WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 32 |

На практике весовую функцию в отдельных случаях можно получить экспериментальным путем весьма приближенно. Считают, что на вход объекта подана -функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса. Примером может служить эксперимент по снятию весовой функции химического реактора (рис. 3.4), являющегося объектом исследования. В качестве входного сигнала в реактор залпом выливается порция красящего вещества (например, чернил). Через некоторое время это вещество появится на выходе, причем его концентрация первоначально возрастает, а затем убывает – красящее вещество вымывается (рис. 3.11).

Подаваемый на вход импульс представляет собой приближенную дельта-функцию, так как его площадь отлична от единицы и равна S. Поэтому для получения весовой функции экспериментально снятый переходный процесс нормируют путем деления его ординат на величину площади входного воздействия S.

x а) б) w S S t t t t Рис. 3.11 Переходная характеристика химического реактора:

а – -функция; б – весовая функция Между временными характеристиками: переходной и весовой функциями существует взаимное однозначное соответствие, которое определяется следующим образом:

t w(t) = h (t); h(t) = w()d.

Весовую функцию можно получить и как решение дифференциального уравнения an y(n) (t) + an-1y(n-1) (t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = b(t);

y(t) = y (0) =... = y(n-1) (0) = 0.

При решении подобных уравнений дельта-функцию переводят b в начальные условия, и если n = 2, то a2 y (t) + a1y (t) + a0 y(t) = 0; y(0) = 0; y (0) =.

a3.7 Интеграл Дюамеля Интеграл Дюамеля используется для определения выхода объекта у(t) при произвольном входном сигнале x(t) и известных h(t) либо w(t).

Предполагается, что на вход объекта, описываемого весовой функцией w(t), подается сигнал x(t) (рис. 3.12, а), подробное описание которого дано в п. 2.8.

~ Если реакцию объекта на (t – ti) обозначить через w(t – ti) (весовая функция), а реакцию на (t - ti ) ~ через w(t - ti ) (приближенная весовая функция), то на основании принципа суперпозиции можно запи~(t) сать выходной сигнал на импульс x :

~ ~ yi (t) = w(t - ti )ti x(ti ).

x а) ~ y б) ti yi ti t 0 t Рис. 3.12 Представление входного (а) и выходного сигналов (б) Замена входного сигнала x(t) набором импульсов, высота которых совпадает с соответствующими ~(t) координатами (рис. 3.12), позволяет записать реакцию на ступенчатую функцию x на основании принципа суперпозиции n n ~(t) = y (t) = ~ y ~i w(t - ti )ti x(ti ).

i=0 i=~ ~ Если теперь устремить ti 0, при этом ti ; n ; (t - ti ) (t - ); w(t - ti ) w(t - ), а ti d, где – непрерывный параметр, показывающий сдвиг каждого импульса, то окончательно получаем:

y(t) = - )x()d. (3.13) w(t Последнее уравнение называется интегралом Дюамеля (уравнением свертки), отражающим связь между входом, выходом объекта и его весовой функцией.

По сути дела весовая функция является памятью объекта, которая показывает, как долго и как сильно влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени = 0.

Из физического смысла весовой функции верхний предел интегрирования может быть заменен на t, так как невозможно представить реальную систему, в которой на выходную координату в настоящий момент времени оказывают влияние возмущения, которые появляются в последующие моменты времени.

Если произвести замену в формуле (3.13) t = =, d = d, то можно записать симметричную формулу y(t) = - )w()d. (3.14) x(t Если для представления входного сигнала использовать не формулу (2.26), а (2.27), то интеграл Дюамеля записывается через переходную функцию:

t dx() y(t) = x(0)h(t) + - ) d, (3.15) h(t d или t dx(t - ) y(t) = x(0)h(t) + h()d.

d 3.8 Преобразование Лапласа Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления, является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

3.8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением L{x(t)} = x(s) = x(t)e-stdt, (3.16) где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = + i.

Формула (3.16) определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и так называемое обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношением c+i L-1{x(s)} = x(t) = x(s)estds, (3.17) 2i c-i где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями. Изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в теории управления приведены в табл. 3.1. Если же функция отсутствует в таблице, то ее изображение можно получить непосредственно, пользуясь соотношением (3.16).

Пример 3.1 Требуется найти преобразование Лапласа от функции x(t) = е–at.

Согласно определению преобразования Лапласа (3.16) имеем 1 -at -(s+a)t x(s) = e-stdt = e e dt = - e-(s+a) =.

s + a s + a Таким образом, e-at.

s + a 3.1 Таблица преобразования Лапласа Ориги- Изображе- Ориги- Изображе№ № нал ние нал ние 1 (t) 1 8 sint s2 + s 2 1 9 cost s s2 + 3 t e-t sint (s + )2 + s2 tn s + n! 4 (n = 1, 2, e-t cost (s + )2 + sn+1 …) (1- e-t ) 5 e-t s(s + ) s + 1(t - a) e-as 6 t e–t (s + )3 s 7 tn e-t (s + )n+Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

3.8.2 СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА При использовании преобразования Лапласа необходимо знать и применять его свойства, некоторые из них формулируются следующим образом.

1 Теорема линейности: для любых действительных или комплек-сных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует такая же комбинация изображений (3.18) Ax1(t) + Bx2 (t) Ax1(s) + Bx2 (s), где x1(t) x1(s); x2(t) x2(s).

2 Теорема подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число :

1 s x(t) x. (3.19) 3 Теорема затухания: умножение оригинала на функцию eat, где а – любое действительное или комплексное число, влечет за собой ''смещение" независимой переменной s:

eat x(t) x(s - a). (3.20) 4 Теорема запаздывания: для любого постоянного > x(t - ) e-sx(s). (3.21) 5 Теорема дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение х(s, r), то f (t, r) f (s, r). (3.22) r r 6 Теорема дифференцирования оригинала: если x(t) x(s), то x (t) sx(s) - x(0), (3.23) т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х(0).

В частности, если х(0) = 0, то x'(t) s х(s). Применяя теорему необходимое количество раз, получают x(n) (t) sn x(s) - sn-1x(0) - sn-2x (0) -...- x(n-1) (0). (3.24) Если x(0) = x (0) =... = x(n-1) (0) = 0, то x(n) (t) sn x(s), (3.25) т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sn его изображения.

7 Теорема интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:

t x(s) x(t)dt. (3.26) s 8 Теорема дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (-t) :

-tx(t) x (s). (3.27) 9 Теорема интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до соот ветствует деление оригинала на t, т.е. если интеграл x(z)dz сходится, то s x(t) x(s)ds. (3.28) t s 10 Теорема умножения изображения: если x(t) x(s), y(t) y(s), то свертке функций t x y = x() y(t - ) d (3.29) соответствует произведение изображений xy x(s) y(s). (3.30) 11 Теорема умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений +i y(t) x(t) = y(s)x(s) = x(z) y(s - z)dz, (3.31) 2i -i где = Re z.

12 Теорема о конечном и начальном значениях функции:

lim x(t) = lim sx(s) ; (3.32) t s lim x(t) = lim sx(s). (3.33) t0 s 3.8.3 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Одним из важнейших применений операционного исчисления – преобразования Лапласа – является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которыми как раз и описываются рассматриваемые системы автоматического управления.

Решение дифференциального уравнения в этом случае складывается из следующих этапов:

1) преобразование уравнения по Лапласу;

2) отыскание решения в области комплексного переменного s;

3) переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа.

Пример 3. a2 y (t) + a1y (t) + a0 y(t) = b01(t) ;

у(0) = у' (0) = 0.

Преобразуем данное уравнение по Лапласу:

a2s2 y(s) + a1sy(s) + a0 y(s) = b0 1/ s, откуда by(s) =.

s(a2s2 + a1s + a0 ) Пусть полином a2s2 + a1s + a0 = 0 имеет корни s1 и s2, тогда, как будет показано ниже, можно записать C0 C1 Cy(s) = + +, s s - s1 s - sгде C0, C1, C2 – некоторые коэффициенты, определяемые методом неопределенных коэффициентов:

b0 b0 bC0 = ; C1 = ; C2 =.

s1s2 s1(s1 - s2) s2(s2 - s1) Пользуясь таблицами обратного преобразования Лапласа, находим 1 y(t) = C0 + C1es t + C2es t.

Полученное выражение y(t) является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка при входном сигнале x(t) = 1(t), т.е. ничем иным, как переходной функцией для линейного объекта второго порядка.

3.8.4 РАЗБИЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ Как видно из примера 3.2, решение дифференциального уравнения, полученное с использованием преобразования Лапласа, представляет собой рациональную дробь. Для облегчения обратного преобразования полученную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, пользуясь следующим правилом.

Дробь n-1(s) M (s) = (3.34) n (s) называется правильной рациональной дробью, если порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя. Для разложения дроби (3.34) необходимо найти корни уравнения n (s) = 0.

Если корень действительный, то ему соответствует дробь вида A.

s - sЕсли корни действительные кратности k, то им соответствует сумма дробей A1 A2 s Ak sk -+ +... +.

s - s1 - s1)2 (s - s1)k (s Если корни комплексно сопряженные, то A1s + B.

(s2 + as + b) Если корни комплексно сопряженные кратности k, то A1s + B1 A2s + B2 Ak s + Bk + +... +.

(s2 + as + b) (s2 + as + b)2 (s2 + as + b)k Таким образом, дробь (3.34) можно представить в виде n-1(s) A1 A2 Ak = + +... + + n (s) (s - s1) - s1)2 (s - s1)k (s B1 B2 Bm + + +... + +... + (s - s2) - s2)2 (s - s2)m (s (3.35) Cps + Dp C1s + D1 C2s + D+ + +... + + p (s2 + a1s + b1) (s2 + a1s + b1)2 (s2 + a1s + b1) Fqs + Eq F1s + E1 F2s + E+ + +... + +...

(s2 + a1s + b1) (s2 + a1s + b1)2 (s2 + a1s + b1)q Коэффициенты А1,..., Аk; В1,..., Вm; С1,..., Сp; D1,..., Dp; F1,..., Fq; Е1,..., Еq находятся методом неопределенных множителей. В этом случае правая часть (3.35) приводится к общему знаменателю и получается равенство двух дробей, у которых знаменатели равны, следовательно, должны быть равны и числители. Из равенства последних составляется система алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов, которая решается известными методами решения линейных алгебраических систем.

При определении оригинала по полученному изображению пользуются следующими формулами соответствия:

A Aes t ;

s - sA k - A t es1t ;

(k -1)! (s - s1)k a - t As + B Acost b - a2 / 4 + - Aa / B e sin t b - a2 / 4.

s2 + as + b b - a2 / s2 + Пример 3.3 Найти оригинал, если изображение.

(s +1)3(s - 2) Данное изображение раскладывается на простейшие дроби:

s2 + 2 A1 A2 A3 B = + + +.

s +1 s (s +1)3(s - 2) (s +1)2 (s +1)3 - Правая часть последнего выражения приводится к общему знаменателю, и из условия равенства числителей получают:

s2 + 2 = A1(s +1)2(s - 2) + A2(s +1)(s - 2) + A3(s - 2) + B(s +1)3.

Из равенства коэффициентов при соответствующих степенях s в левой и правой частях записывается система алгебраических уравнений:

A1 + B = 0;

A + 3B = 1;

A3 - A2 - 3A1 + 3B = 0;

- 2A3 - 2A2 - 2A1 + B = 2, решение которой дает А1 = – 2/9; A2 = 1/3; А3 = –1; В = 2/9. Таким образом, s2 + 2 2 1 1 = - + - +.

9(s +1) 9(s (s +1)3(s - 2) 3(s +1)2 (s +1)3 - 2) Применяя обратное преобразование, записывается выражение для оригинала:

s2 + 2 2 1 1 L-1 = - e-t + te-t - t e-t + e2t.

(s +1)3(s - 2) 9 3 2 3.9 Передаточная функция Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается:

y(s) W (s) =. (3.36) x(s) б) а) x1 W1(s) y y x W(s) x W2(s) в) W11(s) y x x2 y W12(s) W22(s) Рис. 3.13 Примеры различных объектов:

а – с одним входом и одним выходом; б – двумя входами и одним выходом; в – двумя входами и двумя выходами Передаточная функция характеризует динамику объекта только по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта и конкретный выход (рис. 3.13).

Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями, определить которые можно непосредственно, пользуясь определением (3.36).

Пример 3.4 Пусть на вход объекта подается сигнал x(t) = 1(t), а на выходе снимается сигнал, описываемый функцией y(t) = 2 e–2t.

1 Для определения передаточной функции необходимо определить x(s) = ; y(s) = и тогда переs s + 2s даточная функция W (s) =.

s + Как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику линейного объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраичеy(s) ского уравнения найти отношение.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.