WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 32 |

Частным является случай, когда a1 = 0, и, учитывая, что a0 < 0, уравнение (6.9) запишется в виде dy2 y1 a = 2 ; 2 = (6.24) dy1 y2 aИнтегрирование этого уравнения дает:

2 y1 y- = 1. (6.25) c (c2 ) а) б) i y1 в) y2 = y t s1 s2 y y t РИС. 6.12 ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ТИПА СЕДЛО:

А – РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;

Б – ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В – ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ВЫРАЖЕНИЕ (6.25) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ УРАВНЕНИЕ СЕМЕЙСТВА РАВНОСТОРОННИХ ГИПЕРБОЛ, ОТНЕСЕННОЕ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ. АСИМПТОТА ГИПЕРБОЛ: Y2 = ± У1.

Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий, т.е. особая точка рассматривается как одна из фазовых траекторий.

ОСОБАЯ ТОЧКА НОСИТ НАЗВАНИЕ СЕДЛО, А АСИМПТОТЫ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ НАЗЫВАЮТСЯ СЕПАРАТРИСАМИ СЕДЛА (РИС. 6.12).

По двум сепаратрисам изображающая точка приближается к состоянию равновесия, а по двум другим удаляется от него.

ДВИГАЯСЬ ПО ЛЮБОЙ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ, ИЗОБРАЖАЮЩАЯ ТОЧКА ПО ИСТЕЧЕНИИ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШОГО ВРЕМЕНИ УДАЛЯЕТСЯ ОТ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА СКОЛЬ УГОДНО БОЛЬШОЕ РАССТОЯНИЕ.

СЕДЛО ЯВЛЯЕТСЯ НЕУСТОЙЧИВЫМ СОСТОЯНИЕМ РАВНОВЕСИЯ, ДАЖЕ КОГДА НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ТОЧНО СООТВЕТСТВУЮТ ТОЧКЕ НА СЕПАРАТРИСЕ, МАЛЕЙШЕЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИВОДИТ К ТОМУ, ЧТО ИЗОБРАЖАЮЩАЯ ТОЧКА, ПОПАВ НА СОСЕДНЮЮ ТРАЕКТОРИЮ, БУДЕТ НЕОГРАНИЧЕННО УДАЛЯТЬСЯ ПО НЕЙ ОТ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ.

6.4 Понятие устойчивости движения ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ БЫЛА СОЗДАНА В НАЧАЛЕ НАШЕГО ВЕКА ВЕЛИКИМ РУССКИМ МАТЕМАТИКОМ АЛЕКСАНДРОМ МИХАЙЛОВИЧЕМ ЛЯПУНОВЫМ (1857 – 1918) В СВЯЗИ С ЗАДАЧАМИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.

ЛЮБАЯ СИСТЕМА, БУДЬ ОНА ИДЕАЛЬНОЙ (ЕСЛИ НА НЕЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ НИКАКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ) ИЛИ РЕАЛЬНОЙ, ОПИСЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ, РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЕТ ТРАЕКТОРИЮ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ.

ДВИЖЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ НЕВОЗМУЩЕННЫМ, ЕСЛИ ОНО ПОЛУЧЕНО В РЕЗУЛЬТАТЕ РАССМОТРЕНИЯ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ.

ДВИЖЕНИЕ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В РЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ, НАЗЫВАЕТСЯ ВОЗМУЩЕННЫМ.

Невозмущенное движение называется устойчивым, если достаточно малые возмущения сколь угодно мало отклоняют возмущенное движение от невозмущенного. Если же возмущенное движение заметно отклоняется от невозмущенного при сколь угодно слабых возмущениях, то оно называется неустойчивым.

В теории устойчивости существуют различные понятия (термины), как то: орбитальная устойчивость (устойчивость по траектории), устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и т.д.

Прежде чем перейти к определению этих понятий, необходимо уточнить, что понимается под малыми возмущениями. Любые возмущения можно разделить на два типа.

1 Импульсные возмущения.

Возмущение называется импульсным, если оно действует в течение короткого промежутка времени (t) (рис. 6.13, а). Импульс считают мгновенным, если за время t координата не успевает заметно измениться. В этом случае его влияние заключается в мгновенном сдвиге изображающей точки M0 системы из начального положения M0 в некоторое другое положение M0. Траектория невозмущен ного движения исходит из точки M, а возмущенного – из M0 и отличается от первой (рис. 6.13, б).

Влияние импульса сказывается на всем движении системы, хотя он действовал только при времени t.

ОБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ YI0 КООРДИНАТЫ ТОЧКИ M0, I = 1, …, N; ЧЕРЕЗ yi0 - M0, i = 1, n.

ПРИ МАЛОМ СДВИГЕ РАЗНОСТЬ КООРДИНАТ МАЛА ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ, Т.Е. УДОВЛЕТВОРЯЕТ УСЛОВИЮ, yi0 - yi0 < где – некоторое достаточно малое положительное число.

Малым возмущением называется такое импульсное возмущение, которое вызывает малый сдвиг начального положения изображающей точки системы.

Малым возмущениям соответствуют малые, чем меньше, тем меньше возмущения.

y(t) а) б) y M0 M t y yt Рис. 6.13 Действие импульсного возмущения:

а – импульсное возмущение; б – движение в фазовом пространстве x(t) t t dt Рис. 6.14 Непрерывно действующие возмущения 2 Непрерывно действующие возмущения.

Такие возмущения действуют на систему не только в начальный момент времени, но и в последующие (рис. 6.14). На первый взгляд кажется, что учет таких возмущений сделает более общими и выводы, так как они имеют более общую форму, чем импульсные. Но на практике оказывается не так.

Системы, устойчивые при импульсных возмущениях, устойчивы и при непрерывных; неустойчивые при первом типе - неустойчивы и при втором. Причиной этого является тот факт, что непрерывное возмущение можно представить в виде последовательности импульсов, т.е. разрезать весь график x(t) на импульсы длительностью dt, поэтому в дальнейшем рассматриваются лишь импульсные возмущения.

6.5 Основные виды устойчивости 6.5.1 ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Вводится понятие -окрестности невозмущенного движения. С этой целью рассматривается траектория невозмущенного движения М0М и строится криволинейный цилиндр радиусом, осью которого является эта траектория.

Считается, что траектория возмущенного движения мало отклоняется от траектории невозмущенного движения, если она целиком лежит в -окрестности невозмущенного движения ( - мало). Возму щенное движение исходит из точки M0 (рис. 6.15).

УСТОЙЧИВОСТЬ – ЭТО СВОЙСТВО ДВИЖЕНИЯ, ИМЕЮЩЕЕ КАЧЕСТВЕННЫЙ, А НЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ХАРАКТЕР. ПОЭТОМУ ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВАЖНА ЛИШЬ ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОДОБРАТЬ СТОЛЬ МАЛОЕ, ЧТОБЫ КРИВАЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕ ВЫШЛА ИЗ -ОКРЕСТНОСТИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ. ЕСЛИ ТАКАЯ ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВУЕТ, ТО ДВИЖЕНИЕ УСТОЙЧИВО, ЕСЛИ ОНА ОТСУТСТВУЕТ, ТО НЕУСТОЙЧИВО.

Говорят, система обладает орбитальной устойчивостью, если при любом можно подобрать такое отличное от нуля значение в выра y3 M0 M'жении, чтобы траектория возмущенного движения не вы yi0 - yi0 < M' шла из -окрестности невозмущенного движения, то последнее назы 0 M вается устойчивым. Если же подобрать такое нельзя, то невозму y2 щенное движение неустойчиво.

yПОНЯТИЕ ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМЕЕТ СУЩЕСТВЕННЫЙ, ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ НЕДОСТАТОК, ОГРис. 6.15 К понятию РАНИЧИВАЮЩИЙ ПРЕДЕЛЫ ЕГО ПРИМЕНИМОСТИ. ПРИ "О б й ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЖЕТ ЗНАЧИТЕЛЬНО ОТЛИЧАТЬСЯ ОТ НЕВОЗМУЩЕННОГО.

Если даже траектории и близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением времени расстояние между ними может оказаться большим (рис. 6.16), т.е. если yi - координаты точки М, а yi - M, то при наличии орбитальной устойчивости может оказаться, что величины ( yi - yi ) станут большими. В связи с этим вводится понятие устойчивости по Ляпунову.

6.5.2 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого > 0 можно указать число = () > 0 такое, что из неравенства y0 - y0 < () при t = t0 следует неравенство y - y < для всех t > t0.

Смысл понятия устойчивости по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге М'0 от М0 точка М' в последующем движении достаточно близка к М (рис. 6.16). Если же подобрать такое () нельзя, то движение неустойчиво.

6.5.3 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Под устойчивостью очень часто понимают свойство тела возвращаться в состояние равновесия, из которого оно предварительно было выведено, например, маятник после затухающих колебаний вернется к положению равновесия (рис. 6.17). Подобное определение можно ввести и для невозмущенного движения.

y M0 M' M M M 0 M' y yРис. 6.17 К определению асимптотической устойчивости Если при движении в пространстве точки М и M неограниченно сближаются и разности их коор динат (yi - yi ) 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Такое движение называется асимптотически устойчивым.

Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое, что, если y0 - y0 <, то выполняется условие y - y 0 при t.

Понятие асимптотической устойчивости более узко, чем понятие устойчивости по Ляпунову. Если движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Но обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо. Движение может быть устойчивым по Ляпунову, но не являться асимптотически устойчивым.

6.6 Необходимое условие устойчивости В п. 6.2 получено необходимое и достаточное условие устойчивости – отрицательность действительных частей корней характеристического уравнения или, что идентично, эти корни должны располагаться слева от мнимой оси.

В этих формулировках изложен не только признак устойчивости, но и дан, в сущности, метод исследования устойчивости: необходимо найти корни характеристического уравнения и проверить, лежат ли они в левой полуплоскости или нет. Однако такой метод совершенно неадекватен задаче исследования в силу следующих причин.

1 Задача определения корней характеристического уравнения просто решается только для уравнений первого и второго порядка; для всех других случаев приходится пользоваться различными приближенными, сравнительно громоздкими методами.

2 Для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней, поэтому определение корней представляет ненужную трудоемкую работу. Между тем не получают общих формул, по которым можно было бы судить о влиянии коэффициентов уравнений на устойчивость системы, но именно это влияние, в первую очередь, и интересует проектировщика системы автоматического регулирования.

Задача исследования часто ставится таким образом, что необходимо определить коэффициенты уравнений, при которых система была бы устойчива.

В распоряжении исследователя имеются методы, позволяющие судить об устойчивости системы по так называемым условиям устойчивости, не решая характеристического уравнения и не находя его корней. Первым таким условием, которое следует рассмотреть, является необходимое условие устойчивости.

Пусть характеристическое уравнение n-й степени имеет корни s1, s2,..., sn. Тогда это уравнение можно записать следующим образом an (s – s1 ) (s – s2 ) … (s – sn) = 0. (6.26) Если система устойчива, то корни должны быть либо действительными отрицательными, либо комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью.

Пусть s1 = –, > 0, тогда s – s1 = s + > 0.

Пусть s2,3 = – ± i, > 0, тогда (s – s2) (s – s3) = (s + – i ) (s + + i ) = (s + )2 + 2 > 0.

Отсюда следует, что после раскрытия скобок все коэффициенты уравнения будут положительны.

Из этих рассуждений следует, что, когда хоть один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива.

Если все коэффициенты характеристического полинома ai > 0, то любое действительное положительное значение s, подставленное в уравнение, не может обратить его в нуль и, следовательно, не является корнем характеристического уравнения. Поэтому при ai > 0 невозможно появление нарастающих экспонент, характеризующих апериодическую неустойчивость, т.е. апериодическая неустойчивость невозможна. Однако может возникнуть колебательная неустойчивость, т.е. появление в решении составляющих в виде колебаний с нарастающей амплитудой. Это возникает, когда существуют комплексносопряженные корни с положительной действительной частью. Поэтому условие положительности коэффициентов при порядке системы больше двух является необходимым условием, но не достаточным, а для уравнений первого и второго порядка это условие является и достаточным.

Действительно:

- a1 ± a1 - 4a0aa2 s2 + a1 s + a0 = 0; s1,2=.

2aЕсли корни комплексно-сопряженные, то а12 – 4 а0 а2 < 0, а1 > 0; а2 > 0. Следовательно, и а0 > 0, так как а12 < 4 а0 а2.

6.7 Алгебраические критерии устойчивости Критерий устойчивости Рауса и Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы.

Словацкий ученый А.Стодола, преподававший в Швейцарии, поставил перед швейцарским математиком Гурвицем задачу нахождения условий устойчивости для линейной системы любого порядка.

Такую же задачу поставил Максвелл в своем докладе, на котором присутствовал английский математик Раус. В результате, независимо друг от друга и в различных формах, Раус и Гурвиц вывели неравенства, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости систем любого порядка.

6.7.1 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА Критерий, который предложил Раус, наиболее просто поясняется табл. 6.1, где D(s) = а0 sn + а1 sn–1 +... + аn–1 s + аn – (6.27) характеристический полином.

Таблица 6.Коэффи- Стро Столбец циент ri ка 1 2 3 – 1 a0 = c11 a2 = c21 a4 = c31 … – 2 a1 = c12 a3 = c22 a5 = c32 … r3 = a0/a1 3 c13 = a2 – c23 = c31 – c33 = c41 – … r3a3 r3c32 r3cr4 = a1/c13 4 c14 = c22 – … r4cr5 = c13/c14 5 … … … … … … … ri = c1,i- ic1,i = c2,i-2 – c2,i = c3,i-2 – … – ric2,i-/c1,i-1 ric3,i-В первой строке записываются в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс, во второй - нечетный индекс.

Любой другой коэффициент таблицы определяется как ck,i = ck+1,i–2 – ri ck+1, i–1, (6.28) где ri = c1,i-2 /c1,i-1; k – номер столбца; i – номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица – (n + 1).

После заполнения таблицы можно сделать следующее суждение об устойчивости системы согласно условию устойчивости Рауса.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при a0 > 0 были положительными числа:

с11 = a0 > 0; c12 = a1 > 0; c13 > 0;...; c1,n + 1 > 0. (6.29) Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий очень удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения, очень легок для программирования на ЭВМ и нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость коэффициентов уравнения либо отдельных параметров системы.

6.7.2 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (6.27) строят сначала главный определитель Гурвица (6.30) a1 a3 a5 a7. a0 a2 a4 a6. 0 a1 a3 a5. n = (6.30) 0 a0 a2 a4.......

0 0 0 0. an по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами.

На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.