WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 32 |

x(s) В общем случае дифференциальное уравнение объекта представляется в виде an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...+ b1x (t) + b0x(t), (3.36, a) где an, …, a0; bm, …, b0 – постоянные коэффициенты.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях получают:

ansn y(s) + an-1sn-1y(s) +... + a1sy(s) + a0 y(s) = = bmsmx(s) + bm-1sm-1x(s) +... + b1sx(s) + b0x(s), или (ansn + an-1sn-1 +... + a1s + a0) y(s) = (bmsm + bm-1sm-1 +... + b1s + b0 )x(s), и тогда y(s) bmsm + bm-1sm-1 +... + b1s + b. (3.37) W (s) = = x(s) ansn + an-1sn-1 +... + a1s + aЕсли известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у(s) равно произведению передаточной функции на изображение входа x(s):

y(s) = W(s) x(s). (3.38) Последняя запись есть не что иное, как общая форма записи решения дифференциального уравнения в операторной форме.

Таким образом, передаточная функция равна отношению двух полиномов:

B(s) W(s) =, A(s) где B(s) = bmsm + bm-1sm-1 +... + b1s + b0 ; A(s) = ansn + an-1sn-1 +......+ a1s + a0 y.

Для реальных физических объектов можно отметить как характерную особенность тот факт, что степень полинома В(s) всегда меньше или равна степени полинома A(s), т.е. m n, так что lim W (s) = 0.

s Передаточная функция также взаимно однозначно связана с временными характеристиками.

Если имеется выражение для переходной функции, следовательно, входной сигнал x(t) = 1(t) или x(s) =, выходной сигнал y(t) = h(t) или y(s) = h(s), и тогда передаточная функция равна s h(s) W (s) = = sh(s). (3.39) x(s) Из (3.39) может быть получено выражение для переходной функции через преобразование Лапласа:

W (s) h(s) =. (3.40) s Если известно выражение для весовой функции, то входной сигнал x(t) = (t) или x(s) = 1, выходной сигнал w(t) и, следовательно, w(s) W (s) = = w(s), (3.41) x(s) Т.Е. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЕСТЬ НЕ ЧТО ИНОЕ, КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ОТ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ.

Пример 3.5 Пусть объект описывается дифференциальным уравнением y (t) + 3y (t) + 4y(t) = 2x(t); y(0) = y (0) = 0. Найти h(s) и w(s).

Применяя преобразование Лапласа: s2 y(s) + 3sy(s) + 4y(s) = 2x(s), определяем передаточную функцию 2 2 W (s) =. Переходная функция h(s) = ; h(t) = L-1.

s2 + 3s + 4 s(s2 + 3s + 4) s(s2 + 3s + 4) 2 Весовая функция w(s) = ; w(t) = L-1.

s2 + 3s + 4 s2 + 3s + 3.10 Тренировочные задания 1 Математическая модель объекта управления или системы управления устанавливает взаимосвязь между входными и выходными переменными. Различают уравнения статики и уравнения динамики.

Установлено, что различные по физической природе объекты управления обладают некоторыми общими чертами и описываются однотипными уравнениями с точки зрения математики.

А Какие уравнения называются уравнениями статики Что представляет собой статическая характеристика В Какие уравнения называются уравнениями динамики С Какими уравнениями описываются объекты управления: гидравлический резервуар, электрическая емкость, непрерывный изотермический химический реактор полного перемешивания 2 Один из классов систем, которые рассматривает теория автоматического управления – это линейные стационарные системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции. Основной задачей изучения динамического поведения этих систем является умение рассчитать выходной сигнал для любого известного входного сигнала, т.е. рассчитать динамику системы. С этой целью используются динамические характеристики. Основными временными характеристиками, которые, как правило, получают экспериментально, являются переходная функция и весовая функция.

А Как доказать, что система является линейной системой В Какие характеристики относятся к динамическим характеристикам С Что представляет собой схема расчета динамики с помощью временных характеристик 3 Основным математическим аппаратом, используемым в теории автоматического управления, является преобразование Лапласа, с помощью которого записывается основная динамическая характеристика объекта управления – передаточная функция.

А Дайте определение преобразования Лапласа. Сформулируйте основные свойства.

В Запишите в терминах преобразования Лапласа дифференциальное уравнение 4y (t) + 2y (t) + y (t) + 2y(t) = sint, y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0.

C Какая характеристика называется передаточной функцией 4 ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 4.1 Элементы теории функции комплексного переменного Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z = a + i b, где а и b – соответственно действительная и мнимая части числа. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. На комплексной плоскости, в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть), комплексное число геометрически представляется вектором (рис. 4.1); оно может быть изображено также в полярных координатах М (модуль) и (фаза) и записано в показательной форме: z = Меi, где М – длина вектора, соединяющего начало координат с точкой z; – угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z, причем положительным направлением считается направление отсчета против часовой стрелки.

Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как e±i = cos ± isin, z = M cos ± iM sin.

Все составляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями (рис.

4.1):

b M = a2 + b2 ; = arctg ; a = M cos; b = M sin.

a При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z. Ниже приводятся формулы, по которым вычисление фазы сводится к определению острого угла, Im z равного arctg (рис. 4.2).

Re z b I квадрант: z1 = a + ib, 1 = arctg ;

a b b a II квадрант: z2 = -a + ib, 2 = arctg = - arctg = + arctg ;

- a a 2 b III квадрант:

Im -b b 3 a z3 = -a - ib, 3 = arctg = + arctg = - arctg z2 zb - a a 2 b ;

4 IV квадрант:

1 a –a -b b 3 a Re z4 = a - ib, 4 = arctg = -arctg = + arctg a a 2 b.

–b zzДля упрощения операций над комплексными числами полезно знать, что Рис. 4.2 Определение фазы в зависимости от располо1 = ei0; -1 = ei; i = ei / 2; - i = e-i / 2.

жения вектора Над комплексными числами проводят те же арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), что и над действительными. Сложение и вычитание более удобно проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

z3 = z1 ± z2 = (a1 ± ib1) ± (a2 ± ib2) = (a1 ± a2) ± i(b2 ± b1), а умножение и деление над числами, записанными в показательной форме:

z3 = z1z2 = M1ei1 M ei2 = M1M ei(1 +2 ) ;

2 z3 = z1 / z2 = M1ei1 / M ei2 = M1 / M ei(1 -2 ).

2 Если аргумент функции – комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Например, функция W(s), s = + i.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО ФУНКЦИЕЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО НАЗЫВАЕТСЯ НЕКОТОРЫЙ ОПЕРАТОР (ПРАВИЛО), СОГЛАСНО КОТОРОМУ ТОЧКЕ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО СТАВИТСЯ В СООТВЕТСТВИЕ ТОЧКА ДРУГОЙ ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (РИС. 4.3).

Если функция относится к классу аналитических функций (непрерывная, гладкая, почти всюду дифференцируемая), то такая функция а) i Im б) W(s) s W(1) W(0) Re Рис. 4.3 К определению функции комплексной переменной i Im б) b а) c a s = + i W(s) A C B Re Рис. 4.4 Конформное отображение ПОДЧИНЯЕТСЯ ПРИНЦИПАМ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСНОВНЫМИ СВОЙСТВАМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ:

1 Линия одной комплексной плоскости s отображается в линию другой комплексной плоскости W(s) (рис. 4.4).

2 Бесконечно малый угол отображается в такой же бесконечно малый угол, углы при этом сохраняются (рис. 4.4).

3 Бесконечно малый треугольник отображается в такой же равный ему бесконечно малый треугольник. Направление обхода углов сохраняется. Внутренняя область одного треугольника преобразуется во внутреннюю область другого треугольника (рис. 4.4).

4.2 Частотные характеристики Важную роль при описании линейных систем играют частотные характеристики, характеризующие реакцию объекта (системы) на гармонический сигнал.

Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), которая может быть определена через конформное отображение.

Амплитудно-фазовой характеристикой называется конформное отображение мнимой оси плоскости корней характеристического урав- i Im W(s) 2 S 1 = 0 1 = Re W(i ) 2 > Рис. 4.5 К определению АФХ нения на комплексную плоскость амплитудно-фазовой характеристики (рис. 4.5), причем сама мнимая ось отображается в годограф AФX, правая же полуплоскость корней характеристического уравнения отображается во внутреннюю область АФХ.

Амплитудно-фазовая характеристика является комплексной функцией, поэтому она может быть, как и любая комплексная функция, представлена в показательной форме W (i) = M ()ei() (4.1) и в алгебраической форме W (i) = Re() + i Im(). (4.2) Модуль М() в показательной форме записи АФХ называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а фаза или аргумент () называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Действительная часть амплитудно-фазовой характеристики Rе() называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ).

Мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики Im() называется мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Между всеми частотными характеристиками существует связь (рис. 4.1). Зная одни из них, можно определить другие, т.е.

M() = Re2() + Im2(), (4.3) Im() () = arctg, (4.4) Re() Re() = M () cos (), (4.5) Im() = M ()sin (). (4.6) 4.3 Связь преобразований Лапласа и Фурье Как известно, любая линейная стационарная система автоматического управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, которое в операторной форме имеет вид (ansn + an-1sn-1 +... + a1s + a0)y(s) = (bmsm +bm-1sm-1 +... +b1s +b0)x(s), (4.7) где y(s) = y(t)e-stdt - преобразование Лапласа функции y(t).

Преобразование Фурье функции y(t) определяется выражением y(i) = y(t)e-itdt, причем должны выполняться условия, что y(t) = 0 при t < 0 и y(t)dt существует.

Сравнивая преобразования Лапласа и Фурье, видно, что формально оно может быть получено из преобразования Лапласа простой заменой s на i, но из-за второго условия преобразование Фурье выполняется для более ограниченного класса функций. Заменяя в уравнении (4.9) s на i, получаем:

(an (i)n + an-1(i)n-1 +... + a1(i) + a0) y(i) = = (bm (i)m + bm-1(i)m-1 +... + b1(i) + b0)x(i), откуда x(i) bm (i)m + bm-1(i)m-1 +... + b1(i) + bW (i) = =. (4.8) y(i) an (i)n + an-1(i)n-1 +... + a1(i) + aПроводя анализ выражения (4.8), можно записать, что B() + i B1() M ()eiЧ () ч W (i) = = A() + i A1() M ()eiЗН () зн M () ч и сделать вывод: амплитудно-частотная характеристика M () = является четной функцией; фазоM () зн частотная характеристика () = ч() – зн() – нечетной функцией; вещественная частотная характеристика Re() – четной функцией; мнимая частотная характеристика Im() – нечетной функцией (рис.

4.6 и 4.7).

a) M Re б) Рис. 4.6 Свойство четности частотных характеристик:

а – АЧХ; б – ВЧХ б) Im а) Рис. 4.7 Свойство нечетности частотных характеристик:

а – ФЧХ; б – МЧХ Амплитудно-фазовая характеристика также может рассматриваться как изображение Фурье от весовой функции:

-it W (i) = (4.9) w(t)e dt.

Так как e-it = cost - isin t, то из (4.9) могут быть получены формулы для определения вещественной и мнимой характеристик:

W (i) = w(t){cost - i sin t}dt, и, следовательно, Re() = cos tdt, (4.10) w(t) Im() = - (4.11) w(t)sin tdt.

Из последних формул следует, что Re() = Re(-), Im() = - Im(-), (4.12) А ЭТО СВИДЕТЕЛЬСТВУЕТ О ТОМ, ЧТО АФХ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТАХ ЯВЛЯЕТСЯ ЗЕРКАЛЬНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФХ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ (РИС. 4.8).

При практических расчетах обычно ограничиваются построением АФХ только для положительных частот. Используя формулу обратного преобразования Фурье, можно по АФХ получить весовую характеристику:

w(t) = (i)eitd. (4.13) W e-s Пример 4.1 Пусть задана передаточная функция объекта W (s) =, требуется определить часs2 + 2s + тотные характеристики.

Заменяя s на i, записываем выражение для АФХ:

e-i e-i W (i) = =.

(i)2 + 2(i) + 3 (3 - 2) + 2i Так как рассматриваемый объект линеен и стационарен, то, применяя принцип суперпозиции, имеем:

АЧХ (рис. 4.9, а) M () = ;

(3- 2)2 + ФЧХ (рис. 4.9, б) () = - - arctg.

3 - Годограф амплитудно-фазовой характеристики изображен на рис. 4.9, в.

Вещественную и мнимую частотные характеристики обычно получают умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю:

e-i cos - i sin (3 - 2 ) - 2i W (i) = = = (3 - 2 ) + 2i (3 - 2 ) + 2i (3 - 2 ) - 2i (3 - 2) cos - 2sin - i((3 - 2)sin + 2cos), = (3 - 2 )2 + а) б) M 1/1/0 1 2 i Im() в) 1/ = Re() Рис. 4.9 Графики частотных характеристик:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ откуда – вещественно-частотная характеристика:

(3 - 2 )cos - 2sin Re() = ;

(3 - 2 )2 + – мнимая частотная характеристика:

(3 - 2)sin + 2cos Im() =.

(3 - 2)2 + 4.4 Связь дифференциального уравнения с частотными характеристиками Решение дифференциального уравнения (3.36, а) имеет вид y(t) = yсв (t) + yвын(t), (4.14) где yвын(t) – вынужденное движение, описываемое частным решением; yсв(t) – свободные движения, описываемые общим решением однородного уравнения.

Для установления связи между АФХ и дифференциальным уравнением рассматриваются вынужденные движения при входном гармоническом воздействии вида: x(t) = 2А cost, которое можно представить по формуле Эйлера x(t) = Aeit + Ae-it и рассматривать как сумму входных сигналов, т.е.

.

x(t) = x1(t) + x2(t) В этом случае частное решение дифференциального уравнения в силу принципа суперпозиции также представляется в виде суммы yвын(t) = yвын1 (t) + yвын2 (t), где yвын (t) и yвын (t) определяются соответственно видом x1(t) и x2(t). В связи с этим решения будут ис1 каться в виде yвын1 (t) = AW (i)eit ; yвын2 (t) = AW (-i)e-it, где W(i), W(-i) – некоторые неизвестные функции, не зависящие от t, подлежащие определению.

Для нахождения W(i) yвын1 (t) дифференцируется n раз, а x1(t) - m раз и подставляются в исходное дифференциальное уравнение, в результате получают AW(i)eit[an(i)n + an-1(i)n-1 +... + a1(i) + a0] = (4.15) = Aeit[bm(i)m + bm-1(i)m-1 +... + b1(i) + b0].

Полученное выражение (4.15) полностью совпадает с полученным ранее выражением (4.8) для АФХ и еще раз подтверждает тот факт, что амплитудно-фазовая характеристика может быть получена простой заменой переменной s на i.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.