WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 1.1. Математические модели объектов управления в обыкновенных и частных производных Математическая модель это математическое описание координат, параметров и функций, отображающих существенные свойства объекта, процесса или явления. Математическая модель объекта управления является основой для анализа и синтеза систем управления. В теории управления исследуются и рассматриваются не реальные системы, а их математические модели, поэтому результаты проводимых исследований и расчетов лишь приблизительно отражают свойства реальных систем. Чем точнее математическая модель отражает свойства реальной системы, тем точнее результаты проводимых расчетов.

Для получения математической модели системы управления необходимо дополнить уравнения объекта уравнениями исполнительных устройств, устройств измерения и устройства управления.

Очевидно, что без нарушения общности рассуждений исполни- тельные устройства и устройства измерения можно отнести к объекту управления, расширив размерность его вектора обобщенных координат. Такой объект, включающий в себя исполнительные и измерительные устройства, будем называть обобщенным объектом.

В наиболее общем случае управляемый процесс, протекающий в ОУ, может быть описан дифференциальными уравнениями в частных производных L(l,t) = f (l,t), (l L,t > 0) (1.1) при начальных условиях:

(l,0) = (l), ( j = 12...n,l L) (1.2), j и краевых условия условиях:

Bi(l,t) = bi (l,t), (i = 12....m,l L,t > 0), (1.3), где l - пространственная координата; m - число управляющих величин; n - число управляемых величин.

Ограничимся рассмотрением случая, когда L является волновым оператором или оператором переноса, что соответствует исследованию динамических процессов распространения возмущений и свободных движений. Кроме этого, выбор такого оператора позволяет рассматривать достаточно широкий класс физических процессов теплопроводности, диффузии, переноса, газо-гидродинамики, колебаний и сводится к решению смешанных задач математической физики для уравнений гиперболического и параболического типа вида:

n n x x aij (l) + (l) + c(l)x = U (l,t). (1.4) b i li lj i=1 li i, j=Рассмотрим основные физические процессы, сводящиеся к уравнению (1.4) 1. Уравнения колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран, трехмерных объектов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний :

x - div(pgradx) + qx = U (l,t). (1.5) t Неизвестная функция x(l,t) (координата процесса), зависящая от n (n=1,2,3) пространственных координат l1,l2,l3 и времени t, коэффициенты, p,q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс, свободный член U (l,t) выражает интенсивность внешнего возмущения. В уравнении (1.5) в соответствии с определением операторов div и grad n x div(pgradx) = p. (1.6) li li i=Для однозначного описания процесса колебаний необходимо дополнительно задать величину x(l,0) в начальный момент времени (начальные условия) и режим поведения x(l0,t) на границе среды, где развивается физический процесс (граничные условия) В задачах механики x(l,t) отклонения точки материального тела с координатами l1,l2,l3 от положения равновесия, в задачах электродинамики x(l,t) напряженность электрического или магнитного поля в точке пространства с координатами l1,l2,l3.

2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим уравнением диффузии.

x - div(pgradx) + qx = U (l,t). (1.7) t Неизвестная функция x(l,t) в этом случае является температурой или концентрацией вещества. U (l,t) - интенсивность источников тепла или вещества.

Как и в случае уравнения колебаний для полного описания процесса необходимо задать начальное распределение x(l,0) (начальные условия) и режимы на границе среды x(l0,t) (граничные условия).

3. Уравнения газо-гидродинамики + div(V ) = f (l,t);

t (1.8) V + (V,gradV ) + grad(p) = U (l,t), t здесь V (l,t) - вектор скорости движения жидкости или газа, (l,t)- плотность, p(l,t) - давление, f (l,t) - интенсивность источников, U (l,t) - интенсивность массовых сил.

Первое (уравнение неразрывности) и второе уравнение (уравнение Эйлера) дополняются уравнением состояния, учитывающим связь между давлением и плотностью.

Отметим, что для объектов с распределенными координатами, описываемыми уравнениями в частных производных, координаты физического управляемого процесса x(l,t) и внешние воздействия U (l,t) непрерывно изменяются во времени и пространстве. На практике контроль координат управляемого процесса и внесение управляющих воздействий осуществляется в отдельных точках пространства. В связи с этим, в задачах автоматического управления, для математического описания ОУ переходят к уравнениям в обыкновенных производных.

Формально такой переход можно осуществить заменой частных производных на обыкновенные в уравнениях (1.5), (1.7), (1.8) и введением некоторой интегральной характеристики учитывающей свойства и параметры среды.

F (x) = div(p grad x), Учитывая конечную скорость распространения возмущений в пространственной среде, где протекает управляемый процесс, а также то обстоятельство, что точка приложения управляющего воздействия и точка контроля координат процесса находятся в разных областях пространства, изменение x(l1,t) под действием U (l2,t) будет происходить не мгновенно, а с некоторым запаздыванием.

Время этого запаздывания можно вычислить как отношение расстояния между точками приложения управляющего воздействия и контроля к скорости распространения возмущений v l1 - l =.

v С учетом вышеизложенного, уравнения (1.5), (1.7), (1.8) могут быть преобразованы к виду:

1. Уравнения колебаний d x + qx + F (x) = U (t - ). (1.9) dt 2. Уравнения теплопроводности и диффузии dx + qx + F (x) = U (t - ). (1.10) dt 3. Уравнения газо-гидродинамики d + F1(,V ) = f (t - );

dt (1.11) dV = F2 (V ) + F3 () = U (t - ).

dt Эти уравнения являются нелинейными неоднородными уравнениями в обычных производных.

1.2. Линеаризация нелинейных моделей объектов управления Следует иметь в виду, что, говоря о линеаризации нелинейных моделей объектов регулирования, фактически осуществляют линеаризацию нелинейных дифференциальных или алгебраических уравнений которыми описывается объект.

Поскольку подавляющее большинство объектов управления являются нелинейными системами, то одной из задач теории линейных систем является задача линеаризации исходных нелинейных уравнений объекта управления и определение границ применения методов исследования линейных систем.

Стремление линеаризовать нелинейные системы, вызвано особыми свойствами линейных систем, позволяющими в значительной степени облегчить их анализ.

К таким свойствам относятся:

- свойство суперпозиции, y = f x ( ) - есть линейная функция, то если y(x1) + y(x2 ) = f (x1) + x2 ) для любых x1,x- свойство однородности на изменение масштаба входной переменной.

y = f x ( ) Если - линейная зависимость, то y = f (ax) = af (x) для любых действительных a.

Поведение физической конечномерной системы описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши.

dX. (1.12) = F[X(t),U(t)] dt Уравнение (1.12) в обобщенном виде описывает динамические свойства объекта управления, задаваемые уравнениями (1.5), (1.7), (1.8), когда обобщенX U ные координаты и возмущения являются векторами и зависят от времени.

Если рассматривать установившиеся состояния, при которых обобщенные координаты не зависят от времени, то система (1.12) преобразуется к виду:

F(X, U) = 0. (1.13) Такая система является системой алгебраических уравнений и характеризует особенности работы объекта в статике, т.е. функциональные зависимости X между и U для их установившихся значений. Уравнение (1.13), разрешенное относительно X, называется статической характеристикой объекта и записывается в виде:

X = (U). (1.14) Нетрудно убедиться, что система алгебраических уравнений (1.13) является частным случаем системы дифференциальных уравнений (1.12), при условии, что все производные по времени равны нулю.

Непосредственное исследование поведения объекта управления или физической системы по уравнению (1.12) представляет собой сложную вычислительную задачу сводящуюся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Для упрощения решения этой задачи ищут ее приближенное решение в предположении, что F(X, U) есть линейная функция по X. Следовательно, точность приближенного решения уравнения (1.12) будет определяться погрешностями линеаризации (1.14).

Из курса математики известно, что линеаризация нелинейности вида:

F(X,U) или X = f (U) осуществляется в окрестностях какой-либо точки X0, U0 удовлетворяющей уравнению (1.14).

Обычно в качестве такой точки выбирается точка статической характеристики объекта, соответствующая номинальным значениям U0.

Для заданных U0 путем решения системы алгебраических уравнений X(1.14) находят. Затем в окрестностях этой точки осуществляют линеаризацию F(X, V) = нелинейной зависимости. Либо методом малых отклонений, либо методом линеаризации в среднем.

Первый метод основан на разложении функции X = f (U) в ряд Тейлора в окрестностях точки X0, U0, с последующим отбрасыванием членов разложения выше второго порядка. Линеаризованное уравнение (1.13) запишется в виде:

J(X + U)= 0, (1.15) J где - функциональная матрица или якобиан функции F(X, U) в точке X0, U0 ;

X U X = X - X0; U = U - U0 - малые приращения векторов и.

dX dX = Подставляя (1.15) в (1.12) и учитывая, что получим линеариdt dt зованную систему дифференциальных уравнений:

dX = AX + BU, (1.16) dt где А и В квадратная и прямоугольная матрицы, определяемые свойствами якобиана функции F(X,U) X U и размерностью векторов и.

Область применения такого метода линеаризации ограничена малыми отX U клонениями переменных и от установившихся значений и условиями существования якобиана функции F(X,U), для чего необходимо условие дифференцируемости этой функции.

В том случае, если последнее условие не выполняется, т.е. функция F(X,U) имеет точки разрыва второго рода, используют метод линеаризации в среднем.

Сущность этого метода заключается в аппроксимации нелинейной функции линейной зависимостью в заданном диапазоне изменения обобщенных коX ординат. В качестве метода аппроксимации обычно используют метод наименьших квадратов. Линеаризованная система имеет вид (1.16), однако вычисление коэффициентов матриц А и В осуществляется по методу наименьших квадратов.

В соответствии с этим методом вводят вспомогательную функцию, определяемую как квадрат разности заданной нелинейной функции X = f (U ) и UUX = kU + b линейной зависимости на интервале [ ] U k,b = f U - kU - b dU.

( ) ( ) () Uk b Функция зависит только от неизвестных коэффициентов и.

k b Минимизируя по неизвестным коэффициентам и можно найти их конкретные значения из следующей системы линейных алгебраических уравнений:

= 0 ; = 0.

k b X = U В качестве примера линеаризуем участок параболы на интервале U от 0 до 1.

Вычислим функцию k2 2 1 = U - kU - b dU = b2 + kb + - b - k + ().

3 3 2 Найдем частные производные и приравняем их нулю.

2 1 = b + k - = 0 ; = 2b + k - =.

k 3 2 b b = - ; k = 1.

Откуда получим Если провести линеаризацию уравнения параболы методом малых отклонений, путем разложении уравнения параболы в ряд Тейлора в окрестностях точки с координатами [U0, f (U0 ) ], то можно записать:

n i f (U0 ) f (U ) = (U - U0 )i + Rn (U ).

i! i=Ограничиваясь линейными членами ряда и задавая координаты точки разложения [0,5; 0,25] получим:

f (U ) = f (05) + (U - 05) = U -.

,, Откуда b =- ; k = 1.

1.3. Различные формы представления линейных математических моделей Математическая модель системы управления является основой для анализа и синтеза систем. Поэтому в зависимости от особенностей исследуемой системы и характера решаемых задач используют различные формы представления математических моделей систем управления.

Наиболее широко используются два вида математического описания систем, или два вида математических моделей - это математические модели систем в пространстве состояний и математические модели “вход - выход” или структурированные модели.

В первом случае все переменные системы представляются в виде пространственных векторов, и поведение системы рассматривается в евклидовых пространствах управляющих, управляемых и возмущающих переменных, а также в пространстве состояний внутренних переменных или просто в пространстве состояний.

Как правило, не все обобщенные координаты объекта X используются для формирования управляющих воздействий, поэтому в рассмотрение вводится вектор управляемых или регулируемых величин объекта Y, размерность которого меньше или равна размерности вектора X.

Функциональная взаимосвязь между Y и X линейных и линеаризованных объектов задается выражением:

Y = CX (1.17), где С - квадратная или прямоугольная матрица.

Выражение (1.17) показывает, что любая регулируемая величина Y является линейной комбинацией от обобщенных координат объекта X.

n Yj =.

C X i j i i=Для получения полной математической модели системы управления необходимо ввести уравнения, описывающие поведение устройства управления. Для линейных систем такое управление задается в виде U = -LX;

(1.18) U = -MY, L, M - прямоугольные или квадратные матрицы управления.

Уравнение (1.18) реализует фундаментальный принцип управления - принцип обратной связи. Причем знак минус перед правой частью уравнений (1.18) указывает, что обратная связь является отрицательной, и управляющий сигнал всегда стремится возвратить систему к ее установившемуся состоянию, из которого она выходит под действием возмущений.

В технике впервые принцип обратной связи был использован в регуляторах Ползунова И.И. и Уатта Д.

Объединяя в единую систему уравнений выражения (1.16), (1.17) и (1.18), получим математическую модель системы управления, описывающую ее свойства в пространстве состояний dX = AX + BU + Ef;

dt Y = CX;

(1.19) U = -LX.

Исключая и третье уравнение из системы, получим:

dX = (A - BL)X + Ef ;

dt (1.20) Y = CX.

Отсюда следует, что математическая модель системы управления представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанных в форме Коши.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.