WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 32 |

б – вычерчивание обратных изменений единицы масштаба Все эти характеристики могут быть получены из "первоначальной" путем изменения масштаба, причем удобнее не вычерчивать характеристику с новым масштабом, а изменять масштаб обратным изменением единицы масштаба. В этом случае достаточно вычерчивать одну АФХ раз и навсегда и уменьшать размер отрезка OА, равного единице, во столько же раз, во сколько увеличивается коэффициент усиления. При этом точка А будет перемещаться вправо (рис. 6.37, б). При малом значении коэффициента усиления k системы масштаб единицы ОА велик, и точка А находится в положении А1. В этом случае АФХ разомкнутой системы не охватывает точку А1, и, следовательно, замкнутая система устойчива. При увеличении коэффициента усиления k масштаб единицы уменьшается, критическая точка движется направо и при k = kпр занимает положение A2, система находится на границе устойчивости.

При k > kпр критическая точка продолжает перемещаться направо, занимает положение А3, и система становится неустойчивой.

Влияние коэффициента усиления на устойчивость, используя критерий Найквиста, можно проследить и для систем высокого порядка, в частности, с "клювообразными" характеристиками (рис. 6.38, а).

В этом случае при малом значении коэффициента усиления критическая точка находится в положении А1, и замкнутая система устойчива. Увеличение коэффициента усиления передвигает точку в положение А2, k = kпp1, и система выходит на границу устойчивости. Дальнейшее увеличение коэффициента усиления приводит систему к неустойчивости, так как критическая точка занимает положение А3 и охватывается АФХ. Положение А4, в котором k = kпp2, является границей устойчивости, а положение А5 критической точки устойчиво, так как не охватывается АФХ. Таким образом, можно сделать следующий вывод.

Система устойчива при малых значениях коэффициента усиления k < kпр1 и при достаточно больших k > kпр2, имеет две границы устойчивости при k = kпр1 и k = kпр2, неустойчива при kпр1 < k < kпр2.

Анализ амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, изображенной на рис. 6.38, б, показывает, что система имеет три предельных значения коэффициента усиления k1пр, k2пр, k3пр, соответствующие точкам А2, А4, А6 и границе устойчивости. При значениях коэффициента усиления k < kпр1, kпр2 < k < kпр3 система устойчива (точки А1, А5), а при значениях kпр1 < k < kпр2, k > kпр3 система неустойчива (точка А3, А7).

Im а) Im б) A2 A4 A2 A A5 A1 ARe A A3 A5 A6 A7 Re Рис. 6.38 АФХ системы высокого порядка:

а – "клювообразная" АФХ первого порядка; б – "клювообразная" АФХ второго порядка Im а) Im б) 0 W –Re –1 WRe WWWWРис. 6.39 АФХ простых систем:

а – АФХ систем первого порядка; б – АФХ систем второго порядка Применение критерия Найквиста к исследованию более простых систем - систем первого и второго порядка показывает, что если разомкнутая система является системой первого порядка без запаздывания, то как бы ни изменялись параметры системы, АФХ разомкнутой системы всегда будет располагаться в четвертом квадранте (рис. 6.39, а) и, следовательно, замкнутая система всегда будет устойчивой.

Для разомкнутых систем второго порядка АФХ располагается в нижней полуплоскости и, следовательно, как бы ни изменялись ее параметры, АФХ никогда не охватывает точку (–1, i0), и исследуемая замкнутая система всегда будет устойчивой.

Также с помощью критериев устойчивости Михайлова и Найквиста могут быть решены вопросы стабилизации системы. В частности, одним из способов стабилизации является введение гибкой отрицательной связи.

6.8.5 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ В инженерной практике иногда анализ устойчивости проводят по логарифмическим частотным характеристикам, построение которых проще, чем амплитудно-фазовой характеристики. Если проследить зависимость между поведением АФХ разомкнутой системы и логарифмической амплитудно-частотной и логарифмической фазочастотной характеристиками, то можно сформулировать критерий Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастот- Im ln A б) а) ln A > 0 ln A < Wc ln – 2 1 Re Wc ln – – + 1 2 Рис. 6.40 Частотные характеристики:

а – АФХ; б – логарифмические частотные характеристики ной характеристикой прямых ± (2j + 1), где j = 0, 1, 2,... во всех областях, где логарифмическая амплиm тудно-частотная характеристика положительна, была равна, где m – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 6.40 приведены АФХ разомкнутой системы и соответствующие ей ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Анализ частотных характеристик показывает, что разность между числом положительных и отрицательных переходов равна нулю, то есть замкнутая система будет устойчива только в том случае, если правые корни будут отсутствовать, т.е. разомкнутая система должна быть устойчивой.

6.9 Д-разбиение В п. 6.7 было рассмотрено построение областей устойчивости с использованием критерия Гурвица и в качестве примера построена гипербола Вышнеградского. На практике используются другие более общие методы исследования влияния различных параметров системы – на ее устойчивость, т.е.

разработаны следующие специальные методы построения областей устойчивости:

1) путем анализа перемещения корней характеристического уравнения в плоскости корней – метод корневого годографа;

2) путем анализа числа корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости, в пространстве параметров системы – метод Д-разбивания пространства параметров, который был предложен и разработан в 1948 г. Неймарком.

6.9.1 ПОНЯТИЕ Д-РАЗБИЕНИЯ Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-го порядка, которое всегда может быть приведено к виду:

D(s) = sn + a1 sn-1 +... + an = 0 (a0 = 1). (6.57) Представим себе координатное пространство, осями которого являются коэффициенты уравнения, оно получило название пространство коэффициентов. Каждой точке этого пространства соответствуют конкретные численные значения коэффициентов уравнения и соответствующий им полином n-й степени, который имеет n корней, зависящих от численных значений коэффициентов аi. Если изменять эти коэффициенты, то корни будут перемещаться в комплексной плоскости корней этого уравнения Рассмотрим уравнение третьего порядка D(s) = s3 + a1 s2 + а2 s + a3 = 0 (6.58) a i a2M б) а) M s2N S s2M N s1M s1N a2N a1N a1M a a3M s3M a3N s3N aРис. 6.41 Связь корней характеристического уравнения и пространства коэффициентов:

а – плоскость корней характеристического уравнения;

б – пространство параметров и соответствующее ему пространство коэффициентов а1, а2, а3 (рис. 6.41).

Каждой точке пространства соответствует вполне определенный полином и вполне определенные три корня.

Например, точка М имеет координаты {а1М, а2М, а3М}, и следовательно, характеристический полином записывается в виде D(s) = s3 + а1М s2 + а2М s2 + а3М и имеет корни S1М, S2М, S3М.

Когда один из корней равен 0 или +i, тогда точка пространства будет удовлетворять уравнению D(i) = (i)3 + а1(i)2 + а2(i) + а3 = 0.

При – < < этому уравнению соответствует некоторая поверхность Q.

Если корни мнимые, то точка в пространстве коэффициентов попадает на эту поверхность Q. При пересечении ее корни переходят из одной полуплоскости в другую.

Таким образом, поверхность Q разделяет все пространство на области с равным количеством правых и левых корней, их обозначают D(m), где m – число правых корней характеристического уравнения.

Разбиение пространства параметров на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой области и выделение среди полученных областей области устойчивости называется методом Дразбиения.

Для уравнения третьего порядка можно выделить 4 области D(3), D(2), D(1), D(0), последняя будет областью устойчивости.

Если изменяются не все коэффициенты, а часть из них, например, а1 и а2, при а3 = сonst, то вместо поверхности получим линию, которая является сечением поверхности Q и разделяет плоскость коэффициентов а1, а2 на области с одинаковым числом правых корней (рис. 6.42).

a a3 = const D(1) D(2) D(0) a D(1) Рис. 6.42 Граница Д-разбиения в плоскости коэффициентов Уравнение границы Д-разбиения получают из характеристического уравнения системы заменой s = i.

D(i) = (i)n + a1 (i)n-1 + … + an = 0. (6.59) Границу Д-разбиения можно строить не только в пространстве коэффициентов дифференциального уравнения, но и в пространстве параметров системы.

6.9.2 Д-РАЗБИЕНИЕ ПО ОДНОМУ ПАРАМЕТРУ Пусть требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра v, линейно входящего в характеристическое уравнение. Это уравнение можно привести к виду D(s) = M(s) + v N(s) = 0. (6.60) Граница Д-разбиения определится как D(i) = M(i) + v N(i) = 0, (6.61) откуда -M (i ) v = = X() + i Y(). (6.62) N(i ) Давая значения от – до, можно вычислить X() и Y() и построить границу Д-разбиения, границу строят только для > 0, а для < 0 получают зеркальным отображением (рис. 6.43).

Если в плоскости комплексных корней двигаться по мнимой оси при изменении от – до и штриховать ее слева, то в плоскости параметра v этому движению будет соответствовать движение по границе Д-разбиения, которую также штрихуют слева. Если же в плоскости v пересекать границу Дразбиения по направлению штриховки (1) (рис. 6.43), то этому соответствует переход корня из правой полуплоскости в левую, если же против штриховки – то корень переходит из левой полуплоскости в правую. Если штриховка двойная, то мнимую ось пересекают два корня.

y() i S > A = B x() – < Рис. 6.43 Д-разбиение по одному параметру Для определения области устойчивости достаточно знать распределение корней при каком-либо одном значении параметра v. Переходя в плоскости v от одного параметра к другому, по числу пересечений границы Д-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение D(m).

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая соответствует области с наибольшим числом левых корней. В выбранной области берется значе- ние параметра v и по любому из критериев система проверяется на устойчивость.

Так как v – вещественное число, то из полученной области выделяют только отрезок вещественной оси, лежащей в области устойчивости, например, отрезок AB.

6.9.3 Д-РАЗБИЕНИЕ ПО ДВУМ ПАРАМЕТРАМ На практике часто требуется выяснить влияние на устойчивость двух, а не одного параметра.

Характеристическое уравнение в этом случае приводится к виду:

D(s) = N(s) + M(s) + L(s) = 0, (6.63) подставляя s = i, получают уравнение для границы Д-разбиения D(i) = N(i) + M(i) + L(i) = 0. (6.64) Если обозначить N(i) = N1() + iN2();

(6.65) M (i) = M1() + iM ();

L(i) = L1() + iL2(), то уравнение для границы можно разбить на два:

N1 () + М1 () + L1 () = 0; (6.66) N2 () + М2 () + L2 () = 0.

Последняя система решается относительно параметров и :

= ; =, (6.67) N1() M1() - L1() M1() N1() - L1() где = ; 1 = ; 2 =.

N2() M2() - L2() M2() N2() - L2() Задавая различные значения частоты от - до, для каждого из ее значений по параметрическим уравнениям определяются величины и и строится граница Д-разбиения. При этом возможны следующие три случая.

1 При заданной частоте к определители 0; 1 0; 2 0 отличны от нуля. В этом случае система совместна, и уравнения (6.66) представляют собой прямые линии в плоскости - (рис. 6.44, а).

2 При некотором значении к = 0, а 1 0; 2 0. Тогда система (6.66) несовместна, конечных решений нет. Прямые 1 и 2 параллельны (рис. 6.44, б).

3 При некотором значении к все определители равны нулю, тогда и становятся неопределенными. Прямые 1 и 2 сливаются друг с другом, в этом случае получают не точку, а, так называемую, особую прямую (рис. 6.44, в), уравнение которой:

N1(к) + M1(к) + L1(к) = 0. (6.68) Особая прямая не относится к кривой Д-разбиения, так как всем ее точкам соответствует одно и то же значение частоты, и направление движения по ней установить невозможно.

а) б) в) 0 = 0 = 1 0 1 0 1 = 2 0 2 0 2 = 0 0 Рис. 6.44 Иллюстрация существования решения системы уравнений (6.66):

а - решение существует; б - конечных решений нет; в - решение неопределенно В основном особые прямые возникают при = 0 или =, это в том случае, когда аn = 0 либо а0 = 0, соответственно. Если а0 и аn не зависят от и, то особые прямые отсутствуют.

После построения границы Д-разбиения и особых прямых необходимо их заштриховать, пользуясь следующим правилом: при возрастании от - до граница Д-разбиения штрихуется слева, если > 0, и справа, если < 0.

Так как и являются четными функциями, то границы Д-разбиения для положительных и отрицательных частот совпадают, поэтому кривую Д-разбиения обходят дважды, и она всегда штрихуется двойной штриховкой.

Штриховка особых линий, как правило, одинарная и штрихуется так, чтобы в местах сопряжения с Д-границей заштрихованные и незаштрихованные стороны прямой и кривой были направлены друг к другу (рис. 6.45 а, б).

В тех случаях, когда особая прямая имеет место при некотором конечном значении частоты = к 0 и при этом проходит через нуль и меняет знак, особая прямая штрихуется согласно правилу, но двойной штриховкой (рис. 6.45, в). Если же не меняет знак, то особая прямая не штрихуется и из рассмотрения выбрасывается (рис. 6.45, г).

а) б) < = ± 0 в) г) < > к к < < 0 Рис. 6.45 Правило штриховки особой прямой при Д-разбиении по двум параметрам:

а, б - одинарная штриховка; в - двойная штриховка; г - не штрихуется После нанесения штриховки определяют область, претендующую на область устойчивости, т.е. область, внутрь которой направлена штриховка.

Пересечение границы Д-разбиения из заштрихованной зоны в незаштрихованную соответствует переходу двух комплексно-сопряжен-ных корней из левой полуплоскости корней в правую, и наоборот.

Пересечение особой прямой с одной штриховкой соответствует переходу одного корня.

6.10 Устойчивость систем с запаздыванием и систем с иррациональными звеньями Все реальные системы автоматического регулирования являются системами с запаздыванием. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейных систем с постоянным запаздыванием является расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.