WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |

oc Разрешая эту систему уравнений относительно X (p) и Y(p), получим:

Y(p)[1±W(p)W0(p)]= W(p)X(p).

Знак минус относится к положительной обратной связи, знак плюс - к отрицательной.

Откуда выражение передаточной функции для соединения с обратной связью будет выглядеть:

W(p) W3(p)=. (1.44) 1 ± W(p)Woc(p) Следует обратить внимание на то, что, имея структурную схему, можно однозначно с использованием правил преобразования структурных схем, получить выражение для передаточной функции и дифференциального уравнения системы.

Обратное утверждение будет неверным, т.е. одной и той же передаточной функцией системы может соответствовать несколько структурных схем [11].

Покажем это на примере. Пусть имеется передаточная функция звена, записанная в виде:

b0 p + bW(p)=. (1.45) p2 + a1 p + aЗапишем ее через отрицательные степени оператора р.

b0 p-1 + b1 p-y( p) W(p)= =. (1.46) u( p) 1+ a1 p-1 + a2 p-Введем вспомогательную переменную Е(р) равную u( p) E(p)=,. (1.47) 1+ a1 p-1 + a2 p-или u( p) = E( p) - a1 p-1E( p) - a2 p-2E( p), откуда нетрудно составить и структурную схему (рис. 1.4).

a b x x g E y + _ 1 bp p _ a Рис. 1.Дифференциальные уравнения для переменных состояния или фазовых переменных могут быть легко найдены из рассмотрения структурной схемы системы.

dx= x2;

dt dx= u - a2 x1 - a1x2;

. (1.48) dt y = b1x1 + b0 x2.

Разложим (1.45) на простейшие дроби, предполагая, что характеристическое уравнение звена имеет действительные корни p1 и p2. Согласно теореме Виетта - ( p1 + p2) = a1 p1p2 = a2. Тогда выражение передаточной функции примет, следующий вид:

y( p) A B = +, u( p) p - p1 p - pb0 p1 + b1 b0 p2 + bгде A =, B = -. Структурная схема следует из выражения передаp1 - p2 p1 - pточной функции непосредственно (рис. 1.5).

pE u y x + bp _ x bp + pРис. 1.Система дифференциальных уравнений теперь выглядит dx= u - p1x1;

dt dx= u - p2 x2;

(1.49) dt y = Ax1 + Bx2.

Если теперь записать (1.45) в виде произведения дробей, то получим следующее выражение b0 p + by( p) =.

u( p) ( p - p1)( p - p2 ) xu x1 = x2 = Введем переменные состояния, тогда p - pp - py( p) = (b0 p + b1 )x. Отсюда можно получить структурную схему (рис. 1.6) и уравнения в переменных состояния b u y x + x bp p + + p2 pРис. 1.6.

dx= p1x1 + x2;

dt dx= u + p2 x2;

(1.50) dt y = (b0 p1 + b1)x1 + b0 x2.

Сравнивая уравнения состояния (1.48) - (1.50) и структурные схемы рис.

1.4-1.6 можно сделать вывод о том, что одной передаточной функции (1.45) могут соответствовать различные структурные схемы и уравнения состояния. Такое многообразие структурных схем обусловлено выбором различных систем отсчета для переменных состояния. Выбирая переменные состояния в различных координатных системах можно будет получать и различные структурные схемы.

1.6. Временные характеристики В общем случае под временной характеристикой следует понимать реакцию системы Y(t) на входной сигнал X(t), являющийся произвольной функцией времени. В операторной форме выходной сигнал можно вычислить так:

Y P = W P X P.

( ) ( ) ( ) (1.51) Переходя к оригиналам можно записать:

LY t = L t L X t ( ) ( ) ( ), (1.52) [ ] [ ] [ ] где L –оператор преобразования Лапласа.

Применим к этому выражению теорему о свертке t L t L t = L t - X d ( ) ( ) [ ] [X ] (1.53) ( ) ( ).

Откуда найдем y(t) t y t = t - X d. (1.54) ( ) ( ) ( ) Функция (t) определяемая как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции называется функцией веса, а выражение (1.53) интегралом Дюамеля. Функция веса, таким образом, представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции и также характеризует динамические свойства системы. Однако в отличии от передаточной функции она являясь функцией времени, может непосредственно наблюдаться и, следовательно, может быть определена из эксперимента.

Из выражения (1.54) найдем, каким должен быть сигнал на входе системы X(t), чтобы его выходной сигнал являлся функцией веса. Для этого заменим Y(t) на (t), а X(t) на (t) t t = t - d ( ). (1.55) ( ) ( ) Используя вторую теорему о среднем значении определенного интеграла [2] можно записать:

t t. (1.56) (t - ) ()d = (t) ()d + (0) ()d 0 Выражение (1.56) будет равно (1.55) только в том случае если при любом 0 lim ( )d = 1.

(1.57) Это предел существует, если (t) принимает следующие значения при t = 0;

(t)= (1.58) 0 при t 0.

и называется дельта-функцией, или функцией Дирака.

На практике сформировать такой импульс на входе системы невозможно, tu однако если длительность импульса достаточно мала, то реакция системы на такой импульс в силу ее линейности будет приблизительно равна его площади.

Для проверки этого предположения рассмотрим простейший пример действия на апериодическое звено первого порядка импульса произвольной форUtu ( ) мы и длительностью.

Выражение для функции веса найдем по таблице преобразования Лапласа t T t = ke ( ).

Подставим это выражение в (1.48) и учтем, что значение входного сигнала равно нулю при t < t. Изменяя пределы интегрирования получим:

tu t T Y t = ke U0 d ( ) ( ).

Вынесем коэффициенты и переменные, не зависящие от, за знак интегралаь:

tu t Y t = keT.

( ) U ()eT d Применяя вторую теорему о среднем значении определенного интеграла найдем приближенное выражение для у(t).

tu t tu T Y t = keT ( ) 0.

U ()d + e U ()d - i tv tu T ( ) ( ) ( ) Если предположить, что, то e 1 и Y t t d.

tu << T U Иногда экспериментальное определение функции веса путем подачи на вход системы коротких импульсов не всегда возможно. В этом случае на вход подают единичную ступенчатую функцию.

1 при t > 0;

1(t)= (1.59) 0 при t < 0.

Реакцию системы на единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисайда) называют переходной характеристикой или кривой разгона и обозначают h(t).

Очевидно, в силу линейности преобразования Лапласа между функцией ве са и переходной функцией существуют такие же соотношения как между - функцией и единичной функцией dh(t) d1(t) = (t); = (t);

dt dt t t (1.60) ( )d = h(t); ( )d = 1(t).

0 Для установления взаимного соответствия между передаточной функцией системы и переходной характеристикой достаточно подвергнуть преобразованию Лапласа (1.54) ph(P)= (p)= W(p). (1.61) 1.7. Частотные характеристики Использование преобразований Лапласа упрощает исследование систем управления, так как позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений к решению эквивалентным им алгебраических уравнений.

Однако, остается неясным, как экспериментальным путем определить коэффициенты дифференциальных уравнений или передаточных функций системы. Использование для этих целей экспериментально снятых временных характеристик может внести значительные погрешности в определении передаточной функции из-за неточного воспроизведения входных тестовых сигналов ( функции и единичной функции), а также наличия помех.

Для экспериментального определения параметров передаточной функции можно воспользоваться еще одним интегральным преобразованием - преобразованием Фурье.

Это преобразование аналогично преобразованию Лапласа и задается следующими формулами:

F( j) = f (t)e- jt dt;

(1.62) jt f (t) = F( j)e d, где = - круговая частота, j = -T Первое выражение является прямым преобразованием Фурье, второе - обратным.

Формально преобразование Фурье отличаются от преобразования Лапласа заменой оператора j на оператор p и изменение предела интегрирования в первом выражении.

По аналогии с передаточной функцией W(р) можно ввести понятие частотной передаточной функции W( j) равной отношению преобразованных по Фурье выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях y( j) W( j) =. (1.63) x( j) Выражение (1.63) позволяет экспериментально определить значение W( j) при заданной частоте. Для этого необходимо на вход системы подать гармонический входной сигнал определенной частоты x(t) = x0Sin(t).

В линейной системе выходной сигнал y(t) также будет гармоническим y(t) = y0Sin(t + ), где - фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами. Подвергая эти сигналы преобразованию Фурье, найдем что:

x( j) = x0;

j y( j) = y0e.

Тогда из (1.57) можно вычислить W( j) для конкретного значения :

j y0e j ( ) W( j) == A()e. (1.64) xЗадаваясь различными значениями частоты и измеряя амплитуды входного x0 и выходного y0 сигналов системы, а также фазовый сдвиг между ними можно найти зависимость W( j) как функцию частоты, а затем вычислить коэффициенты A(),() частотной передаточной функции.

Из (1.64) следует, что частотная передаточная функция является комплексной функцией, зависящей от. Используя показательную и алгебраическую форму представления комплексных чисел можно выделить в W( j) модуль, аргумент, вещественную и мнимую части.

Модуль частотной передаточной функции равный отношению амплитуды выходного и входного гармонических сигналов, как функции частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначается A().

A() = W( j. (1.65) Аргумент W( j) равный фазовому сдвигу между выходным и входным сигналами, как функции, называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначается ().

() = arg W( j). (1.66) [ ] Аналогично вещественная и мнимая части W( j) называются вещественной (ВЧХ) U() и мнимой (МЧХ) V () частотными характеристиками W( j ) = U ( ) + jV ( );

U () = Re W( j) ; V () = Im W( j). (1.67) [ ] [ ] Между этими характеристиками существуют очевидные соотношения:

V () A() = U () + V () ; () = arctg ; (1.68) [ ]2 [ ]U () U () = A() cos () ; V () = A() sin ().

[ ] [ ] Кроме этих четырех частотных характеристик существует еще амплитудно-фазо-частотная характеристика АФЧX, представляющая собой годограф частотной передаточной функции. Годограф - это геометрическое место точек вектора W( j) на комплексной плоскости при изменении от 0 до.

В качестве примера найдем частотные характеристики апериодического звена первого порядка с передаточной функцией k W(p) =.

Tp + Запишем выражение для частотной передаточной функции W( j), делая формальную замену p = j.

k k kT W( j) = = - j.

2 2 2 T( j) + 1 + T 1 + T Пользуясь соотношениями (1.65)-(1.68) найдем:

k A() = ; () = -arctgT.

2 1 + T k kT U () = ; V () =-.

2 2 2 1 + T 1 + T Для получения аналитического выражения для АФЧХ сделаем подстановку x = U () ; y = V () в выражения для ВЧХ и МЧХ и исключим параметр. После преобразований получим уравнение АФЧХ на комплексной плоскости:

k k x - + y2 =.

Это уравнение полуокружности с центром k/2 ; j0 и радиусом k/2.

+j k +U ( ) ( ) A ( ) V ( ) Рис. 1.7.

Помимо выше приведенных частотных характеристик в теории управления широко используются логарифмические частотные характеристики, построение которых осуществляется на основе простейших вычислений.

Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции (1.64):

ln[W ( j)]= ln[A()]+ j(). (1.69) Как видно из этого выражения логарифм частотной передаточной функции равен комплексному числу, вещественная часть которого является логарифмом модуля частотной передаточной функции, а мнимая – фазой.

Для построения логарифмических частотных характеристик используются десятичные логарифмы и строят отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ), которая фактически совпадает с фазовой частотной характеристикой L() = 20 lgWо ( j) = 20 lg[Aо ()]. (1.70) Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу соответствующую десятикратному увеличению мощности. Децибел равен одной десятой части бела.

Расчет и построение ЛАЧХ в соответствии с (1.70) предполагает, чтобы АЧХ стоящая под знаком десятичного логарифма была безразмерной величиной мощности. Поэтому в том случае если A() имеет какую-либо размерность в (1.70) используют относительную передаточную функцию и относительную частотную характеристику A() Ao () =, (1.71) Aб где Аб =1 – базовое значение, имеющее размерность A().

Появление дополнительного сомножителя в выражении для ЛАЧХ равного двум обусловлено тем, что A() представляет собой отношение не мощностей, а их квадратов, т.е. при увеличении коэффициента передачи в к раз, усиление мощности происходит в к2 раз, что и вызывает появление дополнительного сомножителя в (1.70) равного двум.

Построим ЛАЧХ типовых звеньев.

1. Безинерционное звено A() = k, L() = 20 lg(k). ЛАЧХ безинерционнгого звена представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис. 1.8.).

k 2. Интегрирующее звено A() =, L() = 20 lg(k) - 20 lg(). ЛАЧХ интег рирующего звена это прямая линия, проходящая через точку с координатами = 1и L() = 20 lg(k) и имеющая отрицательный наклон дб - 20 (прямая 2 на рис. 1.8.).

дек 3. Дифференцирующее звено A() = k, L() = 20 lg(k) + 20 lg(). ЛАЧХ дифференцирующего звена это прямая линия, проходящая через точку с координатами = 1и L() = 20 lg(k) и имеющая положительный наклон дб 20 (прямая 3 на рис. 1.8.).

дек k 4. Апериодическое звено первого порядка A() =, 2 1 + T 2 L() = 20 lg(k) - 10 lg(1 + T ). Эту характеристику приближенно можно заменить асимптотической (прямая 4 на рис.1.8.) 20 lg(k), при < ;

T L() 20 lg(k) - 20 lg(T ) - 20 lg(), при >.

T Максимальная ошибка такого приближения на сопрягающей частоте = T не превышает 3дб.

k 5. Колебательное звено A() =. Асимптотическая 2 2 2 (1 - T ) + 4 T ЛАЧХ которого равна (прямая 5 на рис.1.8.) 20 lg(k), при < ;

T L() 20 lg(k) - 40 lg(T ) - 40 lg(), при >.

T Для построения ЛАЧХ используется стандартная логарифмическая сетка.

По оси частот откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е.

наносятся отметки, соответствующие lg, а около отметок пишется само значение частоты в рад/С.

По оси ординат откладывается модуль нормированной амплитудночастотной характеристики в дб. Ось абсцисс (частот) должна пересекать ось ординат в точке 0 дб, что соответствует значению A() = 1.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте, но обязательно левее самой малой сопрягающей частоты, соответствующей наибольшей постоянной времени системы. Такое построение оси абсцисс необходимо, чтобы справа от нее можно было показать всю ЛАЧХ..

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах или радианах в линейном масштабе.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.