WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 32 |

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурвица низшего порядка.

a1 a3 aa1 a1 = a1; 2 = ; 3 = a0 a2 a4 ; … (6.31) a0 a0 a1 aНомер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a0, т.е. при a0 > 0:

1 > 0; 2 > 0; 3 > 0; …; n > 0. (6.32) Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то получатся следующие условия устойчивости:

1) n = 1; a0 s + a1 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0.

2) n = 2; a0 s2 + a1 s + a0 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0.

3) n = 3; a0 s3 + a1 s2 + a2 s + a3 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0; a1 a2 – a0 a> 0.

Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4.

Так как n = an n-1, то при an > 0 для проверки устойчивости необходимо проверить определители от 1 до n-1.

Если an = 0 или n-1 = 0 при 1 > 0,..., то система находится на границе устойчивости, причем при an = 0 - граница апериодической устойчивости (один из корней равен нулю); при an-1 = 0 - граница колебательной устойчивости (имеются два комплексно-сопряженных корня).

По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

6.7.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЬЕНАРА-ШИПАРО При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования, имеющих порядок характеристического уравнения n 5, рекомендуется использовать одну из модификаций критерия Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром и вошедшую в теорию автоматического управления как критерий устойчивости Льенара-Шипаро, который формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось необходимое условие устойчивости и чтобы определители Гурвица с четными индексами (или с нечетными индексами) были положительны, т.е.

a0 > 0, a1 > 0,..., an > 0; 2 > 0, 4 > 0, 6 > 0,... (6.33) или a0 > 0, a1 > 0,..., an > 0; 1 > 0, 3 > 0, 5 > 0,... (6.33, а) В такой формулировке критерия устойчивости требуется раскрытие меньшего числа определителей, чем по критерию Гурвица.

Пример 6.1 Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему, если характеристическое уравнение имеет вид D(s) = 3s4 + 5s3 + 2s2 + 7s + 10 = 0.

Из коэффициентов уравнения составляется таблица Рауса.

Таблица Рауса к примеру 6.стро- столбец k ri ка k 1 2 – 1 a0 = 3 a2 = 2 a4 = – 2 a1 = 5 a3 = 7 a5 = r3 = 0,6 3 a13 = 10 a23 = r4 = – 2,27 4 a14 = a24 = 0 15,r5 = 0,14 5 a15 = 10 a25 = 0 Система не устойчива, так как знаки коэффициентов первого столбца различны: а0 > 0, a1 > 0, с13 < 0, с14 > 0, с15 > 0.

Пример 6.2 Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица, если характеристическое уравнение имеет вид:

3s3 + 2s2 + 4s + 2 = 0;

а0 = 3; a1 = 2; a2 = 4; a3= 2;

2 2 2 1 = 2 > 0; 2 = = 2 > 0 ; 3 = 3 4 0 >0.

3 0 2 Система устойчива, так как 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0.

6.7.4 УСТОЙЧИВОСТЬ И УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОГРЕШНОСТЬ Система автоматического регулирования рассчитывается из условия, что в установившемся режиме должна обеспечиваться малая погрешность, а переходный процесс протекать должным образом, т.е.

система должна быть устойчивой (не "раскачиваться") и переходный процесс должен затухать с течением времени. В реальных замкнутых АСР обратная связь – отрицательная, и в этом случае на вход системы действует сигнал (t) = x(t) – y(t). Рассматриваем канал управления.

Если на вход рассматриваемой системы подается ступенчатая функция x(t) = x0, то при устойчивой системе после окончания переходного процесса на ее выходе устанавливается некоторое постоянное значение ууст (рис. 6.18).

Переходный процесс описывается уравнением (3.8). В установившимся режиме все производные равны нулю и уравнение принимает вид:

а0 yуст = b0 х0, (6.34) откуда b0 x yуст = (6.35) aРазность bys = x0 – yуст = 1- x0 (6.36) a называется установившимся значением погрешности. Системы, имеющие ys 0, называются статическими, а установившаяся погрешность ys – статизмом системы. Иногда рассматривается относительная погрешность или коэффициент статизма S:

ys S =. (6.37) xДля достижения малой погрешности в установившемся режиме необходимо иметь большое значение коэффициента усиления системы, но при достаточно большом значении последнего система становится неустойчивой, т.е. возникает конфликт между требованием устойчивости и требованием малой погрешности. Решение этой проблемы можно рассмотреть на следующем примере.

Пусть задана система, структурная схема которой изображена на рис. 6.19.

x(t) y(t) W1(s) W2(s) W3(s) Рис. 6.19 Структурная схема системы автоматического регулирования k1 k2 kНа этой схеме W1(s) = ; W2(s) = ; W3(s) =.

1+ s T1 1+ s T2 1+ s TПередаточная функция разомкнутой системы будет:

k1 k2 k3 K Wр.с (s) = =, 1+ s T1 1 + s T2 1 + s T3 (1 + s T1)(1 + s T2 )(1+ s T3) где K – коэффициент усиления системы и K = k1 k2 k3.

Для установившегося режима уравнение (6.34) принимает вид (1 + K) yуст = K x0, откуда yуст = K x0 /(+ K), а статизм системы и коэффициент статизма, соответственно:

ys = x0/(1 + K), S = 1/(1 + K).

Характеристическое уравнение рассматриваемой системы имеет вид:

T1 T2 T3 s3 + (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3) s2 + (T1 + T2 + T3) s + (1 + K ) = 0.

Так как все коэффициенты характеристического уравнения третьего порядка положительны, то согласно критерию устойчивости Гурвица система будет устойчива, если выполняется неравенство:

(T1 T2 + T1 T3 + T2 T3) (T1 + T2 + T3) - T1 T2 T3(1 + K ) > 0, из которого можно определить коэффициент усиления, т.е.:

(T1 T2 +T1 T3 +T2 T3)(T1 +T2 + T3) K < -1.

T1 T2 T(T1 T2 + T1 T3 + T2 T3)(T1 + T2 + T3) Величина Kпр < -1 называется предельным коэффициентом усиления.

T1 T2 TДля устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициент усиления системы был меньше предельного значения K < Kпр. Если взять Т1= Т2 = Т3, то Kпр = 8 и, следовательно, K < 8.

Если же для получения малой погрешности задать статизм S < 0,01 (S < 1 %), то получается K > 100.

Разрешение этого конфликта является одной из основных задач. Пути его разрешения различны, так, например, можно изменять постоянные времени Т1, Т2, Т3 и добиться требуемого значения коэффициента усиления. Наиболее общий путь разрешения такого конфликта – это изменение структурной схемы, введение дополнительных связей.

В общем случае система называется астатической относительно некоторого возмущающего воздействия f, если при f = сonst установившееся значение погрешности уs не зависит от значения f. В такой системе должно присутствовать интегрирующее звено. Установившаяся погрешность в режиме отработки постоянного рассогласования равна нулю.

6.7.5 ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ На устойчивость системы автоматического регулирования оказывают влияние параметры системы, это наглядно было видно на примере, рассмотренном выше. Геометрический образ зависимости устойчивости от параметров системы называется областью устойчивости и был введен в рассмотрение И. А. Вышнеградским. Построение областей устойчивости является одним из наиболее ценных для практики результатов исследования устойчивости системы.

Область устойчивости строится в пространстве параметров, под которым понимается пространство, координатами которого являются параметры системы. Количество параметров может быть любым, но для графического изображения наиболее распространенными являются два.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид s3 + А s2 + В s + 1 = 0, (6.38) где А и В – параметры системы.

Для устойчивости системы, исходя из критерия Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы А В > 1, откуда граница области устойчивости будет А В = 1.

В плоскости параметров A и В граница области устойчивости представляет собой гиперболу, называемую гиперболой Вышнеградского (рис. 6.20). Область устойчивой работы отмечена штриховкой.

Границы области устойчивости могут быть найдены, если B приравнять нулю коэффициенты а0, аn характеристического уравнения и предпоследний определитель Гурвица:

а0 = 0; аn = 0; n-1 = 0. (6.39) Вторая из этих границ соответствует наличию нулевого корня характеристического уравнения, а третья - наличию чисто мнимых корней. Уравнения (6.39) разбивают пространство параметров на ряд областей, из которых устойчивой будет та область, где определители Гурвица A 1,..., n-2 положительны.

Рис. 6.20 Гипербола Вышнеградского 6.8 Частотные критерии устойчивости Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии позволяют исследовать устойчивость систем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию.

6.8.1 ПРИНЦИП АРГУМЕНТА В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие известного из теории функции комплексного переменного принципа аргумента. Пусть дан полином n-й степени (6.27):

D(s) = a0 sn + an-1 sn-1 +... +an.

Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде D(s) = a0 (s – s1) (s – s2)... (s – sn), (6.40) где sj = j + ij – корни уравнения D(s) = 0; j = 1, 2, …, n.

Каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке sj (рис. 6.21, а). Длина его равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, – аргументу или фазе комплексного числа.

Величины (s – sj) геометрически изображаются вектором, проведенным из точки sj к произвольной точке s (рис. 6.21, б).

При s = i, например, получают:

D(i) = a0 (i – s1) (i – s2)... (i – sn), (6.41) и концы всех векторов будут находиться на мнимой оси (рис. 6.21, в).

Рассматривая вектор D(i), получают, что модуль его равен D(i) = a0i – s1i – s2...i – sn, (6.42) а аргумент Arg D (i) = Arg(i - s1) + Arg(i - s2 ) +... + Arg(i - sn ). (6.43) Если принять за положительное направление отсчета углов вращения против часовой стрелки, то при изменении частоты от – до + каждый элементарный вектор поворачивается на угол, если корень расположен слева от мнимой оси, и на - – если справа (рис. 6.21, г).

Если полином имеет m правых корней и (n – m) левых, то при изменении от - до + изменение аргумента вектора D(i ) равно сумме углов поворота вектора (i – sj), т.е.

= ArgD(i) = (n - m) - m = (n - 2m). (6.44) =Откуда вытекает следующее правило: изменение аргумента D(i ) при изменении частоты от – до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(s) = 0, умноженной на.

При изменении частоты от 0 до изменение аргумента вектора D(i) будет вдвое меньше i i а) б) s – sj sj s sj |sj| arg sj г) i в) i s s2 i – s i – s+ – sj sk i – sj i – sk i – s i – s s sРис. 6.21 Принцип аргумента = ArgD(i) = (n - 2m). (6.45) =Это правило положено в основу всех частотных критериев.

6.8.2 КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА Этот критерий по существу является геометрической интерпретацией принципа аргумента и был сформулирован в 1938 г. советским ученым Михайловым.

Рассматривается характеристический полином (6.27):

D(s) = a0 sn + a1 sn-1 +... + an.

Замена s = i, приводит к комплексному полиному, называемому функцией Михайлова.

D(i) = a0 (i)n + a1 (i)n-1 +... + an = U() + i V() = D() ei(), (6.46) где U () = an - an-22 + an-44 +...;

V () = (an-1 - an-32 + an-54 -...), называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова; D() – модуль D(i); () – фаза D(i).

При изменении частоты конец вектора D(i) будет описывать некоторую кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом Михайлова.

При изменении частоты от 0 до угол поворота вектора D вокруг начала координат равен (6.45):

= ArgD(i) = (n - 2m), =отсюда число правых корней полинома = n - ArgD(i) = m =, (6.47) т.е. m = 0, если = ArgD(i) = n. (6.48) =Последнее является необходимым условием устойчивости, но недостаточным. Для того, чтобы получить необходимое и достаточное условие устойчивости, необходимо исключить корни, лежащие на мнимой оси, т.е. должно выполняться условие:

D(i ) 0. (6.49) Формулы (6.48 – 6.49) представляют собой математическое выражение критерия устойчивости Михайлова. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова D(i) при изменении от 0 до повернулся, не проходя через нуль, воn круг начала координат против часовой стрелки на угол, где n – порядок характеристического уравнения.

Для устойчивых систем годограф Михайлова начинается при = 0 на вещественной полуоси, т.е.

D(0) = an; кроме того с ростом частоты фаза должна монотонно возрастать, т.е. вектор должен поворачиваться только против часовой стрелки, так как возрастают фазы элементарных векторов (i – sj), являющиеся слагаемыми фазы вектора D(i).

В связи с этим критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Из полинома в знаменателе передаточной функции АСР (характеристического полинома) образуется функция Михайлова. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до, начинаясь при = 0 на вещественной положительной полуоси, обходил только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения.

Годограф Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бесконечность в том квадранте, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис.

6.22).

V n = 2 n = n = U n = n = Рис. 6.22 Годограф Михайлова Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности прохождения квадрантов.

Примеры годографа Михайлова для неустойчивых систем представлены на рис. 6.23.

Для нейтральных систем годограф Михайлова изображен на рис. 6.24. В первых двух случаях небольшие деформации выводят систему на устойчивость, в последнем же система неустойчива.

V а) V б) V в) n = n = n = U U U Рис. 6.23 Годографы Михайлова для неустойчивых систем:

а – начинается на отрицательной действительной полуоси;

б – не обходит n-квадрантов координатной плоскости;

в – не охватывает начало координат V V V а) б) в) U U U n = n = 4 n = Рис. 6.24 Годограф Михайлова нейтральных систем:

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.