут быть записаны в следующем виде:

dx = F[x(t);u(t);f (t)];

(2.7) dt y(t) = [x(t);u(t);f (t)].

Для линейных систем уравнения состояния сводятся к следующим:

dx = A(t)x(t) + B(t)u(t) + E(t)f (t);

(2.8) dt y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + G(t)f (t).

Уравнение (2.7) и (2.8) устанавливает взаимосвязь между входными (управляющими и возмущающими) и выходными (фазовыми) координатами объекта, определяемую видом функций F[x(t);u(t);f (t)] и [x(t);u(t);f (t)], а также позволяет описать процесс движения системы в пространстве состояний, как результат решения векторного дифференциального уравнения (2.7) или (2.8).

2.2 Понятие матрицы передаточной функции, матриц временных и частотных характеристик.

Введение векторных переменных позволяет для линейных систем использовать привычный аппарат передаточных функций и структурных схем, однако понятие передаточной функции значительно расширяется.

Пусть имеется многомерная система управления со структурной схемой показанной на рис. 2.2. и системой дифференциальных уравнений, записанных в символической форме.

f Wf(p) g e U + y Wp(p) Wo(p) Рис 2.2.

По аналогии с одномерными системами можно записать [2]:

Q( p)y( p) = R( p)U( p) + S( p)f ( p), (2.9) где Q(p)-квадратная матрица операторных коэффициентов размера n n q11( p); q12 ( p);....q1n ( p) q ( p); q22 ( p);....q2n ( p), Q( p) =............................

q ( p); qn2 ( p);....qnn ( p) nR(p)- прямоугольная матрица операторных коэффициентов размера n k r11( p); r12 ( p);....r1k ( p) r ( p); r22 ( p);....r2k ( p), R( p) =............................

r ( p); rn2 ( p);....rnk ( p) nS(p)- прямоугольная матрица операторных коэффициентов размера n l s11( p); s12 ( p);....s1l ( p) s21( p); s22 ( p);....s2l ( p) S( p) =.

............................

sn1( p); sn2 ( p);....snl ( p) Для получения системы дифференциальных уравнений необходимо перемножить прямоугольную или квадратную матрицы на матрицы - столбцы соответствующих переменных объекта.

Взаимосвязь уравнений состояния (2.8) с уравнениями системы в виде (2.9) определяется из следующих соотношений. Из второго уравнения (2.8) выразим переменную x(t) через y(t) x(t) = C-1y(t) - C-1Du(t) - C-1Gf (t) (2.10) и подставим это выражение в первое уравнение (2.8) dy du df C-1 - D - G = AC-1[y(t) - Du(t) - Gf (t)]+ Bu(t) + Ef (t).(2.11) dt dt dt Преобразовывая по Лапласу (2.11) и группируя подобные члены, получим выражение аналогичное (2.9), которое путем приравнивания матриц при одноименных переменных позволяет установить взаимосвязь (2.8) с (2.9).

(Ip -CAC-1)y( p) = (DIp + CB)u( p) + (GIp + CE- CAC-1G + E)f( p), (2.12) где I - единичная матрица, S( p) = Ip - CAC-1, R( p) = DIp + CB, Q( p) = GIp + CE - CAC-1G + E.

По аналогии с одномерными системами, используя основные правила теории матриц, можно ввести понятие матриц передаточной функции, временных и частотных характеристик.

Если умножить (2.9) на обратную матрицу Q-1 ( p), то получим:

y( p) = Q-1( p)R( p)u( p) + Q-1( p)S( p)f( p).

(2.13) Отсюда можно получить выражение для матриц передаточных функций системы по управлению Wu ( p) = Q-1( p)R( p). (2.14) и возмущению Wf ( p) = Q-1( p)S( p) (2.15) Из теории матриц известно, что обратная матрица может быть вычислена по методу неопределенных коэффициентов применительно к выражению Q( p)Q-1 ( p) = I, где I - единичная матрица, что в конечном итоге приводит к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Второй способ вычисления обратной матрицы задаётся выражением:

Q11;Q12;.....Q1n Q ;Q22;.....Q2n Q-1 ( p) =, (2.16) det Q...................

Q ;Qn2;.....Qnn nгде Qij - алгебраические дополнения элемента qij матрицы Q(p).

Если в матрице передаточной функции для каждого элемента матрицы найти обратное преобразование Лапласа, то получится матрица весовых функций (матрица Коши).

11(t);12 (t);....1k (t) (t);22 (t);....2k (t) (t) = (2.17)............................

(t);n2 (t);....nk (t) nЕсли в момент времени t=0 на все к входов поступают управляющие воздействия u(t), то изменение i- ой регулируемой величины может быть найдено посредством интеграла Дюамеля на основании принципа суперпозиции:

t k yi(t) = j (2.18) u (t)ij (t - )d j =Аналогично одномерным системам, производя замену оператора p на оператор j для каждого элемента матрицы передаточных функций (2.14), (2.15), получим матрицу комплексной передаточной функции.

w11( j), w12 ( j),......w1k ( j) w21( j), w22 ( j),.....w2k ( j) Wu ( j) =............................................. (2.19) wn1( j), wn2 ( j),......wnk ( j) Если теперь положить, что одновременно на все входы многомерной системы поступают гармонические сигналы одинаковой частоты, то АЧХ и ФЧХ iой регулируемой величины могут быть вычислены по следующим формулам:

k Ai () = wij ( j) ;

j=(2.20) k () = arg wij ( j) j= Т. е. сначала определяют частотную передаточную функцию по i- ому выходу как сумму комплексных элементов j- ой строки матрицы частотной передаточной функции всей системы, а затем АЧХ и ФЧХ находят как модуль и аргумент этой суммы комплексных элементов.

Также как и для одномерных систем, в многомерных системах одной и той же матрице передаточной функции может соответствовать несколько вариантов структурных схем и уравнений состояния. Т.е. по уравнениям состояния матрица передаточной функции может быть получена однозначно, обратное утверждение будет неверным. Для выяснения этой особенности многомерных систем рассмотрим основные свойства конечномерного векторного пространства.

2.3. Основные свойства конечномерного векторного пространства Множество R элементов x,y,z,.... называется векторным, или линейным, пространством, если для любых его элементов х, у определена сумма x + y R и для каждого элемента x R и для каждого числа определено произведение x R, причем выполнены следующие условия:

1. x + y = y + x для всех x,y R 2.(x + y) + z = x + (y + z) для всех x,y, z R.

3. Существует такой (нулевой) элемент 0 R, что x + 0 = x для всех элементов x R.

4. Для каждого элемента x R существует такой элемент - x (называемый противоположными к x ), что x + (-x) = 5. 1• x = x для всех x принадлежавших R.

6. (x) = ( )x для всех, F и x RR.

7. ( + )x = x + x для всех, F и x R.

8. (x + y) = x + y для всех F и x,y R.

Элементы векторного пространства называются векторами.

Векторы x1, x2,...xh, векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа a1, a2,...ak, не равные одновременно нулю, что a1x1 + a2x2 +..... + ak xk = 0. (2.21) Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми, что выполняется, если уравнение (2.21) удовлетворяется только в случае равенства нулю всех скаляров ai.

Критерий линейной зависимости множества векторов с действительными компонентами может быть выражен аналитически в виде определителя Грама или грамиана множества векторов. Умножая обе части уравнения (2.21) на x1, x,…..xk и образуя последовательные скалярные произведения, можно показать, что коэффициенты ai должны удовлетворять следующим уравнениям:

a1(xix1 ) + a2 (xi x2 ) +.... + ai (xixi ) +.... + ak (xixk ) = 0 (2.22) для i=1,2,……k. Выражение (xi x ) означает скалярное произведение векторов xi j на xj. Эти уравнения выражают требование ортогональности левой части уравнения (2.21) одновременно к каждому из векторов x1, x2,…..xk. Согласно правилу Крамера эта система k уравнений относительно k неизвестных коэффициентов ai имеет нетривиальное решение только тогда, когда определитель Грама равен нулю.

(x1x1 ),(x1x2 ),......(x1xk ) (x2x1 ),(x2x2 ),......(x2xk ) G = = 0. (2.23)...................................

(xk x1 ),(xk x2 ),......(xk xk ) Отсюда следует, что множество векторов является линейно зависимым тогда и только тогда, когда его грамиан равен нулю. Эта теорема справедлива и для векторов с комплексными переменными, если в (2.23) скалярные произведения векторов заменить эрмитовыми скалярными произведениями.

Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов называется бесконечномерным.

Говорят, что множество векторов x1, x2,…..xk из векторного пространства R порождает R, если каждый вектор в R может быть записан в виде линейной комбинации векторов x1, x2,…..xk. Это множество векторов называют порождающим множеством. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства R называется его базисом. Каждый вектор xi линейного nмерного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Однако конечномерное векторное пространство может обладать различными базисами.

Пусть дано множество базисных векторов x1, x2,…..xk для векторного пространства R и любой другой вектор у 0 из R, который может быть записан в виде линейной комбинации векторов xi k у = xi. (2.24) i i=Тогда, если из множества x1, x2,…..xk исключить любой вектор xi, для которого i 0 и вектор у добавить в множество, То получится новое множество к векторов, которые тоже образуют базис для векторного пространства R.

Векторы из n-мерного векторного пространства R не равные нулю, называются ортогональными, если их скалярные произведения равны нулю. Пусть x1, x,…..xn – ортогональная система векторов. Тогда (xi x ) = 0 для i j ;

j (2.25) (xi x ) = xi для i = j.

j Систему векторов называют ортогональной, если любые два вектора системы ортогональны друг другу. Векторы ортогональной системы линейно независимы.

Множество n взаимно ортогональных векторов единичной длины векторного пространства R образуют ортогональный базис этого пространства.

2.4. Линейные преобразования в пространстве состояний Пусть в векторном пространстве (пространстве состояний) R задан базис x1, x2,…..xk. Этот базис может быть получен из другого базиса с помощью линейного преобразования k xi = y i = 1,2,...k, t ij j j=или в матричной форме x = Ty, (2.26) t11 t12... t1k t t22... t2k где T =.

............

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.