WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

=. (4.10).

h A1 Yy A2 t tм tпп Рис. 4.3.

Задание определенной величины колебательности ограничивает область расположения корней характеристического уравнения двумя лучами, составляющими с вещественной осью угол = ±arctg = ±arctg. (4.11) Таким образом, если в системе заданы степень устойчивости и колебательности все корни характеристического уравнения системы должны располагаться внутри не заштрихованной области комплексной плоскости, определяемой выражениями (4.1) и (4.2) рис. 4.4.

+ J • P• P+• P• Ph • P Рис. 4.Степень колебательности связана с еще одним корневым показателем качества - степенью затухания.

Затухание показывает на сколько уменьшается относительная амплитуда колебаний за один период:

Y t + T A1 - A2 ( ) = 1-, A1 Y t ( ) где Y t = C e- t sin t + ;

( ) ( ) Y t + T = C e- (t+T) sin t +.

( ) ( ) Откуда = 1- e- T.

Принимая во внимание, что T =, а окончательно получим:

= = 1- e. (4.12) Кроме затухания, иногда приводится логарифмический декремент затухания равный показателю степени в выражении (4.12):

=.

Недостатком корневых критериев качества является необходимость вычисления корней характеристического уравнения и невозможность или сложность их экспериментального определения. Поэтому большее распространение получили частотные показатели качества.

4.4. Частотные показатели качества.

Частотные показатели качества определяются по частотным характеристикам системы и в частности по амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы и амплитудно-фазо-частотной характеристике разомкнутой системы.

Нормированная амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы рис.

4.5 дает следующие показатели качества:

A( ) Am 0,7 0 p c s e Рис. 4.M = AM ;

1. Показатель колебательности 2. Резонансная частота системы ;

P A = 1;

( ) 3. Частота среза, при которой C A = ( )1 ;

4. Частота пропускания 5. Эквивалентная частота пропускания = A2 d ( ) Показатель колебательности М характеризует запас устойчивости системы, чем выше показатель колебательности, тем меньше запас устойчивости.

Допустимое значение М выбирается из условия М < 1,1-1,5.

Быстродействие системы оценивается по частоте пропускания, чем выше частота пропускания, тем больше быстродействие системы.

Использование АФЧХ разомкнутой системы позволяет оценить запас устойчивости системы на основании запаса устойчивости по амплитуде (модулю) А и фазе. Эти показатели связаны с критерием устойчивости Найквиста.

Рассмотрим АФЧХ устойчивой системы в окрестностях точки (-1, 0 ) рис.4.2 +j 1/+C -1 A B АФЧХ Рис 4.6.

Для общего случая условной устойчивости (рис. 4.6) запас устойчивости определяется двумя точками а и с по выражениям L1 = 20lg1;

L2 = 20lg.

В хорошо демпфированных системах эти величины составляют примерно 620 дб, что соответствует 2-10 кратному уменьшению коэффициента усиления системы.

LДля абсолютно устойчивых систем и оценку запаса по модулю Lпроизводят по Запасом устойчивости по фазе называется выражение = 180 + ( ), C где - аргумент АФЧХ, соответствующий модулю АФЧХ равному 1 (точка b на рис. 4.6). В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет 30 - 600.

Зная частотные характеристики системы можно вычислить их временные характеристики, используя преобразование Фурье.

Можно записать W(p) W( j ) h(t) = L-1 = -1, p j где L-1,-1 - обратные преобразования Лапласа и Фурье.

Переходя к вещественной форме интеграла Фурье, получим 2 W ( j ) h(t) =- Im sintd.

j Подставляя сюда W ( j ) = U ( ) + jV ( ), и выделяя мнимую часть, найдем 2 sin(t) h(t) = dt. (4.13) U ( ) Для систем невысокого порядка все критерии и показатели качества связаны между собой. Рассмотрим это утверждение на примере колебательного звена с передаточной функцией K W(p)=.

T p2 + 2Tp + Корни характеристического уравнения найдем из условия T p2 + 2Tp +1 =.

Откуда j 1-.

p12 = - ± = -± j T T Следовательно, степень устойчивости и степень колебательности для такого звена будут равны 1- = ; = =.

T Переходную характеристику звена найдем путем обратного преобразования Лапласа-Карсона от передаточной функции h t = K1- e- t cos t + sin t ( ).

Максимальные значения вычисляются по следующей формуле:

K ehM =.

T 1- Перерегулирование будет равно:

- e.

= - 1 100% T 1- t Время переходного процесса найдем из условия, при котором l n, h t = 095hycm ; t =, ( ).

Амплитудно-частотная характеристика звена будет равна модулю частотной передаточной функции K A = ( ).

2 2 2 2 1- T + 4 T () dA AM = Максимальное значение найдем из уравнения d 1- P =.

T Откуда показатель колебательности М найдем из отношения:

AM =.

A ( ) 2 2 1- 4.5. Интегральные критерии.

Интегральные оценки дают общую оценку качества переходных процессов.

Наряду с обобщенным интегральным критерием (4.1) используются более простые критерии или функционалы.

Простейшей интегральной оценкой для одномерных систем может служить величина. (4.14) J0 = X t dX ( ) где X- ошибка системы.

JОчевидно, что будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина ошибки.

Для вычисления интеграла (4.14) достаточно знать изображение Х(p), а затем воспользоваться теоремой о предельном значении изображения X t dt = lim X P ( ) ( ). (4.15) p Для типового входного сигнала типа - функции X t dt = t dt = limW P ( ) ( ). (4.16) ( ) pНеудобство интегральной оценки вида (4.14) является то, что она может использоваться только для апериодических процессов. Если имеем место колебательный процесс, то используются критерии.

. (4.17) J1 = X t dt ( ) J2 = X t dt. (4.18) ( ) Более широко используются последний критерий (4.18), называемый квадратичной интегральной оценкой. Это обусловлено возможностью вычисления этого критерия без непосредственного определения Х(t).

Для обоснования этого утверждения запишем интеграл (4.18) в виде.

X t X i ei t d dt ( ) ( ).

0 2 В выражение в квадратных скобках - обратное преобразование Фурье от Х(t). В последней формуле изменим порядок интегрирования X i X t ei tdt d ( ) ( ).

Выражение, стоящее в квадратных скобках есть прямое преобразование Фурье от Х(t) при замене на, с учетом этого получается формула Рэлея.

2 X t dt = X i d ( ) ( ), (4.19) i где Х ( ) - преобразование Фурье от Х (t).

Если использовать выражение для передаточной функции по ошибке WX (p) от задающего сигнала, то выражение (4.19) можно записать в виде:

X t dt = WX i q i d ( ) ( ) ( ). (4.20) 0 q t = t q i = ( ) ( ) ( ) Если, то и интегральный квадратный критерий примет вид:

J3 = WX i d ( ). (4.21) Оценка качества системы по интегральной квадратичной оценке не учитывает колебательность переходного процесса. Оказывается, что переходные процессы с разными показателями колебательности и различной длительностью переходных процессов могут дать равные значения критерия (4.18). Если выбирать параметры системы по минимуму этой оценки, то переходные процессы в такой системе имеют высокий показатель колебательности.

Поэтому применяется еще один вид интегральной оценки.

I4 = X t + aX t dt, a > 0, (4.22) ( ) ( ) [] или, q > 0. (4.23) I5 = qX t + u2 t dt ( ) ( ) [] Можно показать, что эти критерии эквивалентные друг другу, для этого достаточно в место Х (t) подставить его выражение из уравнения динамики системы.

Последний критерий является частным случаем обобщенного критерия (4.1) для одномерной системы.

Необходимо отметить, что невозможно одновременно обеспечить наилучшие показатели качества по всем интегральным критериям. Например увеличение запаса устойчивости системы, приводит к увеличению динамической ошибки и наоборот, или стремление уменьшения показателя колебательности может привести к увеличению времени переходного процесса.

Поэтому при синтезе систем регулирования используют несколько показателей качества. Для одного из них, называемого критерием оптимальности, добиваются экстремального (минимального или максимального значения), а для других вводят ограничения в виде неравенств.

5. СИНТЕЗ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ 5.1. Понятия закона регулирования и управления Рассмотрим обобщенную структуру системы управления (рис. 5.1.) f g e u y ПУ УУ ОО Рис. 5.1.

На структурной схеме приняты следующие обозначения. ПУ - Программное (задающее устройство), УУ - устройство управления (регулятор), ОО - обобщенный объект.

Для такой обобщенной структуры задачу управления можно сформулировать следующим образом. Для заданной математической модели объекта найти закон управления, удовлетворяющий заранее заданным критериям (показателям) качества, для всех x X и u U.

Под законом управления понимается функциональная взаимосвязь между обобщенными координатами системы x и управляющим воздействием u.

u = F(x,a), (5.1) где F, в общем случае, некоторая нелинейная функция, a - постоянные параметры закона управления.

Предполагается, что объект управления полностью управляем и наблюдаем, что позволяет достичь за конечное время любого x X, используя для управления u U, а также восстановить вектор обобщенных координат x по измеренным значениям вектора регулируемых величин y.

Задача синтеза системы управления включает в себя два этапа. На первом этапе решается задача оптимального синтеза в результате которой определяется функция F, удовлетворяющая заданным критериям оптимальности для всех x X и u U. Как правило, в качестве таких критериев используются интегральные критерии. На втором этапе решается задача параметрического синтеза, заключающаяся в определении параметра a, при заданной F, обеспечивающая системе показатели качества не хуже заданных. Чаще при решении этой задачи используют частотные, временные или корневые показатели качества.

Синтез автоматических регуляторов является частным случаем решения задачи управления и заключается в решении задачи параметрического синтеза. В результате решения этой задачи определяются закон регулирования и настройки регуляторов. В результате синтеза создаются системы автоматического регулирования, обеспечивающие движение объекта с заданной точностью по заранее заданной траектории, которая может быть и не оптимальной.

Для систем задаваемых структурой рис. 5.1 выражение (5.1.) может быть представлено в линейной форме:

u = F1 e + F2 q + F3 f. (5.2) ( ) ( ) ( ) Первое слагаемое соответствует регулированию по отклонению. Второе и третье - регулированию по внешним воздействиям (по возмущению).

Ограничимся синтезом регуляторов реализующих линейные законы регулирования по обобщенным координатам или отклонению. В этом случае выражение для законов регулирования запишется в виде:

u = L(x);

(5.3) de u = (e,, edt).

dt Первое уравнение соответствует регулированию по обобщенным координатам, второе регулированию по отклонению. Для полностью наблюдаемых систем всегда можно перейти в (5.3) от обобщенных координат к ошибке системы и наоборот.

5.2. Основные законы регулирования.

Для одномерных систем используются пять законов регулирования:

1. Пропорциональный; 2. Интегральный; 3. Пропорционально-интегральный; 4.

Пропорционально-дифференциальный; 5.Пропорционально-интегральнодифференциальный.

Рассмотрим особенности динамики систем с этими законами для объекта второго порядка KW0 p = ( ). (5.4) T1p + 1 T2 p + () () Пропорциональный закон регулирования Пропорциональный закон регулирования в соответствии с (5.2) задается выражением:

u = Ke. (5.5) Реализация такого закона осуществляется пропорциональным регулятором (П-регулятором) с передаточной функцией WP p = K. (5.6) ( ) Оценим, каким образом влияет введение пропорционального регулятора на качество регулирования. Воспользуемся для этого корневыми критериями качества и статической ошибкой системы.

Для нахождения статической ошибки по регулирующему воздействию найдем выражения для передаточной функции по ошибке:

We p = ( ) (5.7) 1+ W p, ( ) где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы:

KK W p = ( ) (5.8) T1p +1 T2 p + () ().

Выражение для статической ошибки найдем, используя теорему о предельном значении от изображения ошибки по Лапласу:

g p g ( ) ( ) Xcm = lim = (5.9) p01+ W p 1+ K K.

( ) Статическая ошибка системы с П-регулятором отлична от 0 и уменьшается K с ростом, т.е. система с П-регулятором статическая.

Для оценки качества регулирования по корневым критериям найдем передаточную функцию замкнутой системы, используя рис. 5.1 и правило преобразования структурных схем.

KK W3 p = ( ). (5.10) T1p + 1 T2 p + 1 + KK () () После очевидных преобразований можно записать:

K W3 P = ( ) (5.11) TT2 T1 + T2, 1+ K P2 + P + 1+ K 1+ K K = K K - коэффициент усиления разомкнутой системы.

где Корни характеристического уравнения будут равны:

( ) 1 1 + ± 1 + 1 4 1+ K P12 =. (5.12) 2 T1 T2 T1 T2 TT Сравнивая полученное выражение с выражением для корней характеристического уравнения объекта регулирования 1 1 + 1 + 1 P012 = - ± (5.13) 2 T1 T2 T1 T2 T1T можно сделать вывод об увеличении запаса устойчивости. Это следует из меньшего значения подкоренного выражения в формуле (5.12) по сравнению с (5.13).

Более того, чрезмерное увеличение коэффициента усиления П-регулятора увеличивает степень колебательности.

Таким образом, введение пропорционального регулятора уменьшает статическую ошибку системы в раз и уменьшает степень колебательно1+ K сти, а, следовательно, и запас устойчивости.

Интегральный закон Интегральный закон регулирования осуществляется введением в систему интегрального регулятора (И-регулятора).

Выражения для интегрального закона и передаточная функция Ирегулятора будут выглядеть:

t u = edt;

Tu (5.14) WP (p)=.

T p u По аналогии с П-регулятором найдем статическую ошибку системы g( p)X = lim = 0;

cm P1+W(p) (5.15) KW(p)=.

Tu p(T1 p +1)(T2 p +1) Этот предел будет стремиться к нулю, т.е. интегральный регулятор устраняет статическую ошибку регулирования и делает систему астатической.

Анализируя выражение для передаточной функции системы KW3 p =, (5.16) ( ) Tu p T1p + 1 T2p + 1 +K()( ) можно сделать вывод, что порядок системы возрос на единицу по сравнению с порядком объекта и в системе уменьшился запас по фазе и амплитуде.

Для системы третьего порядка устойчивость будет обеспечена при выполнении соотношения, следующего из критерия устойчивости Гурвица:

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.