WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 32 |

Вектор gradV ( y) перпендикулярен к поверхности V = const (в частности, на рис. 12.3 к V = C4 ) и направлен в сторону возрастания значения V. Если производная dV / dt > 0, то, согласно (12.17), вектор фазовой скорости F( y) составляет с вектором gradV (y) острый угол, т.е. фазовая траектория пересекает поверхность V = const в сторону увеличения значений V ( y).

Если же dV / dt < 0, угол между gradV (y) и F( y) тупой и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений V (y). Таким образом, если dV / dt < 0, то изображающая точка переместится на внутреннюю поверхность C3 и, двигаясь далее, будет неограниченно приближаться к состоянию равновесия – началу координат фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла. Это и означает затухание всех отклонений y1, y2, yв переходном процессе с течением времени. Если W (y1, y2, y3) = 0, то изображающая точка может остановиться на соответствующей поверхности. Такое перемещение является достаточным признаком устойчивости, т.е., если оно осуществляется, то устойчивость гарантируется.

В случае асимптотической устойчивости изображающая точка не может остаться на одной из поверхностей, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где y1 = y2 = y3 = 0 и V(y1, y2, y3) = 0.

Геометрическую иллюстрацию теоремы Ляпунова о неустойчивости удобно привести для случая n = 2 на фазовой плоскости (рис. 12.4). Пусть функция V(y1, y2) знакопеременная с линиями V = const, а ее производная dV / dt = W (y1, y2 ) положительно определенная. При произвольных начальных условиях фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойствами (12.17), попадает в область, где V(y1, y2)> 0 и будет удаляться от начала координат.

Если же W(y1, y2) является отрицательно определенной функцией, то фазовая траектория удаляется от начала координат в область, где V(y1, y2)< 0.

В качестве примера проведем строгое доказательство теоремы I Ляпунова.

Зададим некоторое значение > 0 и область значений вектора y = (y1, y2,..., yn ), ограниченную величиной его нормы y =.

Пусть имеется положительно определенная функция V(y) > 0, точная нижняя грань значений которой при y = есть > 0, т.е.

inf V (y) = > 0. (12.18) y = Поскольку V(0)= 0, то из непрерывности определенно положительной функции V(y) следует, что можно взять такое значение > 0, чтобы V(y)< при y <.

Предположим, что начальные условия лежат внутри области (подобрать их таким образом можно всегда), т.е. y(t0 ) < и, следовательно, V(y(t0))<. Тогда для решения y(t) при t > t0 функция V(y(t)) будет не возрастающей, так как по условию теоремы dV / dt = W(y) 0. Таким образом, получаем, что V(y(t)) V(y(t0))<. При этом неизбежно y(t) <, так как, если бы было y(t) >, то получилось бы V (y) inf V (y) =, что противоречит условию V(y(t)) V(y(t0))<. Теорема доказана.

y = Если условия теоремы выполняются, то система устойчива. Но это не означает, что система не может быть устойчивой и за пределами этих условий, все зависит от выбора функции Ляпунова V.

12.3.4 МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА При заданных уравнениях системы регулирования можно подобрать несколько различных вариантов функции V, поскольку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции V, удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будут шире, другие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т.д. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова V будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным, т.е. более или менее полный охват всей области устойчивости данной системы. В большинстве технических задач вполне удовлетворяются только достаточными условиями.

Методику применения теорем Ляпунова удобно рассматривать на примере устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с одной однозначной нелинейностью. Структурная схема такой системы изображена на рис. 12.5.

Пусть управляемый объект описывается в фазовом пространстве системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка dy1(t) = a11y1 + a12 y2 + b1x;

(12.19) dydtt ( ) = a21y1 + a22 y2 + b2x, dt F() x Исполнит. y Объект устройство r Измерительное устройство Рис. 12.5 Структурная схема Рис. 12.6 Характеринелинейной АСР стика нелинейного исполнительного устройства где y1(t), y2(t) – фазовые координаты; x(t) – скалярная координата; a11, a12, a21, a22 – коэффициенты, из которых может быть образована невырожденная матрица; b1, b2 – коэффициенты.

Регулятор представляет собой нелинейное исполнительное устройство-привод, обратную связь привода и измерительно-усилительное устройство. Этот регулятор описывается следующими уравнениями dx(t) = F();

(12.20) dt (t) = C1y1(t) + C2 y2(t) - rx(t), где – скалярная координата; r – коэффициент обратной связи привода; F() – характеристика исполнительного устройства; C1, C2 – коэффициенты, характеризующие измерительно-усилительное устройство, в соответствии с которым выходная координата объекта записывается в виде C1y1(t) + C2 y2 (t).

Нелинейная функция может иметь произвольную нечетно-симметричную форму (12.6), удовлетворяющую условиям F(0) = 0, F() > 0 при 0. (12.21) Для исследования устойчивости вторым методом Ляпунова заданная система уравнений (12.19), (12.20) должна быть приведена к каноническому виду путем замены переменных:

z1(t) = a11y1(t) + a12 y2(t) + b1x(t);

z2(t) = a21y1(t) + a22 y2(t) + b2x(t);. (12.22) (t) = C1y1(t) + C2 y2(t) - rx(t).

Продифференцировав эти соотношения и произведя замену в соответствии с (12.22), получают систему уравнений вида dz1(t) = a11z1(t) + b1F();

dt dz2(t) = a22z2 (t) + b2F();, (12.23) dt d(t) = C1z1(t) + C2z2(t) - rF(), dt в предположении, что матрица, составленная из коэффициентов a11, a12, a21, a22 приведена к диагональной форме, т.е. коэффициенты a12 = a21 = 0. Общая матрица системы (12.23) должна быть невырожденной, т.е.

a11 0 b0 a22 b2 0.

C1 C2 - r Для решаемой задачи функцию Ляпунова рекомендуется брать в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности 2 V (z, ) = B1z1 + B2z2 + F()d, (12.24) где B1, B2 – некоторые положительные квадратичные коэффициенты координат z1 и z2. Интеграл в этом выражении также является положительно определенной функцией координаты, что легко проверить по виду характеристики F(). Таким образом, функция Ляпунова (12.24) является положительно определенной.

Производная этой функции (12.24) в силу уравнений системы (12.23) запишется в виде dV V dz1 V dz2 d dz1 dz2 d = + + F() = 2B1z1 + 2B2z2 + F() = dt z1 dt z2 dt dt dt dt dt = 2B1z1(a11z1 + b1F()) + 2B2z2(a22z2 + b2F()) + +F() (C1z1 + C2z2 - rF()).

Произведя некоторые преобразования и замену переменных C1 = -2B1a11, C2 = -2B2a22, производная от функции Ляпунова примет следующий вид dV 2 2 = -C1z1 - C2z2 - rF () + (12.25) dt + 2F()[(B1b1 + 1 2C1)z1 + (B2b2 + 1 2C2 )z2].

Полученное выражение (12.25) представляет собой квадратичную форму и согласно теоремам Ляпунова должна быть знакоопределенной или знакопостоянной отрицательной функцией. Установим обратное: при каких условиях эта производная будет положительной определенной функцией. Для этого необходимо воспользоваться критерием Сильвестра. Так как коэффициенты C1 и C2 являются коэффициентами положительно-определенной квадратичной формы, то неравенства критерия Сильвестра выполняются. Остается потребовать, чтобы C1 0 - (B1b1 + 1 2C1) 0 C2 - (B2b2 + 1 2C2 ) > 0, - (B1b1 + 1 2C1) - (B2b2 + 1 2C2 ) r 2 отсюда -(B1b1 +1 2C1) C2 -(B2b2 +1 2C2) C1 + rC1C > 0.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО КОЭФФИЦИЕНТ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПРИВОДА ДОЛЖЕН ВЫБИРАТЬСЯ В СООТВЕТСТВИИ С НЕРАВЕНСТВОМ 1 2 r > (B1b1 +1 2C1) + (B2b2 +1 2C2). (12.26) C1 CЭТО И ЯВЛЯЕТСЯ ДОСТАТОЧНЫМ УСЛОВИЕМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ z1 = 0, z2 = 0, = 0.

В УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ВОШЛИ НИКАКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ F(). СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ СПРАВЕДЛИВЫ ПРИ ЛЮБОЙ ФОРМЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ ОБЩИМ ТРЕБОВАНИЯМ (12.21). ТАКИЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ, КОТОРЫЕ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ КОНКРЕТНОЙ ФОРМЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ, НАЗЫВАЮТ УСЛОВИЯМИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ.

12.3.5 Методы построения функции Ляпунова ОДНОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПРАКТИЧЕСКОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫБОР ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА. ОБЩЕГО МЕТОДА ВЫБОРА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕ СУЩЕСТВУЕТ, НО ВСЕ ЖЕ ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОСТАВЛЕНИЮ ЭТОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА СИСТЕМ. ЧАЩЕ ВСЕГО ЭТУ ФУНКЦИЮ ВЫБИРАЮТ В ВИДЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.

ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ КООРДИНАТ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ НАХОДЯТСЯ СРАВНИТЕЛЬНО ЛЕГКО.

ПУСТЬ ДАНА СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ dyi n = y, j, i = 1, 2,..., n (12.27) aij j dt j=И ПУСТЬ КОРНИ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВЫЕ, Т.Е. ИМЕЮТ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ.

БУДЕМ ИСКАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ li, j КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ n n L( y) = yi y, lij = l, (12.28) lij j ji i=1 j=ТАК, ЧТОБЫ ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ЭТОЙ ФОРМЫ n dL( y) L yi n n n = y yk = -G( y) (12.29) y t = 2lij ja jk dt i i=1 i=1 j=1 k= БЫЛА ОПРЕДЕЛЕННО-ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ.

ДЛЯ ЭТОГО, СЛЕДУЯ ЛЯПУНОВУ, ЗАДАДИМСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФОРМОЙ n n G( y) = yi y, (12.30) gij j i=1 j=С КОЭФФИЦИЕНТАМИ gij = g.

ji ТАКУЮ ФОРМУ МОЖНО ВЫБРАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: ЗАДАЮТСЯ n ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ g11, g22,..., gnn И ЗАТЕМ ОПРЕДЕЛЯЮТ g12 = g11g12,..., gij = gii g,.... ТОГДА G( y) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ jj G( y) = (g11y1 + g22 y2 +...+ gnn yn ) И ЯВЛЯЕТСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ.

ЛЯПУНОВЫМ БЫЛО ДОКАЗАНО, ЧТО ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЯХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ЕДИНСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ ПОДОБРАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФОРМЫ, КОТОРАЯ БУДЕТ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ. ТАК КАК dL dt < 0, ТО L ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЛЯПУНОВА.

ЛЯПУНОВ УКАЗАЛ СЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ V ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. БУДЕМ ИСКАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ ПЕРЕМЕННЫХ U = A1y1 + A2 y2 +... + An yn, (12.31) КОТОРАЯ УДОВЛЕТВОРЯЛА БЫ УСЛОВИЮ n U y1 + a2i y2 +K+ ani yn ) = U. (12.32) (a1i yi i=Для нахождения коэффициентов A1, A2, K, An подставим (12.31) в последнее выражение, в результате получим n y1 + a2i y2 +K+ ani yn )Ai = (A1y1 +K+ An yn ).

(a1i i=Так как y1, y2, K, yn независимые переменные, то равенство может существовать лишь при условии, что все коэффициенты при y1, y2, K, yn тождественно равны нулю. Находим (a11 - )A1 + a12 A2 +K+ a1n An = 0;

a A1 + (a22 - )A2 + a2n An = 0;

K+. (12.33)...

an1A1 + an2 A2 + + (ann - )An = 0.

K Условием совместности этих n уравнений является равенство нулю определителя системы ( = 0), где является корнем характеристического уравнения. Так как в общем случае их n, то можно найти n значений для функции U, равных U1, U2, K, Un. Поскольку корни могут быть комплексными, т.е.

i = i + ij, i = i - ij, то им соответствуют сопряженные значения функции Ui и U.

i Составим далее функцию V = U1U +U2U +K+UnU, (12.34) 1 2 n если Ui окажется действительной величиной, возьмем Ui2. Таким образом получаем положительноопределенную функцию, производная по времени которой будет n dV dUi n dU i = U + Ui, (12.35) i dt dt dt i=1 i=dUi Ui dyi где =.

dt yi dt Подставляя в (12.35) значение dyi dt из уравнения (12.27), в конечном итоге получаем n dV = UiU, (12.36) i 2i dt i=где i – действительные части корней.

Таким образом, указан способ построения функции Ляпунова для линейной системы.

Метод Г. Сеге Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде n n V = (yi )yi2 + 2 ( yi ) yi y, (12.37) aij aij j i=1 j= i j где коэффициенты aij являются функциями фазовых координат yi, т.е. aij ( yi ).

Производная от функции Ляпунова по времени будет n n daij ( yi ) dV ii = da ( yi ) yi2 dyi + 2aii ( yi ) dyi + dt dyi dt dt dyi i =1 j = (12.38) j i dy dyi dyi yi y + aij ( yi ) y + aij ( yi ) yi j.

j j dt dt dt Работу метода Г.Сеге удобнее проследить на примере систем второго порядка. В этом случае (12.37) примет вид 2 V = a11( y1) y1 + 2a12 ( y1) y1y2 + a22 ( y2 ) y2. (12.39) Определению подлежат коэффициенты a11( y1), a12 (y1), a22 ( y2 ). Принимается, что a22 ( y2 ) = 1, тогда 2 V = a11( y1) y1 + 2a12 ( y1) y1y2 + y2, и, следовательно, производная (12.38) записывается следующим образом dV da11(y1) dy1 dy1 da12( y1) dy= y1 + 2a11(y1) + 2 y1y2 + dt dy1 dt dt dt dt (12.40) dy1 dy2 dy+ 2a12(y1) y2 + 2a12(y1) y1 + 2y2.

dt dt dt Так как исходная нелинейная система второго порядка записывается в виде dy1(t) = F1( y1, y2);

, dydt(t) = F2(y1, y2), dt то производная от функции Ляпунова в силу этих дифференциальных уравнений будет dV da11( y1) = y1 F1( y1, y2) + 2a11( y1) y1F1(y1, y2 ) + dt dyda12( y1) + 2 y1y2F1( y1, y2) + 2a12(y1)y1F2 (y1, y2 ) + (12.41, а) dy+ 2a12( y1)F1( y1, y2) y2 + 2y2 ( y1, y2).

Предположим, что правая часть производной функции Ляпунова представляет собой полином второго порядка относительно yk (y1,y2 ) = A2 ( y1)y2 + A1( y1)y2 + A0 (y1), (12.41, б) где A0, A1, A2 – полиномы, зависящие от y1.

Для обеспечения устойчивости во всей области ( y1, y2 ) необходимо потребовать, чтобы уравнение ( y1, y2 ) = 0 имело кратные корни, условием которого является равенство нулю дискриминанта:

A1 - 4A2 A0 = 0.

Согласно методу Г. Сеге принимается A2 = A1 = 0 и на основании этого составляется система дифференциальных уравнений для определения коэффициентов a11, a12 :

da11(y1) f1(, a11( y1), y1) = 0;

dy (12.42) da12( y1) f2 (, a12 ( y1), y1) = 0.

dy Далее необходимо решить систему дифференциальных уравнений (12.42) относительно a11, a12.

Найденные значения коэффициентов подставляются в выражение для функции Ляпунова и ее производной, после чего проверяется знакоопределенность функции V ( y1, y2 ) и определяется знак производной dV / dt. На основании полученных результатов о знакоопределенности функции V (y1, y2 ) и знаке dV / dt делается вывод об устойчивости системы автоматического управления по Ляпунову: система будет устойчивой, если получили, что V (y1, y2) > 0, а dV / dt < 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.