WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 32 |

Прямые показатели качества удобно использовать в тех случаях, когда имеется график переходного процесса y(t), который может быть получен экспериментально в реальной системе регулирования или путем моделирования на ЭВМ. Если же такой возможности нет, т.е. не удается никаким образом получить кривую переходного процесса, то пользуются косвенными показателями качества, которые вычисляются без построения графика переходного процесса по коэффициентам урав-нений или по частотным характеристикам.

8.1.2 КОСВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА дин y дин y дин y y y y Основную группу среди косвенных показателей качества составляют корневые показатели качества регулирования, к которым относятся степень устойчивости и степень колебательности. Эти показатели уже были использованы для определения оценки запаса устойчивости (п. 7.3, где было дано их определение). С точки зрения качества регулирования можно сделать следующие выводы.

1 Степень устойчивости, определяемая по формуле (7.7), характеризует интенсивность затухания наиболее медленно затухающей неколебательной составляющей переходного процесса, которая определяется как yк(t) = Скe–t. Пусть рассматриваемая система описывается дифференциальным уравнением второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет два действительных различных корня s1 = – 1, s2 = – 2 и 1 < 2 (рис. 8.5, а). Последним соответствуют две элементарные составляющие свободного движения системы (рис. 8.5, б):

y1(t) = C1e-1t ; y2(t) = C2e-2t.

Как видно из графиков переходных процессов, чем меньше абсолютное значение корня характеристического уравнения, тем медленнее затухает соответствующая ему составляющая. Результирующий переходный процесс y(t) = yi (t). Его затухание определяется наиболее медленно затухающей состав ляющей, т.е. наименьшим по абсолютному значению корнем характеристического уравнения.

ЕСЛИ ЖЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ ИМЕЕТ КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРЯЖЕННЫЕ КОРНИ, ТО СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА YI(T) БУДЕТ ИМЕТЬ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР YI(T) = СIЕ–TCOST, И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ КОРНЯ, А ФАКТИЧЕСКИ СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ, ТАК КАК =, ХАРАКТЕРИЗУЕТ ОГИБАЮЩУЮ (РИС. 8.6).

а) б) y i t yi - e-= e-t Ci e- t s s –2 –1 1/ t РИС. 8.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВА МОНОТОННЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ:

А – РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;

Б – СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА y а) б) i yyi C1 = e-t cos(1t) Ci t y= e-t cos(2t) CРис. 8.6 Определение качества колебательных переходных процессов по степени устойчивости:

А – РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;

Б – ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Как видно из рис. 8.6, два колебательных переходных процесса разной частоты имеют одинаковые огибающие, т.е. yогиб = e–t. Но при одинаковой степени устойчивости качество этих переходных процессов существенно отличается друг от друга. Следовательно, знания степени устойчивости для оценки качества колебательных переходных процессов недостаточно.

Степень устойчивости может быть использована для оценки времени регулирования монотонных y переходных процессов. Касательная к = e–t в точке t = 0 отсекает на оси абсцисс отрезок (рис.

C 8.5, б). Время регулирования в этом случае определяется как Tp <. (8.3) Если требуется уменьшить время регулирования, то, как следует из (8.3), степень устойчивости надо увеличивать. При оценке времени регулирования частота не учитывается.

2 Степень колебательности так же, как и степень устойчивости, используется и для оценки запаса устойчивости и для оценки качества регулирования. Степень колебательности, определяемая в соответствии с (7.8), характеризует затухание наиболее медленно затухающей составляющей, которая определяется как y(t) = Ae–mtsint, откуда следует, что изменение частоты влечет и изменение амплитуды колебаний.

Степень колебательности однозначно связана со степенью затухания. Действительно, в момент Ae-mtвремени t0 амплитуда свободной составляющей определяется как у1=, а в момент времени t0 + Ae-m(t0 +T ) Т, т.е. через период, y3 =. В этом случае степень затухания, согласно (8.2), запишется:

Ae-mt0 - Ae-m(t0+T ) = = 1- e-mT, Ae-mtтак как T =, то = 1 – e–2m. (8.4) Степень затухания изменяется от 0 до 1, а степень колебательности – от 0 до. Наиболее часто используются следующие их значения: m = 0,141 ( = 0,61); m = 0,221 ( = 0,75); m = 0,366 ( = 0,9); m = 0,478 ( = 0,95).

3 Оценка статической ошибки может быть получена по предельной теореме:

ycт = lim y(t) = lim Wз.с X (s)s, (8.5) t sгде Wз.с(s) – передаточная функция замкнутой системы по каналу ошибки; X(s) – изображение задающеC го воздействия, в большинстве случаев x(t) = С = const и тогда X(s) =. С учетом вышесказанного s yст = limWз.с (s)С.

sНапример, для систем с интегральным регулятором статическая ошибка отсутствует 1 s yст = lim С = lim С = 0, s0 ss + S0Wоб (s) 1+ S0 Wоб (s) s А ДЛЯ СИСТЕМ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ РАВНА yст = lim.

1+ S0Wоб (s) С s C Если в Wоб(s) коэффициент передачи равен k, то yст =.

1+ S1k Из последнего соотношения видно, что в системах с П-регулятором статическая ошибка уменьшается с увеличением значения параметра настройки регулятора. В реальных системах берется максимально возможное значение S1, исходя из обеспечения запаса устойчивости.

В заключение следует заметить, что динамическая ошибка корневыми методами не оценивается.

8.1.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА Интегральные критерии качества представляют собой определенные интегралы по времени в пределах от 0 до от некоторой функции переходного процесса y(t) или ошибки (t) и вычисляются непосредственно, либо по переходным функциям системы, или по коэффициентам передаточной функции системы. Целью использования этих критериев является получение общей оценки быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения. К интегральным критериям качества предъявляются два требования: а) простота вычисления интеграла; б) несложность выражения через коэффициенты дифференциального уравнения.

8.1.3.1 Линейный интегральный критерий J = y(t)dt (8.6) л служит для оценки качества неколебательных процессов. Геометрически этот критерий характеризует площадь, заключенную между кривой переходного процесса и осью абсцисс (рис. 8.7, а), он учитывает как время регулирования, так и величину динамических отклонений. Если неизвестна кривая переходного процесса, но известна передаточная функция замкнутой системы Wз.с(s) и входная переменная x(t) = 1(t), то значение линейного интегрального критерия определяется с использованием теоремы о конечном значении функции. Действительно, формулу (8.6) можно записать иначе:

t Jл = y()d lim t и тогда y(s) Jл = lim s = lim Wз.с (s)x(s) = Wз.с (0) x(0).

s0 ss Линейный интегральный критерий качества можно вычислить и другими методами. Например, если даны дифференциальное уравнение и начальные условия:

an y(n)(t) + an – 1 y (n – 1)(t) + … + a0y(t) = 0, y(n – 1)(0), …, y(0), y(0), то, проинтегрировав его, получим an y(n)(t)dt + an-1 y(n-1) (t)dt +... + a0 y(t)dt = 0.

00 Для устойчивых систем y(i)() = 0 для i = 1, 2, …, n.

Тогда – any(n – 1)(0) – an – 1 y (n – 2)(0) – … – a0 Jл = 0, откуда an y(n-1)(0) + an-1y(n-2)(0) +... + a1y(0) Jл =, aа при нулевых начальных условиях a1y(0) Jл =.

aСуществуют модификации линейного интегрального критерия, которые применяются в тех случаях, когда начальный участок переходного процесса является менее ответственным, например, J = л ty(t)dt..

Выведем формулу, позволяющую вычислять такой критерий. Для этого продифференцируем по s функцию y(s) = y(t)e- st dt, осуществляющую преобразование по Лапласу функции y(t):

dy(s) -st = ty(t)e dt.

ds dy(s) Если перейти к пределу при s 0, то получим ds * Jл = lim(-1) y (s).

sСледует отметить, что для вычисления таких критериев не требуется знание переходного процесса.

Чем меньше значение линейного интегрального критерия, тем лучше качество процесса регулирования.

Однако использование данного типа критериев для знакопеременных переходных процессов не дает объективной картины, так, например, для незатухающей синусоиды Jл = 0. Поэтому для оценки качества регулирования таких процессов используют ин-тегральные оценки, знакопеременность подынтегральной функции которых устранена каким-либо способом.

s Пример 8.1 Требуется вычислить Jл* для системы с W (s) =.

(s +1)Р е ш е н и е. Найдем y(s).

y y y а) б) в) Jл = S 0 0 t t t Рис. 8.7 Интегральные оценки качества регулирования:

а линейная; б модульная; в квадратичная y(s) 1 W (s) Так как W (s) =, a x(s) =, y(s) = W (s)x(s) = =.

x(s) s s (s +1) 1 * Jл = lim = lim(-1) - 2 = 2.

s0 s(s +1)(s +1)8.1.3.2 Модульный интегральный критерий Jм = y(t)|dt (8.7) | применяется для оценки качества колебательных процессов, а для неколебательных процессов он совпадает с линейным интегральным критерием. Для его вычисления требуется знание переходного процесса. На практике этот критерий используется при численном исследовании систем на моделях с применением вычислительной техники, т.е. там, где операция взятия модуля не представляет трудности.

Геометрически критерий равен площади, заключенной между кривой y(t) и осью абсцисс (рис. 8.7, б).

В некоторых случаях используют модификацию модульного интегрального критерия:

J = t| y(t)|dt, м (8.8) которая придает больший вес значениям переходного процесса в его конце.

8.1.3.3 Интегральный квадратичный критерий Jкв = y2(t)dt (8.9) является наиболее распространенным критерием качества и представляет собой площадь под кривой y2(t) (рис. 8.7, в). Как видно из (8.9), разные по величине ординаты переходного процесса входят в критерий с разным весом, что приводит к тому, что начальный участок переходного процесса приобретает наибольшее значение, чем его "хвост", который практически не влияет на квадратичный критерий.

Стремясь минимизировать (8.9), фактически минимизируют наибольшие отклонения регулируемой величины, поэтому минимальные значения критерия всегда соответствуют колебательным процессам с малым затуханием. С целью устранения этого недостатка применяют улучшенную квадратичную оценку:

Jкв = (t) + Ty (t))dt, (8.10) (y которая, кроме самих отклонений, учитывает с весовым коэффициентом их производную. Весовой коэффициент выбирается равным желаемому времени нарастания или применяется в пределах Tр Tр Т, (8.11) 6 где Тр – желаемая длительность переходного процесса.

Квадратичный критерий, как и линейный, можно вычислить без построения переходного процесса по частотной характеристике замкнутой системы и преобразованию по Фурье от входного сигнала.

Используя формулу Релея, получают:

1 Jкв = y2(t) dt = y(t) y(i) eitd dt = y(i) y(t) eitdt d = 0 0 0 1 1 = y(i) y(-i) d = y(i)|2 d = W (i)|2 | x(i)|2 d.

| | 0 0 В заключение следует отметить, что абсолютные значения любой интегральной оценки сами по себе не представляют интереса. Они служат для сопоставления различных вариантов настройки одной и той же системы, а также для определения параметров настройки системы.

8.2 Частотные методы анализа качества регулирования В инженерной практике широко используются частотные методы исследования систем управления. В частности, группа методов, разработанная В. В. Солодовниковым, позволяет оценить качество ре- гулирования по вещественным частотным характеристикам, построить переходные процессы, а также синтезировать корректирующие устройства.

8.2.1 ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЕРЕХОДНОЙ И ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ДЛЯ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ НЕОБХОДИМО УСТАНОВИТЬ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕХОДНОЙ И ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ. В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАПИСЫВАЕТСЯ ЧЕРЕЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ:

y(i) = y(t) e-it dt (8.12, А) и через АФХ системы и изображение входной переменной по Фурье, с другой стороны y(i) = W(i) X(i). (8.12, б) Используя обратное преобразование Фурье и последние соотношения, переходный процесс (переходная характеристика) определяется следующим образом:

y(t) = y(i )ei t d = (i )X (i )ei td. (8.13) W - При воздействии на вход единичной ступенчатой функцией x(t) = 1(t), изображение которой x(i) = 1/(i), соотношение (8.13) для переходной функции запишется как 1 h(t) = y(t) = W (i) eitd.

2 i Представляя АФХ через действительную и мнимую часть W(i) = Re() + iIm() и разлагая eit по формуле Эйлера, выражение для переходной функции преобразуется к более удобному виду с использованием ВЧХ – Re():

2 sin t h(t) = Re( ) d. (8.14) ИЛИ МЧХ – IM():

2 cos t h(t) = (8.15) Im( ) d + Re(0).

На практике используется формула (8.14), в которой ВЧХ представляет собой сложную функцию и интегрирование возможно только приближенно: численными методами с применением ЭВМ либо путем предварительной аппроксимации сложной характеристики Re() кусочно-линейными функциями суммой трапеций или суммой треугольников, что позволяет получить достаточно удобные выражения.

Если на систему действует произвольное возмущение, то переходный процесс определяется по обобщенным вещественной и мнимой характеристикам:

Reоб() = Re[W(i) X (i)], Imоб() = Im[W(i) X (i)], (8.16) при этом необходимо, чтобы полюсы функции W(s) X(s) располагались слева от мнимой оси.

8.2.2 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И СООТВЕТСТВУЮЩИХ ИМ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства ВЧХ и переходных процессов следуют из (8.14).

1 Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммой n Re( ) = ( ) (8.17, а) Re j j=И КАЖДОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СООТВЕТСТВУЕТ ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС 2 Rei ( ) yi(t) = sin( t) d, (8.17, б) то и переходный процесс у(t) может быть представлен суммой составляющих n y(t) = y (t). (8.17, в) j j=2 Соответствие масштабов по оси ординат для Rе() и у(t).

Если умножить Rе() на постоянный множитель, то соответствующее значение у(t) тоже умножается на этот множитель (рис. 8.8).

3 Соответствие масштабов по оси абсцисс для Rе() и у(t).

Если аргумент в соответствующем выражении частотной характеристики умножить на постоянное число, то аргумент в соответствующем выражении переходного процесса будет делиться на это число (рис. 8.9), т.е.

t 2 Re( ) (8.18) y = sin( t) d.

Re Re а) б) y(t) Re() y(t) Re() Im Im Рис. 8.8 Соответствие масштабов по оси ординат:

а – ВЧХ; б – переходные процессы Re Re а) б) y(t/) y(t) Re() Re() Im Im Рис. 8.9 Соответствие масштабов по оси абсцисс:

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.