WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 32 |

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Последние в общем случае описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:

dy1(t) f1( y1, y2, K, yn );

= dt dy (t) f2( y1, y2, K, yn );

= (11.1) dt...

dy (t) fn ( y1, y2, K, yn ), n = dt где y1, y2, K, yn – фазовые координаты: t – время; f1, f2, K, fn – нелинейные функции.

Фазовые координаты y1, y2, K, yn могут иметь любой физический смысл – температура, концентрация и др., но обычно в качестве них выбирают выходную переменную и ее (n -1) производную, т.е.

y1(t) = y(t), y2(t) = y (t), K, yn (t) = y(n-1) (t).

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных уравнений (11.1) для системы второго порядка запишется в виде:

dy1(t) f1( y1, y2);

= dt (11.2) dy2(t) f2( y1, y2).

= dt Из этой системы получают уравнение, описывающее фазовый портрет. Для этого необходимо исключить из рассмотрения время, в результате чего получают следующее уравнение dy2 f ( y1, y2 ) =, (11.3) dy1 f1( y1, y2) решение которого дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, являющихся фазовыми траекториями системы.

11.2 Фазовые портреты нелинейных систем Фазовые портреты нелинейных систем второго порядка определяются решением дифференциального уравнения (11.3), которое в данном случае является нелинейным, что и обуславливает характерные особенности этих траекторий.

Линейная система имеет единственное состояние равновесия, определяемое (11.3), и характер особой точки полностью определяет поведение системы при любых отклонениях от состояния равновесия.

В нелинейной системе состояний равновесия может быть много, следовательно и особых точек также много, но их характер определяет поведение фазовых траекторий только вблизи них. Так, на рис. 11.изображен типичный фазовый портрет нелинейной системы.

y B C y A Рис. 11.1 Фазовый портрет нелинейной системы Эта система имеет три состояния равновесия в точках А, В, С. Причем точка А является особой точкой типа "центр", а В и С – типа "седло". При рассмотрении свободных движений их амплитуда может вырасти до определенного предела и оставаться далее постоянной, а не расходиться. На фазовой плоскости помимо особых точек фазовый портрет может содержать особые линии, одной из которых является особая траектория – изолированная замкнутая кривая, называемая предельным циклом (рис. 11.2).

Фазовые траектории могут асимптотически приближаться к предельному циклу – "наматываться" (рис. 11.2, а) и "сматываться", уходя в бесконечность (рис. 11.2, б).

Предельным циклам соответствуют периодические процессы, в окрестности которых имеют место колебательные процессы (рис. 11.3), т.е. предельному циклу соответствует режим автоколебаний в системе.

y2 а) б) y y1 yРис. 11.2 Особые фазовые траектории - предельный цикл:

а – устойчивый; б – неустойчивый y1 y1 б) а) t t РИС. 11.3 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ:

А – ПРИ УСТОЙЧИВОМ ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ; Б – ПРИ НЕУСТОЙЧИВОМ ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми, и соответственно автоколебания – устойчивыми и неустойчивыми. Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории снаружи и изнутри "наматываются на него" (рис. 11.2, а, 11.3, а). В такой системе обязательно будет наблюдаться автоколебательный режим.

Предельный цикл называется неустойчивым, если фазовые траектории удаляются от него с обеих сторон, т.е. "сматываются" (рис. 11.2, б, 11.3, б).

Если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла, представленного на рис. 11.2, а, то она будет двигаться по фазовой траектории к нему, система ведет себя, как неустойчивая система, особая точка – начало координат является неустойчивым фокусом. Если же в начальный момент времени изображающая точка находится снаружи предельного цикла, то она движется по фазовой траектории, приближаясь к нему, система ведет себя как устойчивая система. В этом случае говорят, что рассматриваемая система неустойчива "в малом", устойчива "в большом" и режим автоколебаний устойчивый.

Если рассматривать те же самые начальные условия, но для случая, представленного на рис. 11.2, б, то говорят, что система устойчива "в малом" (особая точка – устойчивый фокус), неустойчива "в большом", режим автоколебаний неустойчивый.

неустойчи- y y2 а) б) вый y1 yустойчивый Рис. 11.4 Фазовый портрет системы:

а – полуустойчивый предельный цикл; б – с двумя предельными циклами Если начальные условия таковы, что одна фазовая траектория "наматывается" на предельный цикл, а другая – "сматывается", то система является неустойчивой и "в малом", и "в большом". В этом случае предельный цикл и соответственно режим автоколебаний называется полуустойчивым (рис. 11.4, а).

Система может иметь не один, а несколько предельных циклов. Система, фазовый портрет которой изображен на рис. 11.4, б, имеет два предельных цикла, один из них – внутренний устойчивый, другой – внешний неустойчивый. Состояние равновесия одно и неустойчивое.

Другим видом особых линий, которые встречаются в нелинейных системах, являются сепаратрисы – кривые, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Так, в линейных системах второго порядка при рассмотрении фазового портрета типа седло асимптоты гипербол y2 = ±y1, 2 = a0 / a2, a1 = 0 и являются как раз сепаратрисами.

Типичный фазовый портрет нелинейной системы изображен на рис. 11.5. Здесь имеются следующие особые точки: точка А – устойчивый фокус, точка В – неустойчивый узел и точка С – седло. В соответствии с этим сепаратрисы разделяют фазовый портрет на четыре области: 1 – затухающих колебаний, 2 – автоколебаний, 3 и 4 – неустойчивых апериодических процессов.

yC B yA Рис. 11.5 Фазовый портрет нелинейной системы Нелинейные системы с элементами, имеющими зону нечувствитель yности или сухое трение, имеют не один стационарный режим, а целую область, что на фазовой плоскости выражается "вытягиванием" особой точки в особую линию (рис. 11.6).

yВ заключение следует сказать, что если известен фазовый портрет, то о системе известно все.

Рис. 11.6 Фазовый 11.3 Методы построения фазовых портретов портрет с особой линией Для построения фазовых портретов нелинейных систем используется ряд методов. Наибольшее распространение получили нижеследующие методы.

11.3.1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ В линейных системах интегрирование дифференциального уравнения фазовых траекторий (11.3) не представляет трудностей. Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется. Аналитическое решение в большинстве случаев получить не удается, поэтому для построения фазовых портретов нелинейных систем применяют численное интегрирование уравнения (11.3). В ряде случаев предварительно проводят качественное исследование изучаемой системы. Благодаря использованию методов качественной теории дифференциальных уравнений определяют структуру фазовых портретов – число и тип возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаиморасположение, наличие сепаратрис. Все это позволяет определить совокупность возможных в исследуемой системе режимов работы, и численное интегрирование уравнения фазовых траекторий выполнить для целого ряда начальных условий, которые являются наиболее важными с точки зрения выделения областей фазового портрета.

Пример 11.1 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом интегрирования уравнения фазовой траектории.

Нелинейная система описывается дифференциальным уравнением d y dy T0 2 + = -kf (y), dt dt где f ( y) – релейная характеристика вида B, y > C;

f (y) = - C < y < C;

0, - B, y < - C.

В этом случае уравнение нелинейной системы записывается для трех участков релейной характеристики d y dy T dt2 + dt = -kB, y > C;

d y dy T + = 0, - C < y < C;

dt2 dt d y dy T0 + = kB, y < -C.

dt2 dt Рассмотрим, как самое простейшее, второе уравнение системы и получим для участка нечувствительности релейной характеристики уравнение фазовой траектории. С этой целью проводится подстановка y1 = y ; y2 = dy / dt и дифференциальное уравнение второго порядка сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка dy1 = y2;

dt dy = - y2.

dt T Поделив второе уравнение на первое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий dy2 1 = -, решение которого дает y2 = - y1 + C1, dy1 T0 T где C1 – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями.

Таким образом, фазовые траектории на участке -C < y < C представляют собой прямые линии (рис.

11.7). Движение по фазовым траекториям происходит в верхней полуплоскости, где y2 > 0, слева направо, а в нижней полуплоскости, где y2 < 0, – справа налево.

Рис. 11.7 Фазовый портрет для системы автоматического управления с релейной характеристикой – двухпозиционное реле с зоной нечувствительности По первому уравнению нелинейной системы можно построить фазовый портрет правее линии II - II. Для этого аналогичным образом получаем уравнение фазовых траекторий dyT0 y2 = -kB - y2, dyоткуда y2dydy1 = -T0.

y2 + kB Интегрирование последнего выражения, переписанного в виде kB dyy1 = T0 - T0 2 + C2, dy y2 + kB дает фазовые траектории в виде логарифмических кривых y1 = T0(kB ln y2 + kB - y2)+ C2, которые изображены на рис. 11.7 правее линии II - II, где y1 > C.

Третье уравнение нелинейной системы позволяет записать уравнение фазовых траекторий левее линии I - I. Это уравнение, полученное таким же образом, как и предыдущее, записывается в виде dy2 y2dyT0 y2 = -kB + y2, откуда dy1 = -T0 и, соответственно, dy1 y1 - kB y1 = -T0(kB ln y2 - kB + y2)- C3.

Фазовые траектории на участке левее линии I - I, где y1 < C, представляют собой логарифмические кривые (рис. 11.7).

Таким образом, фазовые траектории получены для трех различных участков, которые необходимо связать между собой, но метод непосредственного интегрирования уравнения фазовых траекторий без дополнительных предложений этого сделать не позволяет, но тем не менее он дает полное представление о характере фазового портрета за исключением линий I - I и II - II.

11.3.2 МЕТОД ИЗОКЛИН Метод изоклин имеет невысокую точность и используется для качественной оценки хода фазовых траекторий.

Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.

Методика построения фазового портрета методом изоклин складывается из следующих этапов:

1 Построение изоклин;

2 Нанесение направления касательных к фазовым траекториям;

3 Определение характера искомого фазового портрета.

При использовании метода изоклин считается известным система дифференциальных уравнений (11.2), описывающая исследуемую систему, для которой предстоит построить фазовый портрет. Следоdy2 f2(y1, y2 ) вательно, известно уравнение фазовых траекторий (11.3) =. Для получения изоклин необdy1 f1(y1, y2 ) ходимо положить dy2 f2(y1, y2) = const, т.е. = const. (11.4) dy1 f1(y1, y2) Задавая различные значения константы – (C) в (11.4), на фазовой плоскости строится семейство изоклин, на которых под углом = arctgC к оси абсцисс наносятся стрелки и по ним определяется характер фазового портрета системы.

Допустим, что поле изоклин имеет вид, представленный на рис. 11.8. Начальное положение изображающей точки выбирается произвольно на изоклине C1 = 0. Из этой точки M0 проводится два отрезка: один под углом 1 = arctgC1, а другой под углом 2 = arctgC2 до пересечения их с соседней изоклиной C2.

Точки пересечения отрезков с изоклиной обозначаются M1 и M1, соответственно. За точку фазовой траектории принимается точка M1, yC = y M M' M M" MC1 = Рис. 11.8 Построение фазового портрета методом изоклин лежащая между ними. Повторяя построения таким же образом, но из точки M1, т.е. проводя два отрезка до соседней изоклины под углом 2 = arctgC2 и 3 = arctgC3, находится точка M и т.д. Точность фазового портрета зависит от числа изоклин, по которым он строится. Особым точкам на фазовой плоскости соответствуют точки пересечения нескольких изоклин, так как в них направление фазовых траекторий становится неопределенным.

Пример 11.2 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом изоклин. Система описывается нелинейным дифференциальным уравнением d y - k(1 - y2)dy + y = 0.

dt dt Производя замену y1(t) = y(t), y2(t) = dy / dt, дифференциальное уравнение второго порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка dy1 = y2;

dt dy1 = k(1 - y1)2 y2 - y1.

dt Уравнение фазовой траектории получается, если поделить второе уравнение на первое dy2 y= k(1 - y1)2 y2 -, dy1 yа уравнение изоклин yk(1- y1) = C.

yЗадавая различные значения С (С0 = 0; С1 = 0,25; С2 = 0,5; С3 = 1; С4 = 2; С5 = 5; С = -0,25; С = -0,5;

-1 -С = -1; С = -2; С = -5), для каждого из них по уравнению на фазовой плоскости строится изоклина -3 -4 -(на рис. 11.9 сплошные кривые).

Затем на каждой кривой наносятся стрелочки под углами = arctg C ( = 0o; 4o; 26,5o; 45o;

64o; 89o) к оси абсцисс.

По этим стрелочкам восстанавливаются искомые фазовые траектории. В данном случае получается устойчивый предельный цикл, что соответствует автоколебаниям в системе. Другие фазовые траектории носят спиралевидный характер и "наматываются" на предельный цикл как снаружи, так и изнутри.

Особая точка – начало координат является устойчивым фокусом.

y2 – 0,+ 0,– – + 0,– + + y+ + – + 0,– + 0,– – 0,Рис. 11.9 Фазовый портрет нелинейной системы 11.3.3 МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочнолинейной статической характеристикой.

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.