WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 32 |

Если отклонения достаточно малы, то, пренебрегая членами в (12.3), зависящими от них в степени выше первой, учитывая начальные условия и переобозначив y(t)= y(t), получают линеаризованное уравнение, которое также называется линеаризованным уравнением первого приближения и записывается в виде An y(n)(t)+...+ A1y (t)+ A0 y(t)= 0. (12.4) Исследование устойчивости движения по уравнению первого приближения объясняется, с одной стороны, простотой подобного подхода, с другой стороны, исследования процессов, происходящих в реальных системах, часто позволяют определить только первые линейные члены.

Но, однако, уравнение первого приближения не всегда позволяет сделать правильный вывод об устойчивости движения. Условия, позволяющие дать правильные ответы и решить важную и принципиальную задачу теории автоматического управления об устойчивости движения были сформулированы А.М. Ляпуновым и оформлены в виде трех теорем, именуемых первым методом Ляпунова.

Теорема 1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также неустойчиво по Ляпунову.

Теорема 3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. В этом случае необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

Эти теоремы позволяют судить по результатам исследования уравнений первого приближения об устойчивости в "малом" состояния равновесия исходной нелинейной системы.

В качестве примера рассмотрим нелинейную систему второго порядка, описываемую системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:

dy1(t) = P(y1, y2 );

(12.5) dydt (t) = Q(y1, y2 ).

dt Предметом исследования является определение устойчивости состояния равновесия (y10, y20), т.е.

характера движения вблизи этого состояния, которое определяется как dy1(t) / dt = dy2 (t) / dt = 0.

Согласно первому методу Ляпунова система дифференциальных уравнений (12.5) заменяется линеаризованной системой первого приближения. Для этого, если функции P(y1, y2), Q(y1, y2) являются аналитическими, то их разлагают в ряд Тейлора и получают следующую систему уравнений dy1(t) = a1y1(t) + a2y2(t) + C1;

(12.6) ddt y2(t) = b1y1(t) + b2y2(t) + C2, dt P(y1, y2 ) P(y1, y2 ) где a1 = ; a2 = ;

y10, y20 y10, yy1 yQ(y1, y2 ) Q(y1, y2 ) b1 = ; b2 = ;

y10, y20 y10, yy1 yy1 = y1 - y10, y2 = y2 - y20 ;

С1, С2 – члены степени выше первой относительно y1, y2. Система первого приближения получается из (12.6) отбрасыванием нелинейных членов C1, C2 :

(t) dy a1y1(t) + a2y2(t);

= (12.7) ddt y2(t) = b1y1(t) + b2y2(t), dt Система дифференциальных уравнений (12.7) является линейной системой с постоянными коэффициентами и исследуется на устойчивость любыми известными методами исследования устойчивости линейных систем. В частности, характеристическое уравнение системы имеет вид S - (a1 + b2 )S + a1b2 - a2b1 = 0, (12.8) и, следовательно, характер устойчивости решения определяется корнями S1 и S2 этого уравнения. Если эти корни имеют отрицательную часть, то система первого приближения устойчива, следовательно, устойчива и исходная нелинейная система. Если же действительная часть положительна, то линейная система неустойчива и исходная нелинейная система неустойчива. Если корни будут чисто мнимыми, то линейная система находится на границе устойчивости и сказать что-либо конкретное относительно устойчивости исходной нелинейной системы нельзя, так как неизвестно как ведут себя отброшенные нелинейные члены. В этом случае необходимо рассматривать систему второго приближения. Если же исследование этой системы не даст конкретного ответа, то рассматривается система третьего приближения и т.д.

Первый метод Ляпунова можно использовать и для исследования устойчивости движения. Если последнее описывается дифференциальным уравнением (12.1), то для исследования устойчивости движения это уравнение необходимо линеаризовать путем разложения в ряд Тейлора в окрестности исследуемого движения y10(t), y20(t), …, yn0(t), например, таким движением является гармонический сигнал – синусоида. В результате линеаризации получают уравнение первого приближения, которое является линейным уравнением с коэффициентами, зависящими от времени:

An(t)yn(t)+ An-1(t)y(n-1)(t)+...+ A1(t)y (t)+ A0(t)y(t) = 0.

Пример 12.1 Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования с помощью первого метода Ляпунова, если она описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

(t) dy = -y1(t) + y1(t)y2(t);

dt dy2(t) = -y2(t) + y2 (t).

dt Прежде всего определяются состояния равновесия из системы уравнений dy1 / dt = dy2 / dt = 0, т.е.

- y1 + y1y2 = 0;

- y2 + y2 = 0.

Система имеет два состояния равновесия. Первое – y10 = 0, y20 = 0 ; второе – y10 – любое, y20 = 1. Исследуем на устойчивость первое состояние равновесия. Для этого линеаризуем исходную систему в окрестности точки y10 = 0, y20 = 0 и получим линейную систему первого приближения dy1(t) = - y1(t);

dydt (t) = - y2(t).

dt Характеристическое уравнение этой системы: (S +1) = 0, его корни S1 = S2 = -1 – отрицательные действительные, следовательно, система первого приближения устойчива. Состояние равновесия исходной нелинейной системы также устойчиво и представляет собой особую точку типа устойчивый узел.

12.3 Второй метод Ляпунова А.М. Ляпунов предложил метод, позволяющий получить достаточные условия устойчивости нелинейных систем автоматического управления. Первоначально метод был разработан для исследования локальной устойчивости, т.е. устойчивости в достаточно малой окрестности особых точек, в дальнейшем он был расширен и для исследования устойчивости "в большом". Этот метод получил название второго метода Ляпунова. Для его изложения необходимы некоторые вспомогательные сведения, приведенные ниже.

12.3.1 ПОНЯТИЕ О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ, ЗНАКОПОСТОЯННЫХ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЯХ Пусть имеется функция нескольких переменных V = V(y1, y2,..., yn), где y1, y2,..., yn являются прямоугольными координатами n-мерного фазового пространства. В каждой точке этого пространства функция V имеет некоторое определенное значение, в зависимости от того какие это будут значения вводятся названия этой функции.

Функция V называется знакоопределенной в данной области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде, кроме начала координат, не обращается в нуль.

2 2 Примером знакоопределенной функции является функция вида V = y1 + y2 +... + yn, которая при всех вещественных значениях y1, y2,..., yn будет положительной (V > 0) и только, когда одновременно y1 = 0, y2 = 0,..., yn = 0 она обращается в нуль (V = 0). Эта функция называется знакоопределенной положи2 2 тельной в отличие от функции V = -(y1 + y2 +...+ yn), которая называется знакоопределенной отрицательной, так как для любых y1, y2,..., yn V < 0 и V = 0 при y1 = 0, y2 = 0,..., yn = 0.

Функция V называется знакопостоянной, если она в рассматриваемой области сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

2 Примером знакопостоянной функции при n = 3 является функция V = (y1 + y2) + y3, которая обращается в нуль, помимо начала координат, еще на прямой y2 = - y1 и y3 = 0, во всех остальных точках она положительна. Функция V = sin y1 + cos y2 также является знакопостоянной, так как она при всех действительных y1 и y2 положительна или равна нулю.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат меняет свой знак.

Примером знакопеременной функции является функция V = y1 + y2. Эта функция положительна для всех точек справа от прямой y1 = - y2 и отрицательна слева от этой прямой.

12.3.2 ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА Согласно второму методу Ляпунова в рассмотрение вводится специальная функция V(y1, y2,..., yn ), заданная в фазовом пространстве, называемая функцией Ляпунова и обладающая следующими свойствами:

1 Функция V непрерывна со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области, содержащей начало координат.

2 В начале координат функция V(y1, y2,..., yn ) принимает нулевое значение, т.е. при y1 = 0, y2 = 0,..., yn = 0, V(y1, y2,..., yn )= 0.

3 Всюду внутри рассматриваемой области функция V является знакоопределенной, т.е. либо V > 0, либо V < 0.

Полная производная от функции Ляпунова по времени запишется в виде dV V dy1 V dy2 V dyn = + +...+. (12.9) dt y1 dt y2 dt yn dt Пусть рассматриваемая нелинейная система автоматического управления описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе. Следовательно, для нелинейной системы n-го порядка эти уравнения будут:

dy1(t) = F1(y1, y2,..., yn );

dt dy(t) = F2(y1, y2,..., yn );

(12.10) dt...

dyn (t) = Fn(y1, y2,..., yn ), dt где функции F1, F2,..., Fn произвольны и содержат нелинейности любого вида, но всегда удовлетворяют условию, что при y1 = y2 =... = yn = 0, F1 = F2 =... = Fn = 0, так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производных равны нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Если теперь в производную от функции Ляпунова (12.9) подставить значения dy1 / dt, dy2 / dt,..., dyn / dt из системы уравнений рассматриваемой системы управления (12.10), то получим производную от функции Ляпунова по времени в виде dV V V V = F1 + F2 +... + Fn. (12.11) dt y1 y2 yn Правые части уравнений (12.10) представляют собой заданные функции от отклонений y1, y2,..., yn.

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама функция V, является некоторой функцией отклонений, т.е.

dV = W (y), (12.12) dt причем, так же как и функция V, эта функция W тождественно обращается в нуль при y1 = y2 =... = yn = 0.

В связи с этим к функции W (12.12) можно применять понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.

12.3.3 ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА В основе второго метода Ляпунова лежит известная теорема Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. А.М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.

Теорема 1 Если существует знакоопределенная функция V (y1, y2,..., yn ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, или представляет собой знакопостоянную функцию противоположного с V знака, или тождественно равна нулю, то нелинейная система устойчива.

Теорема 2 Если существует знакоопределенная функция V(y1, y2,..., yn ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию противоположного с V знака, то нелинейная система асимптотически устойчива.

Теорема 3 Если существует какая-либо функция V(y1, y2,..., yn ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат имеется область, в которой знак функции V совпадает со знаком производной dV / dt, то состояние системы y1 = y2 =... = yn = 0 неустойчиво.

Проиллюстрировать справедливость этих теорем можно на наглядных геометрических образах.

Пусть имеется некоторая нелинейная система третьего порядка, которая описывается системой дифференциальных уравнений в отклонениях от значений переменных в стационарном состоянии вида (12.10):

dy1(t) = F1(y1, y2, y3);

dt dy(t) = F2(y1, y2, y3); (12.13) dt dy3(t) = F3(y1, y2, y3).

dt Координаты состояний равновесия определяются из системы алгебраических уравнений F1(y1, y2, y3)= F2(y1, y2, y3)= F3(y1, y2, y3)= 0. (12.14) Для определенности предполагается, что рассматриваемая система имеет только одно состояние равновесия, совпадающее с началом координат y1 = y2 = y3 = 0.

В качестве функции Ляпунова рассматривается знакоопределенная положительная функция 2 2 2 2 2 V(y1, y2, y3)= a1 y1 + a2 y2 + a3 y3, (12.15) где ai, i = 1, 2, 3 – произвольно заданные вещественные числа. Если теперь этой функции придавать некоторые возрастающие постоянные значения 0, C1, C2,..., т.е.

2 2 2 2 2 a1 y1 + a2 y2 + a3 y3 = 0 ;

2 2 2 2 2 a1 y1 + a2 y2 + a3 y3 = C1 ;

2 2 2 2 2 a1 y1 + a2 y2 + a3 y3 = C2 ;

..., то первому из них в фазовом пространстве y1 - y2 - y3 соответствует точка y1 = y2 = y3 = 0, а остальным – эллипсоиды, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий (рис. 12.3), т.е. в силу однозначности функции V поверхности, соответствующие различным значениям Ci, не пересекаются между собой, а составляют семейство вложенных друг в друга поверхностей, причем меньшим значениям Ci соответствуют внутренние поверхности, увеличение значений Ci обозначает переход к внешним поверхностям.

Производная от функции Ляпунова (12.15) по времени в силу системы дифференциальных уравнений (12.13) согласно (12.11) запишется в виде dV 2 = 2a1 y1F1(y1, y2, y3) + 2a2 y2F2(y1, y2, y3) + dt (12.16) + 2a3 y3F3(y1, y2, y3) = W (y1, y2, y3).

Пусть изображающая точка в начальный момент находится на поверхности V = C4 (рис. 12.3). Градиент функции V есть вектор, определяемый проекциями V / yi на оси координат, т.е.

V V V gradV =,,.

y y2 yЕсли теперь ввести в рассмотрение вектор F( y) с проекциями F1 = dy1 / dt, F2 = dy2 / dt, F3 = dy3 / dt, то этот вектор будет ни чем иным как вектором скорости изображающей точки M в фазовом пространстве (рис. 12.3). Согласно (12.16) можно записать dV = W ( y) = gradV F( y), (12.17) dt где y = ( y1, y2, y3) – вектор координат состояния системы. Таким образом, производная функции Ляпунова по времени, составленная в силу уравнений системы (12.13), представляет собой скалярное произведение градиента этой функции на вектор фазовой скорости.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.