WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |

Метод Д. Шульца Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде y y1 yT V = dy = (1,0, K,0)d1 + ( y1,2,0, K,0)d2 + 1 V V V 00 (12.43) y+ ( y1, y2, K, yn-1,n )dn, n V где V – градиент функции Ляпунова, т.е. V = {V / y1, K, V / yn} для системы уравнений n-го порядка, который записывается в виде a11y1 + a12 y2 + K + a1n yn a y1 + a22 y2 + K + a2n yn V = (12.44).........

an1y1 + an2 y2 + K + ann yn Производная по времени от функции Ляпунова будет dV dy T = V, (12.45) dt dt T где V – транспонированный столбец V, т.е.

T V = (a11y1 + a12 y2 + K + a1n yn, K, an1y1 + an2 y2 + K + ann yn ), dy / dt = (dy1 / dt, dy2 / dt, K, dyn / dt).

В такой постановке задачи о выборе функции Ляпунова определению подлежат коэффициенты aij, при этом принимается условие, что aij = a = const. Для определения коэффициентов записывается услоji вие выполнения неравенства dV / dt < 0, из которого составляется система уравнений, разрешаемая относительно aij, i = 1, n ; j = 1, n. После определения коэффициентов записывается конкретное значение функции Ляпунова и производится проверка условий V ( y1, y2, K, yn ) > 0, по результатам которой делается вывод об устойчивости рассматриваемой системы автоматического управления.

Метод Лурье – Постникова Согласно этому методу функция Ляпунова для системы квазилинейных уравнений, т.е. уравнений, содержащих линейную часть и аддитивно входящую нелинейность, записывается в виде:

y V (y1, y2, K, yn ) = V1( y1, y2, K, yn ) + f ( y)dy, (12.46) где V1(y1, y2, K, yn ) – функция Ляпунова для линейной части, которая, как правило, пишется в виде квадратичной формы; f (y) – нелинейность, имеющая место в системе.

Анализ устойчивости сводится к конкретной записи функции Ляпунова и ее производной с последующей проверкой их знаков и применением теоремы об устойчивости.

Функция Ляпунова в виде (12.46) уже была использована в разделе 12.3.4 при рассмотрении общей методики применения теоремы Ляпунова.

12.3.6 ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА Пример 12.2 Пусть нелинейная система автоматического управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка d y(t) dy(t) + + y3(t) = 0.

dt2 dt Исследовать эту систему на устойчивость вторым методом Ляпунова, используя при построении функции Ляпунова метод Г. Сеге.

Исходное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка следует привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка dy (t) y2(t);

= dydtt) ( 1 - y1 (t) - y2(t).

= dt Согласно методу Г. Сеге функция Ляпунова имеет вид 2 V = a11(y1) y1 + 2a12 ( y1) y1 + y2.

Производная от нее с учетом системы дифференциальных уравнений dV da11( y1) da12 ( y1) 2 = y1 y2 + 2a11( y1)y1y2 + 2 y1y2 + dt dy1 dy2 4 2 + 2a12 ( y1)y2 - 2a12 ( y1)y1y2 - 2a12 (y1)y1 - 2y2 - 2y1 y2.

Образуем функцию ( y) = A2 y2 + A1y2 + A0 из производной dV / dt по степеням y2, сравнивая выражения dV / dt и ( y), получим da12 ( y1) A2 = 2 y1 + a12 ( y1) -1 ;

dy da11(y1) da12 (y1) A1 = y1 + 2a11( y1) y1 - 2 y1 + a12 (y1) y1 - 2y1 ;

dy1 dy da12 ( y1) A0 = -2 y1 + a12 (y1) y1.

dy Для получения устойчивости во всей области ( y1, y2 ) необходимо, чтобы коэффициенты A1 = A2 = 0, что приводит к системе дифференциальных уравнений относительно a11( y1) и a12 (y1) :

da ( y1) y1 + 2a11( y1) = 2(1+ y1 );

11 dyda ( y1) y1 + a12(y1) = 1.

dy Решение первого уравнения, т.е. a11(y1) ищется в виде a11(y1) = y1 +.

Подставив это решение в уравнение, получим 2 2 2y1 + 2y1 + 2 = 2 + 2y1.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях y1, определим значения коэффициентов = 1/ 2, = 1.

Решением второго уравнения является a12 ( y1) =, = 1.

Подставим найденные значения a11 и a12 в функцию Ляпунова и ее производную 1 dV 4 2 2 V = y1 + y1 + 2y1y2 + y2, = -2y1, 2 dt видно, что dV / dt < 0 при любых значениях y1. А это и указывает на устойчивость рассматриваемой системы автоматического управления по Ляпунову.

Пример 12.3 Исследовать устойчивость нелинейной системы, динамика которой описывается системой уравнений dy1(t) = -3y2 - F( y1)y1;

dydt(t) = -2y2 + F( y1)y1, dt используя второй метод Ляпунова и форму Д. Шульца при построении функции Ляпунова.

В соответствии с методом Д. Шульца градиент функции Ляпунова представляется в виде y1 + 12 yV = y1 + 22 y2.

dV dV T Производная от функции Ляпунова = V, или в соответствии с исходной системой dt dt dV = - y1 [11F( y1) - 21F( y1)]+ y1ydt [- 311 - 12F( y1) - 221 + 22F( y1)]- y2[222 + 312].

Положим 12 = 21 = 0, тогда dV 2 = -11F( y1) y1 - 222 y2 + y1y2[- 311 + 22F( y1)].

dt Если -311 - 21F( y1) = 0, то dV / dt < 0.

Это возможно, если 11 = F( y1).

В соответствии с последним выражением градиент функции Ляпунова и ее производная запишутся в виде 2 F(y1)y1 dV 22F ( y1)y V =, = - - 222 y2.

dt 22 y Согласно формуле (12.43) получим функцию Ляпунова y1 yV = F()d + d.

0 yПриняв 22 = 6, запишем V = F()d + 3y2.

Если произведение F(y1)y1 = X находится в первом и третьем квадрантах, то функция Ляпунова положительно определенна, а ее производная отрицательно определенна, т.е. V > 0, dV / dt < 0, но это и указывает на устойчивость рассматриваемой системы.

Пример 12.4 Найти условие устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования, описываемой системой уравнений dy1(t) + ay1 = bF( y2);

dydt(t) = cy1 - F( y2), dt с помощью второго метода Ляпунова.

Функция Ляпунова записывается в соответствии с методом Лурье – Постникова в виде yV = y1 + F()d, > 0, dV 2 производная от этой функции = -2ay1 + 2dF( y2)y1 - F ( y2), dt где d = b +1/ 2c.

Условие отрицательной определенности dV / dt записывается в виде > 0, (db + c / 2)2 - 2a < 0. Для того, чтобы последнее неравенство имело положительное решение > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенства a > bc, которое обеспечивает положительность обоих корней уравнения 2b2 + (bc - 2) + c2 / 4 = 0.

Таким образом, если a > bc, то рассматриваемая система автоматического регулирования устойчива.

12.4 Критерий абсолютной устойчивости Попова Большие возможности для исследования устойчивости и даже качества нелинейных систем открывает предложенный в 1960 году румынским ученым Пповым критерий абсолютной устойчивости, особенно его геометрическая трактовка, позволяющая привлечь к исследованию рассматриваемого класса нелинейных систем частотные методы.

Рассматривается нелинейная система, на которую действует конечного вида произвольное воздействие f (t), ограниченное лишь тем, что оно считается исчезающим, т.е. lim f (t) = 0 (рис. 12.7).

t Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией W (s), а во временной области – весовой функцией w(t), нелинейный элемент характеризуется статической характеристикой y(t) = [x(t)].

f(t) x y НЭ - z(t) W(s) Рис. 12.7 Нелинейная система с исчезающим воздействием Вся нелинейная система в интегральной форме описывается уравнением t x(t) = f (t) - z(t) = f (t) - w(t - )[x()]d, (12.47) изображение по Лапласу которого x(s) = f (s) -W (s)L{[x(t)]}.

Состояние равновесия x = 0 будет устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого положительного существует другое положительное () такое, что при sup f (t) = 0, 0 < имеет место неравенство x(t). Если неограниченно, имеет место устойчивость в целом.

Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для всех характеристик (x), принадлежащих к определенному классу.

Будем рассматривать устойчивость для характеристик (x), лежащих в углу, т.е. принадлежащих подклассу (0, k) (рис. 12.8).

Если равновесие абсолютно устойчиво, то оно абсолютно устойчиво и для всех прямолинейных характеристик y = hx, где 0 h k, поскольку эти прямые относятся к данному подклассу.

Исходная нелинейная система (рис. 12.7) представляет собой по своей структуре замкнутую систему, в которой нелинейный элемент охвачен отрицательной y y = k x обратной связью с линейным звеном W (s). Если провести линеаризацию нелинейной характеристики (x(t)), то получен = arctgk ную уже замкнутую линейную систему можно исследовать на устойчивость с помощью частотного критерия Найквиста.

0 x Рассмотрим основной случай, когда линейная часть системы устойчива, т.е. ее характеристическое уравнение не имеет правых корней или тоже самое, что W (s) не имеет правых полюсов и тогда годограф вектора разомкнутой системы линеаризованной характеристики hW (i) не переРис. 12.8 Класс нелинейных секает отрезка (-, -1) действительной оси. В соответствии характеристик с критерием Найквиста этого условия достаточно, чтобы замкнутая линейная система была устойчива. Так как 0 h k, то достаточным условием устойчивости всех линейных систем из подкласса (0, k) будет условие, чтобы W (i) не пересекала отрезка действительной оси (-, -1/ k).

Можно показать, что это условие необходимо и достаточно. Действительно, пусть линейная часть устойчива, но W (i) пересекает четное число раз отрезок (-, -1/ k). Изменяя h в пределах от 0 до k, тем самым перемещается правая граница критического отрезка, причем значению h = 0 соответствует точка -, а h = k – -1/ k. Всегда можно выбрать h внутри заданных границ так, чтобы правая граница (-, критического отрезка попала в любую точку отрезка -1/ k).

Если характеристика W (i) пересекает четное число раз отрезок (-, -1/ k), то выберется значение h так, чтобы число пересечений стало на единицу меньше, но тогда замкнутая система становится неустойчивой. Таким образом, чтобы замкнутая система оставалась устойчивой при любых h, заключенных в пределах 0 h k, необходимо и достаточно, чтобы W (i) нигде не пересекала отрезок (-, -1/ k) оси абсцисс.

Для произвольной нелинейной функции из подкласса (0, k) достаточное условие абсолютной устойчивости было сформулировано Поповым и выглядит следующим образом.

Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью было устойчиво, достаточно выполнение следующих условий:

1 Существует такое действительное число, при котором действительная часть функции Попова П(i) была положительна Re П(i) = Re[(1+ i)W (i) +1/ k] > 0. (12.48) 2 Функция (x) принадлежит подклассу (0,k), т.е. 0 (x) / x k.

Доказательство этой теоремы не приводится, но рассматривается геометрическая трактовка. Для этого вводятся следующие характеристики видоизмененной частотной характеристики линейной части * W (i), связанной с исходной W(i) соотношениями:

* ReW (i) = ReW (i);

(12.49) * ImW (i) = ImW (i), т.е. действительная часть видоизмененной характеристики равна действительной части исходной, а * мнимая равна мнимой части исходной, умноженной на. Так как ImW(i)= 0 и ImW (i)= 0 одновременно, то точки пересечения действительных характеристик совпадают. Действительная и мнимая час* ти видоизмененной характеристики W (i) являются четными функциями. Если степень числителя W(i) не выше степени знаменателя и W(i) имеет не более одного полюса в начале координат, то при * * * ReW (i) и ImW (i) стремятся к конечным пределам и характеристика W (i) лежит в конечной части плоскости целиком.

Пусть W (i) = U () + iV ();

* * * W (i) = U () + jV (), тогда Re[(1+ i)W (i) +1/ k]= U () - V () +1/ k > 0 (12.50) или * * U () - V () +1/ k > 0.

Критическим случаем является случай, когда * * U () - V () +1/ k = 0, * * * который дает в координатах U, V уравнение прямой линии, касающейся характеристики W (i). Прямая проходит через точку (-1/ k, i) и имеет угловой коэффициент 1/.

* * * Когда U () - V () +1/ k > 0, W (i) лежит в части плоскости, включающей начало координат, т.е.

правее прямой.

Таким образом, для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы на плоскости видоиз* мененной частотной характеристики W (i) линейной части системы можно было провести прямую че* рез точку (-1/ k, i0) так, чтобы W (i) целиком располагалась справа от этой прямой (рис. 12.9, а).

На рис. 12.9, б приведен случай, когда отделяющую прямую построить нельзя и судить об устойчивости также нельзя.

Критерий Попова распространен также на системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью. В этом случае должны выполняться условия Re(1+ i)W1(i) +1/ k > 0; r < (x) / x < k + r, (12.53) V* V* а) б) - k U* - 1 U* k Рис. 12.9 Геометрическая трактовка абсолютной устойчивости системы:

а – устойчивая систем; б – неустойчивая т.е. нелинейная характеристика должна укладываться в углу, ограниченном прямыми с угловыми коэффициентами r и k + r. При этом r выбирается так, чтобы 1+ rW (i) имела все нули в левой полуплоскости, а W1(i) - видоизмененная характеристика линейной части W (i) W1(i) =.

1+ rW (i) Между критерием абсолютной устойчивости Попова и вторым методом Ляпунова существует глубокая связь. Было доказано, что если выполняется условие абсолютной устойчивости Попова, то существует типовая функция Ляпунова - квадратичная форма плюс нелинейность, причем условие Re(П(i)) > 0 является необходимым и достаточным.

Пример 12.5 Нелинейная система второго порядка имеет линейную часть, описываемую уравнением W (s) =.

s2 + 2h0s + Требуется определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного элемента лежит в секторе (0, k).

Видоизмененная характеристика линейной части будет 0 - 2 2h* W (i) = -.

2 2 2 2 (0 - 2) + 4h202 (0 - 2) + 4hАнализ этой характеристики показывает, что при всех мнимая часть характеристики отрицатель* на, а это говорит о том, что вся характеристика W (i) лежит в i V* нижней полуплоскости (рис. 12.10).

При частотах = 0, = 1, = она имеет общие точки с характеристикой W (i).

* Касательная к кривой АФХ W (i) в начале координат - arctg 2 h k проходит под углом arctg(2h0) к вещественной оси. Сама кри U* вая W*(i) лежит правее этой касательной, поэтому всегда можно провести прямую Попова через точку -1/ k под некоторым углом (рис. 12.10). Система абсолютно устойчива при всех k и для всех однозначных нелинейных характеристик, принадлежащих сектору (0, ).

Рис. 12.10 Видоизмененная АФХ 12.5 Тренировочные задания 1 В нелинейных системах исследуется устойчивость движения. Различают возмущенное движение и невозмущенное движение. Основными видами устойчивости движения являются понятия устойчивости движения по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Кроме того для нелинейных систем существуют такие понятия, как устойчивость в "малом" и устойчивость в "большом".

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.