WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

Наряду с математическими моделями в пространстве состояний широко используются математические модели “вход-выход” у которых вместо обобщенных координат вводятся входная U (управляющая) и выходная Y (управляемая) координаты.

Такие математические модели целесообразно использовать для одномерных систем, когда U и Y являются скалярами. В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее выходную и входную переменные, будет выглядеть:

dnY dn-1Y dY dmU dm-1U a0 +a1 +L+an-1 +anY =b0 +b1 +L+bmU, (1.21) dtn dtn-1 dt dtm dtm-a0,a1,K,an;b0,b1,K,bm где - постоянные коэффициенты; n - порядок системы.

Для реальных физически реализуемых систем управления m < n.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка (1.21) эквивалентно системе n линейных уравнений первого порядка (1.20). Для того,чтобы установить правила перехода от (1.19) к (1.21) примем в (1.20) Xn = Y; f1 = f2 =...... fk = 0и ограничимся рассмотрением системы второго порядка без учета третьего уравнения системы (1.19).

dX= a11 X1 + a12Y + b11U;

dt (1.22) dY = a21 X1 + a22Y + b21U.

dt Продифференцируем второе уравнение (1.22) d y dX1 dY dU = a21 + a22 + b21.

dt2 dt dt dt dXПодставим сюда из первого уравнения системы (1.22). После преdt образований получим:

d Y dY dU - a22 - a21a12Y = a21a11X1 + a21b11U +b21.

(1.23) dt dt dt Выразим X1 из второго уравнения системы (1.22) и подставим его в (1.23).

Окончательно будем иметь линейные неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

d2Y dU - (a11 + a22)dY + (a11a22 - a21a12)Y = b21 + (a21b11 - a11b21)U. (1.24) dt dt dtПриравнивая коэффициенты при одинаковых производных, получим соотношения между коэффициентами уравнений (1.21) и (1.24) a0 =1; a1 = -( ) ( ) a11 + a22 ; a2 = a11 a22 - a12 a21 ;

b0 = b21; b1 = a21 b11 - a11 b. (1.25) Выражения (1.25) позволяют установить, что обратный переход от (1.21) к (1.19) неоднозначен, так как часть коэффициентов матриц A и B можно выбирать произвольно.

Исследование системы (1.19) или уравнения (1.21) сводится, в первую очередь, к их решению или к задаче Коши. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений рассматриваются в специальных курсах математики, поэтому приведем здесь лишь основные методы решения.

Общее решение линейных неоднородных уравнений (1.19) - (1.21) равно сумме общего решения XCB (t) соответствующего однородного уравнения и частного решения XB (t) неоднородного уравнения X(t)= XCB (t) + XB (t) (1.26) Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами записывается в виде n t X (t)= C ePi, jCB i (1.27) i=Pi где Ci - постоянные интегрирования, - корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя, получаемого из матриц A или D = A - BL системы уравнений (1.19), (1.20), следующим образом:

d11 - p d12 d13 K d1n d21 d22 - p d23 K d2n d31 d32 d33 - p K d3n =. (1.28) M M M M dn1 dn2 dn3 dnn - p В случае использования уравнения (1.21) характеристическое уравнение поpt лучается после подстановки в него какого-либо частного решения Y = Ci e. После преобразований получим:

a0 pn + a1 pn-1+.........+a1 p + an = 0. (1.29) Нетрудно убедиться, что уравнения (1.22) и (1.24), представленные в различной форме записи имеют одно и тоже характеристическое уравнение.

Для вычисления частного решения применяют либо метод вариации произвольных постоянных, либо метод Коши [3].

В теории автоматического регулирования наиболее распространен операторный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на преобразовании Лапласа [3,4].

Используя свойства преобразования Лапласа, можно решить систему (1.20).

Для этого запишем ее в развернутом виде dX ;

= d21X1(t)+ d22 X (t)+Kd2n X (t)+ e21 f1(t)+ e22 f2(t)+Ke2m fm (t) 2 n dt M M M M M (1.30) dX n.

= dn1 X (t)+ dn2 X (t)+Kdnn X (t)+ en1 f1(t)+ en2 f2 (t)+Kenm f (t) 2 2 n m dt Начальные значения обобщенных координат заданы в виде X1(0), X (0).... X (n (0).

Подвергая систему уравнений преобразованию Лапласа, получим систему линейных алгебраических уравнений:

(P-d11) X1(P)-K-d1nXn(P) = e11f1(P)+K+e1mfm(P)+ X1(0) -d21X1(P)+(P-d22) X2(P)-K-d2nXn(P) = e21f1(P)+e22f2(P)+Ke2mfm(P)+ X2(0);

( 1.31) MMMM -dn1X1(P)-dn2X2(P)-K+(P-dnn)Xn(P) = en1f1(P)+en2 f2(P)+K+enmfn(P)+ Xn(0).

X1(p)K X (p) Решения этой системы должны быть, затем подвергнуты n обратному преобразованию Лапласа для того, чтобы получить решение X1(t)K X (t) исходной задачи Коши.

n Отметим, что, приравнивая нулю, главный определитель системы алгебраических уравнений (1.31), получим характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений (1.29).

1.4 Структурированные модели и передаточные функции систем управления.

Реальные системы управления представляют собой совокупность от- дельных элементов и блоков соединенных между собой посредством связей. Поэтому в практике гораздо удобнее бывает представлять математическую модель всей системы, как совокупность относительно простых математических моделей отдельных элементов и блоков системы. Такая форма математического описания в отличии от (1.19) отражает не только физические, но и технические принципы построения системы управления и позволяет исследовать процессы происходящие не только в системе в целом, но и процессы в отдельных ее элементах.

Структурированные модели, учитывающие техническую организацию систем управления, создаются на основе следующих допущений:

1. Все элементы системы являются простейшими звеньями, т.е. имеют один вход и один выход. Если звено характеризуется несколькими обобщенными координатами, то в качестве выходной величины выбирается та координата, которая является выходной или регулируемой величиной звена.

2. Все звенья, из которых состоит система, является детектирующими. В детектирующем звене выходная величина зависит только от входной. Если выходная величина звена оказывает влияние на входную, то звено называется недетектирующим.

Допущения о том, что в состав системы управления должны входить только детектирующие звенья не сужает область применения структурированных моделей, так как недетектирующее звено может рассматривать как совокупность детектирующих звеньев охватываемых обратной связью.

Таким образом, структурированная модель системы управления разбивается на ряд взаимосвязанных математических моделей отдельных звеньев. Тогда, последовательно исключая из рассмотрения все внутренние переменные, являющиеся входными или выходными сигналами внутренних звеньев, найдем дифференциальное уравнение описывающее взаимосвязь входной и выходной величины системы в виде (1.21) Взаимное соответствие математических моделей (1.17) и (1.19) наиболее просто устанавливается в случае нулевых начальных условий и отсутствия внешних возмущений.

Подвергая (1.19) и (1.21) преобразованию Лапласа при нулевых начальных X (p)= Y(p) U1(p) = U(p);Ui ( p) = условиях и полагая в (1.19), получим два n алгебраических уравнения Y(p) = 1U ;

(a0pn +a1pn-1 +K+an)Y(p)=(b0pm +b1pm-1 +K+bm) X(p), (1.32) где - характеристический полином (главный определитель) системы уравнений (1.19). Определитель получается заменой в характеристическом полиноме последнего столбца на столбец свободных членов.

Последнее уравнение (1.32) можно переписать в виде:

m m-Y(p)= b0 p + p1 P + K + bm. (1.33) n n-X ( p) a0 p + a1 p + K + an Это отношение называется передаточной функцией звено или системы и обозначается символом W(p).

Передаточной функцией системы называется отношение выходной величины к входной, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях и возмущениях.

Зная передаточную функцию системы или звена можно легко получить дифференциальное уравнение в форме (1.21), справедливо также и обратное утверждение. Как уже отмечалось ранее п. 1.3 однозначный переход от (1.19) к (1.33) возможен, а обратный переход будет неоднозначным.

В качестве примера получим дифференциальное уравнение звена, передаточная функция которого имеет вид.

b0 p + bW(p)= ;

p2 + a1 p + aИспользуя определение передаточной функции, запишем дифференциальное уравнение в символической форме (p2 + a1p + a2)Y(p) = (b0 p + b1)U(p) ;

Перейдем к оригиналам, используя правила преобразования Лапласа d Y dY dU ;

+ a1 + a2Y = b0 + bU dt dt dt Так как однозначный переход от этого уравнения к системе уравнений записанных в форме Коши невозможен, что следует из (1.25) примем b. Тогда a11 = 0; a12 = 1 a21 =-a1 ;a22 =-a1 ;e11 =- и система уравнений Коши aпримет вид:

dx1 b= x2 - U;

dt adx= -a2 x1 - a1x2 + b0U.

dt 1.5. Динамические звенья и структурные схемы систем управления.

Правила преобразования структурных схем.

Описание систем автоматического управления с помощью математических моделей, построенных на основе дифференциальных уравнений и передаточных функций, отличается малой наглядностью. Кроме этого, возникают значительные, а иногда и непреодолимые трудности при получении дифференциальных уравнений системы. Учитывая, то обстоятельство, что любая самая сложная система управления состоит из ограниченного набора элементов, соединенных определенным образом между собой, математическую модель всей системы целесообразно представлять в виде совокупности относительно простых моделей входящих в нее элементов. Такие элементы системы автоматического управления называются динамическими звеньями. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического типа и конструктивного оформления, описываемое дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

Для определения минимального набора динамических звеньев из которого можно создавать любые системы управления можно воспользоваться разложением передаточной функции системы, являющейся правильной дробнорациональной функцией оператора р на простые дроби или сомножители.

Из курса алгебры известно, что любую правильную дробно-рациональную функцию можно представить в виде суммы простых дробей вида k n Aij W(P)=, (1.34) (p j i=1 j =1 - pi ) или в виде произведения m b0 (p - pj) j =, (1.35) W(P) = n (p - pi) i=pi где - корни уравнения, получаемого путем приравнивания нулю знаменателя p передаточной функции (нули передаточной функции); - корни уравнения, поj лучаемого путем приравнивания нулю числителя передаточной функции (полюса n,m передаточной функции); - порядок многочлена знаменателя и числителя пеk Aij редаточной функции; - кратность нулей передаточной функции; - постоянные коэффициенты.

Предположим, что все нули и полюса передаточной функции лежат в левой полуплоскости, включая и мнимую ось, т.е. действительные нули и полюса отрицательны, а комплексно-сопряженные нули и полюса имеют отрицательную вещественную часть. В этом случае динамические звенья системы будут минимально-фазовыми, и их минимальный набор будет включать в себя:

1. Интегрирующие звенья с передаточной функцией и дифференциальным уравнением:

dY T = X W P = ;. (1.36) ( ) TP dt 2. Дифференцирующие звенья с передаточной функцией и дифференциальным уравнением:

dX Y = k W P = kP ( ) ;. (1.37) dt 3. Апериодические звенья первого порядка:

dY k T + Y = kX W P = ;. (1.38) ( ) TP + 1 dt 4. Колебательные звенья:

k W(P) = ;

T P2 + 2TP +(1.39) d Y dY T + 2T + Y = kX.

dt dt Нетрудно убедиться, что путем простейших алгебраических операций умножения и сложения можно получать любые выражения передаточных функций.

Если некоторые нули и плюса передаточной функции системы располагаются в правой полуплоскости, это свидетельствует о наличии в составе системы не минимально- фазовых звеньев. Таким звеном является звено чистого запаздывания с передаточной функцией и уравнением, связывающим выходную координату с входной W (p) = e- p ;

Y(t) = x(t - ). (1.40) Разложение передаточной функции системы на простейшие дроби дает возможность предположить, что любую систему автоматического регулирования можно рассматривать как комбинацию минимального набора динамических звеньев определенным образом соединенных между собой.

Изображение системы управления в виде совокупности динамических звеньев с указаний связей между ними носит название структурной схемы.

Основными элементами структурных схем являются:

- детектирующее звено - линия связи - узел (разветвление) - сумматор Любая структурная схема может быть изображена с помощью трех типов соединения звеньев: последовательного соединения; параллельного соединения;

соединения с обратной связью.

Рассмотрим структурные схемы таких соединений и найдем соотношения между передаточной функцией полученной системы и передаточными функциями отдельных звеньев, из которых эта система состоит. Принимаем, что все звенья являются детектирующими.

Последовательное соединение звеньев.

При таком соединении выход предыдущего звена включается на вход последующего. Структурная схема соединения звеньев показана на рис. 1.x(p) y (p) y (p) y (p) y (p) 1 2 n-1 n W (p) W (p) W (p) 1 2 n Рис. 1.Уравнения отдельных звеньев в символической форме будут выглядеть:

Y1(p) = W1(p)X (p);

Y2(p) = W2(p)Y1(p);

MM Y(p) = Wn(p)Yn-1(p).

Последовательно исключая промежуточные переменные получим:

Y(p)=W1(p)W2(p)KWn(p)X(p).

Откуда следует, что передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, входящих в соединение.

n Wп о с P = ( ) ( ). (1.41) W P i i =Параллельное соединение звеньев.

При таком соединении входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны общему входному сигналу, а выходной сигнал соединения равен алгебраической сумме выходных сигналов. Структурная схема параллельного соединения звеньев показана на рис. 1.2.

y1(p) W1(p) x(p) y2(p) y(p) W2(p) yn(p) Wn(p) Рис. 1.Аналогично, как и в случае последовательного соединения, запишем уравнения для выходных сигналов звеньев:

Y1(p) = W1(p)X (p);

MM (1.42) Yn(p) = Wn(p)X (p);

Y(p) = Y1(p)+ Y2(p)+KYn(p).

Yi P в последнее уравнение, получим:

( ) Подставляя выражения для Y(p)= [W1(p)+ W2(p)+ K + Wn (p)]X(p).

Откуда, передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев n Wnap P = ( ) ( ) W P. (1.43) i i =Соединение звеньев с обратной связью.

Такое соединение звеньев изображено на рис. 1.3.

g(p) x(p) y(p) W(p) _ xос(p) Wос(p) Рис. 1.3.

Знак плюс соответствует положительной обратной связи, знак минус - отрицательной. Для такого соединения звеньев справедливы следующие очевидные соотношения между переменными X (p)= g(p)± X (p);

oc Y(p)= W(p)X (p)X (p)=W0(p)Y(p).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.