WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 ||

- d0 - d1....... - dn-1 In-2 - единичная матрица размера (n - 2) (n - 2), d0, d1,....dn-1- коэффициенты характеристического полинома объекта, задаваемого выражением:

D(p) = pn + dn-1 pn-1+......+d1 p + d0. (5.63) ( Переход от переменной x к x осуществляется преобразованием ( x = -1x, (5.64) ( ( ( ( ( где = (bAb.....An-1b)(bAb.....An-1b)-( Из структуры матрицы A следует, что уравнение системы в канонически управляемой форме (5.62) может быть представлено в символической форме как:

( D( p)x1 ( p) = u( p). (5.65) Сравнивая это уравнение и заданный полином с известными корнями характеристического уравнения pi n ** * (5.66) (p - pi ) = pn + d pn-1+....+d1 p + d0 = p=получим ( ( D( p)x1( p) - u( p) = D* ( p)x1( p). (5.67) Разрешая последнее уравнение, относительно u(p) будем иметь ( u( p) =[D( p) - D* ( p)]x1( p). (5.68) Раскрывая выражение, стоящее в квадратных скобках (5.68), найдем коэф( фициенты матрицы управления C ( ( ( ( ( U ( p) = -(cn pn + cn-1 pn-1 +.... + c2 p + c1)x1, (5.69) где ci = di* - di,i = 12....n.

, ( ( Принимая во внимание, что pxi = xi+1 получим n ( ( ( u = - xi = -CTx, (5.70) c ( i i=( где C - n- мерный вектор чисел.

Возвращаясь к исходным переменным, найдем исходный вектор C ( CT = CT. (5.71) Рассмотрим пример вычисления матрицы C при модальном управлении.

Пусть имеется объект со структурной схемой рис. 5.6.

u x x 1 k1 kT1p + 1 T2 p + Рис. 5.6.

и заданными корнями характеристического уравнения замкнутой системы pi.

В развернутом виде уравнения (5.53) движения объекта можно записать в следующем виде dx1 k= - x1 + u;

dt T1 T1, dx2 k= x1 - x2, dt T2 Tа уравнение для скалярного управления:

u = c1x1 + c2x2.

Матрицы A, B, C будут выглядеть следующим образом - k T, B = T1, C = cA = (c1 ).

k T2 T Характеристическое уравнение системы найдем из уравнения (5.59), подставляя сюда заданные матрицы A, B, C k1 kp + - c1 - cT1 T1 T= 0, k- p + T2 Tили k1 k1 k1k1 1 1 p2 + + - c1 p + c2 = 0. (5.72) - c1 T2 T1 T1 T2 T1 T1 T1T Заданное характеристическое уравнение имеет вид:

(p - p1)(p - p2 ) = 0, или p2 - (p1 + p2 )p + p1 p2 = 0. (5.73) Приравнивая одноименные коэффициенты при характеристических полонизмах (5.72) и (5.73) получим систему уравнений для вычисления коэффициентов c1, ck1 + - c1 = -( p1 + p2 ) T1 T2 T.

k1 k1k1 - c1 -c2 = p1 p T2 T1 T1 T 5.5. Аналитическое конструирование регуляторов Впервые задача аналитического конструирования регуляторов (АКОР) решена А.М. Летовым в 1960 году. В зарубежных источниках задача АКОР называется задачей линейно-квадратичного управления или оптимизации.

Исходная постановка задачи АКОР формулируется следующим образом [4]:

для объекта управления, движение которого в первом приближении описывается уравнением:

dx = Ax + Bu; x(0) = x0, (5.74) dt где А и В заданные матрицы размеров n n и n m соответственно, найти матрицу С, размером m n уравнения регулятора u = CTx (5.75) такую, чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы задаваемой уравнениями (5.74) и (5.75), создаваемых произвольными начальными склонениями x(0) = x0 минимизировать интегральный квадратичный критерий (функционал) I = (xTQx + uTu)dt. (5.76) где, Q- заданная положительно определенная матрица размером n n.

Доказательство единственности и существования управления (5.75), осуществляется в рамках теории оптимального управления [4] и нами рассматриваться не будет Рассмотрим процедуру АКОР которая состоит из следующих операций:

1. Составляется векторно-матричное алгебраическое уравнение Риккати T PA + ATP - PBB P + Q = 0. (5.77) 2. Осуществляется его решение, т. е. определяются неизвестные коэффициенты матрицы Р.

3. Вычисляется матрица С по формуле C = -PB. (5.78) Отметим подобие законов управления при модальном и линейноквадратичном управлении. Однако в первом случае искомая матрица C обеспечивает заранее заданное расположение корней характеристического управления, а во втором случае подобная ей матрица обеспечивает минимум интегрального квадратичного критерия (5.76).

В качестве примера рассмотрим процедуру АКОР для системы задаваемой структурой рис. 5.7.

Структура системы регулирования показана на рисунке 5.7.

g x u x x 1 Ck1 kC1 C1 T1p + 1 T2 p + _ _ Рис. 5.7.

q11 q 1. Для составления уравнения Риккати (5.77) примем Q = и q12 qнайдем произведение матриц PA, ATP, PBBTP p11 p12 a11 0 p11a11 + p12a21 p12a PA = = ;

p12 p22 a21 a22 p12a11 + p22a21 p22a a11 a21 p11 p12 a11 p11 + a21 p12 a11 p12 + a21 p ATP = = ;

0 a22 p12 p22 a22 p12 a22 p p11 p12 b p11 p11 p PBBTP = (b 0) p11 p12 = b p12 p22 0 p12 pp11 p12 p12.

2. Осуществляя сложение найденных матриц, в уравнении Риккати получим систему из трех алгебраических уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов матрицы P 2( p11a11 + p12a21 ) - b2 p11 + q11 = 0;

p12 (a11 + a21 + a22 - b2 p11) + q12 = 0;

2 p22a22 - b2 p12 + q22 = 0.

3. Вычисляем матрицу управления C по формуле (5.78) p11 p12 b C = -PB = - = -b(p11 p12 ).

p12 p22 ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. - М.: Высшая школа, 1986. – 262 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1987. – 767 с.

3. Бронштейн И.М., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.:

Наука, 1986. – 544 с.

4. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. –М.: Энергия, 1967.- 432 с.

5. Изерман Р. Цифровые системы управления. – М.: Мир, 1984. – 541 с.

6. Ключев В.И. Теория электропривода. – М.: Энергоатомиздат,1985.–500 с.

7. Основы теории автоматических систем/ Под ред. В.С. Пугачева.-М.:

Наука, 1974. –432 с.

8. Попов Е.П. Автоматическое регулирование и управление. - М.: Физматгиз, 1962.-273 с.

9. Теория автоматического управления/ Под ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа.-1987, ч. 1, 376 с.; ч. 2, 504 с.; ч. 3, 328 с.

10. Теория автоматического управления/ Под ред. А.В. Нетушила. М.: Высшая школа.-1986, ч. 1, 424 с.; ч. 2, 430 с.

11. Ту Ю. Современная теория управления. - М.: Машиностроение, 1976. – 472 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.