WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 32 |

Динамические нелинейности – это нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих звено, например, ( y (t))2 = kx(t).

В наиболее распространенных случаях нелинейные свойства системы в основном определяются наличием в системе статических нелинейностей. Поэтому рассматриваемый класс нелинейных систем ограничим нелинейностями только статического вида.

а) x y нелинейный элемент б) в) г) y y y b x x x - b д) е) ж) y y y b b f- a a x x - a a x f- c - b Рис. 10.1 Статические характеристики нелинейных элементов:

а – структурная схема нелинейного элемента; б, в – непрерывные однозначные статические характеристики; г – релейная однозначная характеристика; д, е – гистерезисные статические характеристики;

ж – опережающая статическая характеристика 10.1 Особенности нелинейных систем Различают статические нелинейности существенные и слабые. Нелинейность считается слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы, причем процессы в такой линеаризованной системе качественно не должны отличаться от процессов в реальной системе. Нелинейность является существенной, если подобная замена невозможна. В этом случае нелинейные статические характеристики являются разрывными или близкими к разрывным функциями, чаще всего они представляются в виде кусочно-линейных функций, и процессы в линеаризованной и реальной системах сильно отличаются.

Автоматические системы с существенными нелинейностями обладают рядом принципиальных особенностей, которые не присущи линейным системам и не могут быть выявлены при исследовании линеаризованного уравнения системы. Главные особенности этих систем вытекают из их неподчинения принципу суперпозиции:

1 Колебания переходного процесса в нелинейных системах могут отличаться от входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте. Например, для нелинейного элемента со статической характеристикой yнэ(x) =| x | при подаче на него входного сигнала x(t) = Asin t выходные колебания не являются гармоническими, они имеют совершенно другую форму и период вдвое меньший, чем период входных колебаний (рис. 10.2).

В линейных же системах при подаче на вход гармонического сигнала на выходе получаем также гармонический сигнал, но другой амплитуды и сдвинутый по фазе.

2 Как известно, в линейных системах частотные характеристики не зависят от амплитуды входного сигнала и полностью определяются свойствами системы.

y(t) а) б) yнэ yнэ x t 0,5 T x(t) x T Рис. 10.2 Иллюстрация отличия вынужденных колебаний нелинейного элемента от входного гармонического сигнала:

а – статическая характеристика; б – выходной сигнал нелинейного элемента x2(t) а) б) yнэ B - B B x t x1(t) yнэ(t) - B Рис. 10.3 Зависимость частотных характеристик от амплитуды входного сигнала:

а – статическая характеристика; б – вынужденные колебания нелинейного элемента В нелинейных системах такой аппарат частотных характеристик не подходит. Здесь частотные характеристики существенно зависят от амплитуды входного сигнала, т.е. Mнэ(, A), нэ(, A). Если рассмотреть нелинейный элемент со статической характеристикой, представленной на рис. 10.3, а, то этот элемент при малых амплитудах входного сигнала (A B) ведет себя как линейный, а при больших амплитудах входного сигнала (A > B) выходные колебания искажаются (рис. 10.3, б).

3 В нелинейных системах условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия: система устойчива при одних значениях воздействий и неустойчива при других его значениях. Здесь нельзя говорить однозначно, устойчива система или нет.

Линейная система, например, ay (t) + y(t) = 0, имеет одно единственное состояние равновесия (y(t) = 0). Нелинейная система, описываемая в общем виде уравнением y(n) (t) = F( y(n-1) (t), K, y (t), y(t)) в динамике, имеет много состояний равновесия, определяемых нелинейным уравнением F(0,0, K, y) = 0.

Для некоторых нелинейных систем, имеющих зону нечувствительности, наблюдается континиум состояний равновесия. Таким образом, в нелинейных системах говорят только об устойчивости конкретного состояния равновесия – устойчиво оно или нет. Весь строй мышления меняется, так как при одних внешних воздействиях переходной процесс сходится, а при других расходится. В связи с этим для нелинейных систем применяют понятие "устойчивость в малом", "устойчивость в большом", "устойчивость в целом".

Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальных отклонениях. Система устойчива в большом, если она устойчива при больших начальных отклонениях. Система устойчива в целом, если она устойчива при любых начальных отклонениях.

4 В нелинейных системах могут существовать собственные особые движения, получившие название автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы при особых условиях. Режим автоколебаний принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе малейшие изменения ее параметров приводят к изменению колебательного процесса, он становится либо сходящимся, либо расходящимся. Автоколебания являются устойчивым режимом, если малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Автоколебания могут быть и не устойчивым режимом, если малые изменения параметров системы выведут ее из этого режима. Амплитуда колебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

В общем случае автоколебания в нелинейных системах нежелательны, а иногда и недопустимы.

Однако, следует отметить, что в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом.

10.2 Типовые нелинейные элементы системы управления Структура и уравнение нелинейной автоматической системы в общем случае могут быть очень сложными. Степень сложности зависит от количества, вида и места включения нелинейных элементов. Однако, большинство реальных систем содержит один существенно нелинейный элемент. Линейная часть включает в себя все линейные звенья системы и может иметь структуру любой сложности, в частности, содержит внутренние обратные связи. Как уже отмечалось выше, нелинейные свойства системы определяются наличием в ней статических нелинейностей, т.е. нелинейная часть, образованная одним нелинейным элементом, имеет выходную переменную yнэ, которая в наиболее общем случае выражается как функция входной величины x и ее производной x :

yнэ = f (x, x ). (10.1) Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная переменная зависит только от входной переменной, причем, эта зависимость строго однозначна:

yнэ = f (x). Такие нелинейности называются типовыми, для них записывается статическая характеристика и рассматривается преобразование ими гармонического сигнала x(t) = Asin t. Наиболее часто встречаются следующие типовые нелинейности.

1 Усилительное звено с зоной нечувствительности. Статическая характеристика этого звена представлена на рис. 10.4, а. Такими характеристиками обладают некоторые схемы электронных, магнитных и yнэ б) а) yнэ x2(t) a yнэ(t) - a a t x 45° - a в) г) x yнэ x x x t Рис. 10.4 Звено с зоной нечувствительности:

а – статическая характеристика; б – прохождение гармонического сигнала;

в – входной сигнал; г – механическая модель гидравлических усилителей в области малых входных сигналов. Простейшей механической моделью зоны нечувствительности является система соединения двух валов с пружинным возвратом ведомого вала в нейтральное положение при наличии участка свободного хода в системе передачи (рис. 10.4, г).

Статическая характеристика звена (рис. 10.4, а) выражается следующими уравнениями x + a при x < -a;

yнэ = при | x | a; (10.2) x - a при x > a.

При подаче на вход звена гармонического сигнала x1(t) (рис. 10.4, в) с амплитудой A a, на выходе звена сигнала не будет, так как изменение x1 не превышает величины зоны нечувствительности. Если же на вход подать сигнал x2(t) (рис. 10.4, в) с амплитудой A > a, то на выходе будет наблюдаться периодический сигнал (рис. 10.4, б), который может быть построен по рис. 10.4, а, в, как третья проекция. Если x2(t) a, то yнэ(t) 0, если x2 (t) > a, то выходной сигнал yнэ (t) совпадает с верхней частью входного сигнала x2(t). В результате на выходе усилительного звена с зоной нечувствительности будет выходной сигнал, отличный от гармонического по форме и представляющий собой участки с нулевым сигналом и сигналом, отличным от нуля.

2 Усилительное звено с ограничением амплитуды. Это звено называют также нелинейным звеном с зоной насыщения. Статическая характеристика изображена на рис. 10.5, а и записывается в виде x при | x | a;

yнэ =. (10.3) a signx при | x |> a.

Подобными характеристиками обладают практически все реальные усилители, ограниченные по мощности в области больших входных сигналов.

Механической моделью звена является система соединения двух валов через упругую пружину при наличии ограничений или упоров в системе ведомого вала (рис. 10.5, г).

При подаче на вход звена гармонического сигнала x1(t) с амплитудой A < a (меньше зоны насыщения) (рис. 10.5, в) на выходе звена будет также гармонический сигнал, так как в этом случае звено работает как линейное (рис. 10.5, б). Если амплитуда входного сигнала x2(t) больше, чем зона насыщения (A > a), то при достижении ее, т.е. как yнэ yнэ а) б) yнэ x a a x1(t) = yнэ(t) - a a x t - a - a x2(t) г) в) x1 x x yнэ x t Рис. 10.5 Усилительное звено с ограничением амплитуды:

а – статическая характеристика; б – прохождение гармонического сигнала;

в – входной сигнал; г – механическая модель только x2 (t) = a, на выходе звена установится значение yнэ (t) = a и будет сохраняться до тех пор, пока x2(t) > a. Если же значение входного сигнала достигнет значения x2(t) = -a, то на выходе значение выходного сигнала установится равным -a, yнэ = -a и будет сохраняться, пока x2(t) < -a в диапазоне -a x2 (t) a. Нелинейный элемент имеет статическую характеристику yнэ = x и, следовательно, в этом случае через него пройдут отдельные участки входного гармонического сигнала. В результате на выходе усилительного звена с зоной насыщения установится периодический выходной сигнал по форме напоминающий трапеции, боковые стороны которых искривлены по синусоиде.

3 Двухпозиционное реле. Статическая характеристика звена представлена на рис. 10.6, а и записывается как B при x > yнэ =. (10.4) - B, при x < Двухпозиционное реле представляет собой самостоятельный нелинейный физически реализуемый элемент, который используется в различных схемах сигнализации, а также для устройств специального типа, применяемых для форсирования управляющего сигнала при больших рассогласованиях между переменной и заданием.

При подаче на вход звена гармонического сигнала x(t) (рис. 10.6, в) на его выходе установятся прямоугольные колебания, амплитуда которых будет B при x > 0 и -B при x < 0.

Вынужденные колебания на выходе двухпозиционного реле представлены на рис. 10.6, б.

yнэ а) x yнэ yнэ б) В В x - В t - В в) x Рис. 10.6 Двухпозиционное реле:

а – статическая характеристика; б – прохождение t гармонического сигнала; в – входной сигнал 4. Двухпозиционное реле с зоной возврата. Однозначные релейные характеристики соответствуют некоторой идеализации реальной системы. В действительности обычно величина входного сигнала, при котором происходит скачок выходной величины yнэ, бывает различной для переключения контакта в прямом и обратном направлениях. Статическая характеристика двухпозиционного реле с зоной возврата представлена на рис. 10.7, а и математически выражается следующим образом B при - a < x < ;

yнэ = (10.5) - B, при - < x < a.

На участке -a < x < a величина yнэ имеет два значения B или -B в зависимости от предшествующих значений x. Условия скачка при переходе с нижней ветви на верхнюю выражается следующим образом: x = a, yнэ = -B, dx / dt > 0. Аналогично записываются условия скачкообразного перехода с верхней ветви на нижнюю: x = -a, yнэ = B, dx / dt < 0.

При подаче на вход звена гармонического сигнала (рис. 10.7, в) на выходе звена наблюдаются прямоугольные колебания с амплитудой, равной B (рис. 10.7, б). Скачкообразный переход с +B на -B происходит в момент времени, когда x(t) = -a, а с -B на +B, когда x(t) = a. Свойствами подобного релейного элемента обладают усилители с зоной насыщения, охваченные положительной обратной связью. Такая нелинейная характеристика типична для двухпозиционных переключающих элементов, например, электромагнитных реле.

yнэ а) x(t) б) yнэ(t) В В а - а а x t - а - В - В в) x Рис. 10.7 Двухпозиционное реле с зоной возврата:

а – статическая характеристика; б – прохождение t гармонического сигнала; в – входной сигнал 5 Усилительное звено с зоной застоя (звено типа люфт). Нелинейность такого вида наиболее часто встречается в механических системах и связана с наличием зазоров или с сухим трением в системе передачи. Если в механической модели звена с зоной нечувствительности (рис. 10.8, г) убрать пружину, стремящуюся возвратить ведомый вал в нулевое положение, то получится модель нелинейности типа люфт (рис. 10.8, г). Зависимость между положением ведущего x и ведомого y валов неоднозначна.

нэ Статическая характеристика, выражающая эту зависимость, представлена на рис. 10.8, а.

Аналитически характеристика звена типа люфт записывается следующим образом:

x - a при dx > 0;

dt yнэ = x + a при dx < 0,. (10.6) dt dyнэ = 0 при | yнэ - x |< a.

dt В этом случае статическая характеристика имеет гистерезисный вид и зависит не только от значения x(t), но и от знака скорости изменения yнэ.

yнэ yнэ в) а) а - а 2 а t а x - а 2 а г) б) yнэ x t x Рис. 10.8 Звено типа люфт:

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.