WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 32 |

а – статическая характеристика; б – входной сигнал; в – прохождение гармонического сигнала; г – механическая модель При подаче на вход гармонического сигнала x(t) (рис. 10.8, б) на выходе нелинейного элемента будет наблюдаться некоторый периодический процесс, представленный на рис. 10.8, в, для которого характерным является появление участков "зависания" yнэ, т.е. на них изменения yнэ не происходит за счет наличия сухого трения в золотнике. Однако, выходной сигнал yнэ не задерживается в зоне покоя в области нулевых значений. Это означает также, что пока входная координата не изменится настолько, чтобы она превысила значение 2a, выходная переменная не будет изменяться. Поэтому при изменении направления действия выходная переменная начнет изменяться лишь тогда, когда значение входной переменной изменится на величину, равную удвоенному параметру a (параметр a характеризует, например, сухое трение).

6 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и зоной возврата. Нелинейности такого типа часто встречаются в системах автоматического регулирования, особенно, когда элементом, управляющим включением и выключением вспомогательной энергии, является электрическое реле, например, электрический сервомотор, управляемый с помощью реле.

Статическая характеристика представляет собой релейную характеристику, отличительной особенностью которой является то, что выходная переменная изменяется скачком в зависимости от изменения входного сигнала и может принимать одно из трех значений: B, 0, - B. Эта характеристика изображена на рис. 10.9, а и является ярким примером существенно нелинейной функции. Здесь можно выделить три типичные зоны нелинейности: зону нечувствительности, участки неоднозначности и участки насыщения.

Зона нечувствительности определяется величиной тока срабатывания реле. Участки неоднозначности представляют петли, образуемые вертикальными и горизонтальными участками характеристики, а участки насыщения определяются релейным характером включения энергии.

Математическая запись статической характеристики трехпозиционного реле с зоной нечувствительности выглядит следующим образом:

B, 0, - B. (10.7) В этом случае переход от yнэ = 0 к yнэ = B происходит при x = a, а возврат – при x = b.

Подобная статическая характеристика может быть получена при охвате усилителя с зоной нечувствительности и ограничением положительной обратной связью. Для ее получения может быть применена электрическая схема (рис. 10.9, г), состоящая из двух электромагнитных реле K1 и K2, включенных через вентили WS1 и WS2. Контакты yнэ yнэ а) в) B B b а - b - а а b x - а t - B - b - B б) г) K x + yнэ KKWS1 WSx B KK1 KK t _ KРис. 10.9 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности:

а – статическая характеристика; б – входной сигнал; в – прохождение гармонического сигнала; г – электрическая схема реле K1 и K2 замыкают цепь между источником питания и напряжением B выходными зажимами так, что в зависимости от значения x напряжение z на зажимах принимает значение -B, 0, B в соответствии с характеристикой (рис. 10.9, а).

При подаче на вход рассматриваемого нелинейного элемента гармонического сигнала (рис. 10.9, б) на выходе наблюдается периодический процесс, представляющий собой чередование участков нечувствительности и прямоугольных импульсов амплитудой B или -B. Переключение реле с B на -B и наоборот с -B на B происходит с некоторым запаздыванием в силу разных значений токов срабатывания и отпусканием реле.

10.3 Методы линеаризации Особенности поведения нелинейных систем и многообразия протекающих в них процессов создают трудности при их математическом описании и исследовании. Во многих случаях представляется возможным и целесообразным заменить реальные нелинейные характеристики приближенными линейными зависимостями, т.е. исходная нелинейная система будет заменена некоторой линеаризованной системой. В зависимости от типа нелинейностей применяют различные методы линеаризации. Наиболее распространенными являются: для слабых нелинейностей – разложение в ряд Тейлора, для сильных нелинейностей – гармоническая линеаризация, для релейных систем – вибрационная линеаризация.

10.3.1 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ТЕЙЛОРА Основным методом линеаризации нелинейных зависимостей является метод перехода к малым возмущениям и метод осреднения нелинейных характеристик.

Если статическая характеристика нелинейного элемента yнэ = f (x) является непрерывной функцией с непрерывными производными в некоторой области значений x, то эта характеристика всегда может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности любой точки x0, принадлежащей этой области:

f (x0) f (x0) yнэ = f (x) = f (x0) + x + (x)2 + L.

1! 2! Смысл линеаризации заключается в том, что при достаточно малых значениях x = x - x0 можно положить, что f (x) f (x0 ) + f (x0 )x.

Если обозначить y = f (x) - f (x0), то получают линеаризованную статическую характеристику в отклонениях (рис. 10.10) y = ax, (10.8, а) где a = f (x0 ), или yнэ ax + b, (10.8, б) где b = f (x0) - f (x0)x0.

yнэ y10.3.2 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ B yВ теории управления в большинстве случаев приходит x ся иметь дело с неаналитическими, разрывными и неоднозначными нелинейностями. Для характеристики особенно- B стей подобных нелинейных элементов, как уже отмечалось выше, рассматривается прохождение через них гармоничеРис. 10.11 Гармоническая лиского сигнала x(t) = Asin t. Если система изменяет частоту неаризация входных колебаний, то она называется частотопреобразующей, если нет – нечастотопреобразующей. Далее рассматриваются нечастотопреобразующие системы. На выходе безынерционного нелинейного нечастотопреобразующего элемента со статической характеристикой yнэ = f (x) установятся периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических составляющих с помощью ряда Фурье (рис. 10.11), в состав которого входят гармоники y1(t) = C1 sin(0t + 1) ;

y3(t) = C3 sin(30t + 3) и т.д.

Частота 0 называется главной частотой. Если на выходе нелинейного элемента рассматривать только первую гармонику, а остальные во внимание не принимать, то получим некоторый линеаризованный элемент. Такую процедуру можно проделать, если будет выполняться гипотеза фильтра.

Выходной сигнал после нелинейного элемента записывается следующим образом:

yнэ (t) = a0 + sin kt + bk coskt), (ak k =Tгде a0 = f (Asin t)d(t) ;

T0 Tak = f (Asin t) sin kt d(t) ;

T0 Tbk = f (Asin t) cos kt d(t).

T0 Согласно гипотезе фильтра все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду по сравнению с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний на выходе запишется в виде yнэ (t) a0 + a1 sin t + b1 cost (10.9) или yнэ (t) C1 sin(t + ) + a0, b2 где C1 = a1 + b1 ; = arctg.

aЕсли принимать a0 = 0, то yнэ (t) C1 sin(t + ). (10.10) Таким образом, на вход подали гармонический сигнал и на выходе получили также гармонический сигнал (10.10). Следовательно, в рассмотрение можно ввести частотные характеристики, аналогичные частотным характеристикам линейной системы:

– амлитудно-частотная характеристика C Mнэ (, A) = ; (10.11) A – фазочастотная характеристика нэ (, A) = вых (, A) - вых () ; (10.12) – амплитудно-фазовая характеристика Wнэ(i, A) = Mнэ(, A)eiнэ (,A). (10.13) Так как характеристики (10.11) – (10.13) были получены для линеаризованной системы, то они получили название эквивалентных.

На практике широкое распространение получили обратные частотные характеристики:

– обратная АФХ:

обр Wобр (i, A) = = Mобр (, A)ei (,A) ; (10.14) Wнэ(i, A) – обратная АЧХ:

Mобр (, A) = ; (10.15) Mнэ (, A) – обратная ФЧХ:

обр (, A) = -нэ (, A). (10.16) Рассмотрим несколько примеров.

Пример 10.1 Построить эквивалентные частотные характеристики для нелинейного элемента – двухпозиционного реле (рис. 10.6, а).

Так как характеристика однозначна, то коэффициент b1 = 0, а коэффициент a1 определится следующим образом, период T0 = 2.

1 B a1 = sin td(t) =.

B A A Следовательно, – эквивалентная амплитудно-частотная характеристика (рис. 10.12, а) B Mнэ(A) = ;

A – эквивалентная фазочастотная характеристика (рис. 10.12, б) нэ (A) = 0 ;

– эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика (рис. 10.12, в) B Wнэ(iA) = ;

A а) Mнэ б) нэ A A i Im(A) в) i Imобр(A) г) A = A = 0 A = A = Re(A) Reобр(A) Рис. 10.12 Эквивалентные частотные характеристики двухпозиционного реле:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ; г – инверсная АФХ – инверсная амплитудно-фазовая характеристика (рис. 10.12, г) A Wобр (iA) =.

B В результате гармонической линеаризации двухпозиционное реле заменяется линейной статической системой.

Пример 10.2 Построить эквивалентные частотные характеристики для двухпозиционного реле с зоной нечувствительности (рис. 10.13, а). Так как характеристика однозначна, то b1 = 0, / 4 4B a1 = B sin td(t) = cos, A A где = arcsina / A (рис. 10.13, б).

yнэ yнэ а) б) x B B yнэ - а а x t - B - B Рис. 10.13 Гармоническая линеаризация двухпозиционного реле с зоной нечувствительности:

а – статическая характеристика; б – входной и выходной сигнал нэ а) б) Mнэ B A/a A/a iIm(A/a) в) iImобр(A/a) г) A = a I/B B A = Reобр(A/a) Re(A/a) A = a A Рис. 10.14 Эквивалентные частотные характеристики двухпозиционного реле с зоной нечувствительности:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ; г – инверсная АФХ Согласно определению эквивалентных частотных характеристик имеем:

– эквивалентная амплитудно-частотная характеристика 4B Mнэ(A) = cos, A которую обычно записывают как функцию не амплитуды входного сигнала, а отношения (A/ a), что соответствует измерению A в единицах a, и, следовательно, 4a Mнэ(A/ a) = 1- (a / A)2 ;

A – эквивалентная фазочастотная характеристика нэ (A/ a) = 0.

Графики эквивалентных частотных характеристик изображены на рис. 10.14.

10.3.3 ВИБРАЦИОННАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ Для линеаризации релейных элементов часто применяют вибрационную линеаризацию путем создания высокочастотных колебаний на их входе. В этом случае релейный элемент линеаризуется, и поэтому вся система в целом ведет себя как система непрерывного действия.

Эффект вибрационной линеаризации может быть описан с помощью метода гармонической линеаризации. Сущность вибрационной линеаризации применительно к двухпозиционному реле может быть проиллюстрирована следующим образом. Если на вход двухпозиционного реле подать чисто переменный сигнал x(t) = Asin t, то на выходе получается также чисто переменный сигнал yнэ(t) в виде прямоугольной волны (рис. 10.15). Если же на вход подать сумму сигналов: переменного и постоянного значения, т.е. x(t) = x0 + Asin t, где x0 – const, то на выходе вследствие изменения скважности выходных импульсов в выходном сигнале появится постоянная составляющая y0, величина которой зависит от величины x0 на входе реле (рис. 10.15). Зависимость постоянной составляющей y0 на выходе реле от величины постоянной составляющей x0 на его входе показана на рис. 10.15, г.

Форма этой зависимости определяется формой входного переменного сигнала и релейной характеристикой. Таким образом, постоянную составляющую входного сигнала релейный элемент пропускает как звено непрерывного действия. При этом для малых величин постоянного сигнала звено является линейным.

Высокочастотные воздействия, осуществляющие вибрационную линеаризацию, могут быть получены тремя способами: с помощью генератора, создающего вынужденные колебания системы, путем автоколебаний в самой САУ и путем создания скользящего режима.

y а) yнэ в) yнэ B B y x t - B - B б) y г) x xmax x x t Рис. 10.15 Эффект вибрационной линеаризации:

а – статическая характеристика; б – входные сигналы; в – выходные сигналы;

г – зависимость постоянной составляющей на выходе от постоянной составляющей на входе 10.4 Тренировочные задания 1 Система автоматического управления называется нелинейной, если она не подчиняется принципу суперпозиции. Различают два вида нелинейностей: статические – это нелинейности статических характеристик и динамические – это нелинейности дифференциальных уравнений. Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная переменная зависит только от входной переменной, причем эта зависимость строго однозначна: yнэ = f (x). Такие нелинейности называются типовыми.

А Как доказать, что система относится к классу нелинейных систем автоматического управления B Что представляют собой статические нелинейности и динамические нелинейности С Приведите пример типовых нелинейных элементов.

2 Как известно, особенности нелинейных систем вытекают из неподчинения принципу суперпозиции, основными из которых являются следующие: выходной сигнал в нелинейных системах отличается от входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте; частотные характеристики зависят от амплитуды входного сигнала; условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия; в системе существуют собственные особые движения, называемые автоколебаниями.

А Почему частотные характеристики нелинейных систем зависят от амплитуды входного сигнала В Сколько состояний равновесия имеет нелинейная система С Что такое автоколебания 3 При исследовании нелинейных систем очень часто их нелинейные характеристики заменяют приближенными линейными зависимостями, в этом случае говорят, что проводят линеаризацию нелинейной системы. Полученная система называется линеаризованной. Наиболее распространенными методами линеаризации являются: для слабых нелинейностей – разложение в ряд Тейлора, для сильных нелинейностей – гармоническая линеаризация, для релейных систем – вибрационная линеаризация.

А Что означает слабая нелинейность и почему для нее используется разложение в ряд Тейлора В Каким требованиям должна отвечать нелинейная система, чтобы к ней можно было применять гармоническую линеаризацию С Какие характеристики нелинейных систем вводятся в рассмотрение в результате проведения гармонической линеаризации 11 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ При исследованиях нелинейных систем широко используется метод фазового пространства, относящийся к группе графоаналитических методов, описывающих поведение систем при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов. Применительно к линейным системам этот метод рассмотрен в разделе 6.3.

11.1 Основные понятия Основным понятием метода является понятие фазового пространства, под которым понимается пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.