WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |

Естественно, что, давая формулировку критерия устойчивости, исходят из условия z = 0. Можно получить и более общий результат. Основываясь на формуле (2.9-48), в каждом конкретном случае можно вычислить количество «неустойчивых» полюсов замкнутой системы SUM z = m -. (2.9-49) Здесь – результирующий угол поворота расширенной амплитудSUM но-фазовой характеристики разомкнутой системы вокруг точки (-1, j0) при изменении от 0 до +.

На практике удобнее пользоваться другой формулировкой критерия, которая предложена Я. З. Цыпкиным и использует понятие переходов расширенной амплитудно-фазовой характеристикой участка вещественной оси (-1, - ).

Переходом называется пересечение амплитудно-фазовой характеристикой вещественной оси на интервале (-, - 1]. Переход считается положительным, если при увеличении частоты в точке перехода фаза растет, и отрицательным, – если уменьшается. Если амплитудно-фазовая характеристика начинается, или заканчивается на указанном участке вещественной оси, то имеет место половина перехода с соответствующим знаком.

На рис. 2.43 приведены примеры, иллюстрирующие понятие переходов и критерий Найквиста. Все три примера соответствуют системам, устойчивым в замкнутом состоянии.

+j +j m=m=W ( j) +0.5п 1,0j -1,0j o A o A +1п + -0.5п + W ( j) з з +j m=B A -1, j0 o + +1п -1п 0п з W3( j) Рис 2.43. Иллюстрация к анализу устойчивости В системе координат логарифмических частотных характеристик переход имеет место, если фазочастотная характеристика пересекает линию - ± k (к=1,2...), и при этом логарифмическая амплитудночастотная характеристика идет выше оси абсцисс (модуль комплексного передаточного коэффициента больше единицы).

Приведем теперь формулировку критерия Найквиста, использующую понятие переходов.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет m полюсов с положительной вещественной частью, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы суммарное число переходов расширенной логарифмической частотной характеристики было равно + m / 2. Если замкнутая система неустойчива, то число ее «неустойчивых» полюсов z = m - 2, (2.9-50) где – суммарное число переходов расширенной частотной ха рактеристики разомкнутой системы.

2.9.4.4. Понятие запасов устойчивости Естественно, что каждая система автоматического управления должна быть устойчивой. В инженерной практике часто используется понятие запасов. Например в строительстве и машиностроении общепринятым является термин "запас прочности". Аналогично этому при проектировании систем управления пользуются понятиями запасов устойчивости.

Запасом устойчивости по модулю будем называть число, большее единицы, которое показывает, во сколько раз (на сколько децибел) нужно изменить исходный передаточный коэффициент разомкнутой системы, чтобы вывести замкнутую систему на границу устойчивости. Соответственно различают запасы по модулю на увеличение и уменьшение коэффициента. На рис. 2.43 для каждого из вариантов длина отрезка oA численно равна запасу устойчивости по модулю на уменьшение; величина, обратная длине отрезка oB для третьего варианта - запасу устойчивости по модулю на увеличение.

Запасом устойчивости по фазе называют минимальный по моз дулю угол, на который следует довернуть вектор W ( j) с модулем, равным единице, чтобы его конец оказался в точке (-1, j0). На рис.

2.43 для каждого из вариантов АФХ указан запас устойчивости по фазе.

2.9.4.5. Устойчивость систем с запаздыванием Звено транспортного запаздывания смещает по времени выходной сигнал относительно входного на величину запаздывания :

y(t) = u(t - ). (2.9-51) Передаточная функция и комплексный передаточный коэффициент соответственно представлены выражениями (2.9-52) и (2.9-53):

-p W (p) = e ; (2.9-52) з - j W ( j) = e. (2.9-53) з При исследовании устойчивости системы, в которую входит звено запаздывания, приводят её структурную схему к виду (рис. 2.44), в котором это звено оказывается включённым последовательно с остальной частью системы y v W (p) W (p) з Рис. 2.44. Типовая структура системы с запаздыванием При этом, если обозначить R (p) W (p) =, Q (p) то характеристическое уравнение замкнутой системы примет вид - p Q (p) + R (p)e = 0. (2.9-54) 0 В связи с тем, что разложение в ряд Тейлора экспоненциальной функции имеет вид p e- =, 1 2 1- p + (p ) - (p ) +...

2! 3! то характеристическое уравнение (2.9-54) имеет бесконечно большое число корней. При этом, естественно, алгебраические критерии устойчивости неприменимы. В то же время, для данной системы может быть использован критерий Найквиста.

ПРИМЕР 2.9-2. Пусть структурная схема системы с запаздыванием приведена к виду, представленному на рис. 2.44 и W (p) =.

(Tp + 1) На рис. 2.45 представлены амплитудно-фазовые характеристики звена запаздывания и последовательно с ним включённого звена W ( j).

+ j - j e + -1 W ( j) Рис. 2.45. Исследование устойчивости системы с запаздыванием Так как модуль комплексного передаточного коэффициента звена запаздывания на всех частотах равен единице, то АФХ разомкнутой системы j W ( j) = W ( j)e- (2.9-55) отличается от W ( j) только фазой:

() = () -. (2.9-56) Если провести дугу окружности единичного радиуса с центром в начале координат от отрицательной вещественной полуоси до пересечения с АФХ W ( j) в точке =, то полученное значение из соотно0 '1' шения = (2.9-57) '1' кр позволит найти так называемое критическое время запаздывания, кр то есть время запаздывания, при котором система выводится на границу устойчивости. Здесь - значение частоты, при которой '1' W ( j ) = 1. (2.9-58) 0 '1' В рассматриваемом примере W ( j) =, (2.9-59) 1+ (T ) откуда =, ( ) = -, = (2.9-60) '1' 0 "1" T 2 и T =. (2.9-61) кр 2.10.Качество процессов управления 2.10.1. Основные показатели качества Устойчивость - это необходимое, но недостаточное условие эффективной работы системы.

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившихся и переходных процессах отработки заданного воздействия, определяется понятием «качество процесса управления» или качество системы.

На этапе разработки системы управления рассматривают процессы управления в устойчивых системах при воздействии особо "тяжелых" для них сигналов, заданных в виде определенных или случайных функций времени Качество работы системы проверяется по ее реакции на:

1) дельта функцию (t);

2) единичную функцию 1(t);

3) гармонический сигнал A sin t ;

H 4) случайные воздействия с заданными вероятностными характеристиками.

Качество отработки типовых сигналов оценивают либо непосредственно по выходному сигналу y(t), либо путем сравнения этого сигнала y(t) с реакцией некоторой эталонной системы (рассогласование (t) на рис.2.46), либо по ошибке воспроизведения командного сигнала e (t) = v(t) - y(t).

v y(t) Управляемая система v(t) (t) e Эталонная система y (t) e Рис. 2.46. Сравнение управляемой системы с эталонной На рис. 2.47 представлена реакция некоторой следящей системы на линейно возрастающий командный сигнал v(t) = (0.5 + 0.025 t)1(t), на рис. 2.48 – реакция на единичную функцию.

T / k vуст vуст vm (t) v t tр t н м Рис. 2.47. Иллюстрация к характеристикам качества системы (реакция на линейно изменяющийся сигнал) T k E vуст t t t м н р Рис. 2.48. Иллюстрация к определению показателей качества (реакция на единичную функцию) С помощью этих рисунков удобно проиллюстрировать основные показатели качества, используемуе при анализе систем управления.

1. Установившаяся ошибка:

уст = () = lim(v(t) - y(t)). (2.10-1) t 2. Время регулирования t - минимальное время, в течение которого р переходный процесс перестает выходить за пределы заданной «трубки». Определяется из условия (t) - уст при t t, (2.10-2) p где - заранее заданное значение, определяемое требованиями к точности системы (обычно 2-5% от значения командного или выходного сигнала в установившемся режиме).

3. Максимальное перерегулирование - наибольший выброс управляемого процесса относительно установившегося значения по отношению к разности и (0).

уст мах - уст = 100% (2.10-3) уст - (0) Обычно требуют 30 40%.

4. Время нарастания: t - время первого входа процесса в трубку.

н 5. Время максимального перерегулирования: t.

m 6. Число перерегулирований N в интервале: 0 t t - p число выбросов, для которых уст - m >.

7. Частота или период Tk колебательной составляющей переходного процесса.

2.10.2. Ошибки системы регулирования в установившихся режимах. Статические и астатические системы Рассмотрим одну из самых распространённых структурных схем - схему типа следящей системы (рис.2.49), назначение которой с минимальной ошибкой воспроизвести на выходе y(t) командный сигнал v(t).

y v W (p) Рис.2.49. Простейшая типовая структура следящей системы В общем случае разомкнутая система может быть представлена последовательным соединением объекта (неизменяемой части системы) с передаточной функцией Wоб (p) и регулятора (корректирующего звена) с передаточной функцией Wрег(p). Кроме того, учтем дополнительно возмущающее воздействие f (t). С учетом этого передаточная функция разомкнутой системы W (p) = Wрег(p)Wоб (p), а исходная структурная схема примет вид, представленный на рис.2.50.

f y v Wpег(p) W (p) об Рис.2.50. Структурная схема системы для анализа точности в установившихся режимах В соответствии с этой структурной схемой изображение по Лапласу от ошибки E(p) зависит как от командного сигнала, так и от возмущения:

E(p) = Wv (p) V(p) + Wf (p) F(p) = Ev (p) + Ef (p), (2.10-4) где, (2.10-5) (p) = W v 1+W (p) -W (p) об W (p) =. (2.10-6) f 1+ W (p) Широкий класс командных сигналов и возмущающих воздействий может быть представлен степенными функциями времени ( + t + t +...) 1(t). (2.10-7) 0 1 Сначала рассмотрим реакцию системы на возмущающее воздействие, вида:

f f (t) = t 1(t), (2.10-8) ! где f = const и имеет размерность возмущения f, деленную на сек. Такая функция имеет ненулевые производные от нулевого до порядка и нулевые производные порядка выше, чем. Причем, ( ) f (t) = f. (2.10-9) Изображение по Лапласу возмущения (2.10-8) имеет вид f F(p) =. (2.10-10) +p Пусть K R (p) об об W (p) =, (2.10-11) об Q (p) об K R (p) рег рег W (p) = (2.10-12) рег l p Q (p) 1рег и (2.10-13) R (0) = R (0) = Q (0) = Q (0) = 1.

об рег об 1рег Тогда изображение ошибки можно представить в виде:

l - K R (p) p Q (p) f об об рег E (р) =.

f l Q (p) p Q (p) + K K R (p) R (p) p +об 1рег об рег об рег (2.10-14) В соответствии с предельной теоремой преобразования Лапласа, если существует lim (t), то t - K l об lim (t) = lim p E (p) = lim f p. (2.10-15) f f t p0 pK K об рег Если = l, то - f lim (t) =. (2.10-16) f t K рег Очевидно, в этом случае размерность коэффициента K равна рег -l отношению размерностей возмущения и ошибки, умноженному на сек.

Такая система называется астатической по возмущающему воздействию с порядком астатизма l. Если на вход такой системы подать возмущающий сигнал типа степенной функции времени с < l, то установившаяся ошибка будет равна нулю.

Если l = 0, то нетрудно убедится в том, что если возмущение является единичной функцией:

f (t) = f 1(t), (2.10-17) то - K об () = f. (2.10-18) f 1+ K K об рег Такая система называется статической, поскольку при постоянном возмущении ошибка в статике не равна нулю, пропорциональна величине возмущения f и тем меньше, чем больше коэффициент усиления разомкнутого контура K = K K.

об рег Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда f = 0, а командный сигнал является степенной функцией времени:

v v(t) = t. (2.10-19) ! В этом случае положим l Q(p) = Q (p)Q (p) = p Q (p) и Q (0) = 1. (2.10-20) об рег 1 Тогда l p Q (p) v limE (p) = lim p. (2.10-21) v l t pp Q (p) + K R(p) p Такая система при l 0 называется астатической по командному сигналу с порядком астатизма, равным l.В этом случае коэффициент -l K называется добротностью системы. Его размерность сек.

Если = l, то v () = = const. (2.10-22) v k Если < l, то () = 0.

v При l = 0 система называется статической. Для нее, при v(t) = v 1(t) (2.10-23) имеем v () =. (2.10-24) v 1+ K В рассмотренном случае регулятор содержал l интеграторов, то есть, был астатическким, а объект интеграторов не содержал – был статическим. Если рассмотреть другой вариант, где, в отличие от (2.10-11), (2.10-12), K R (p) K R (p) рег рег об об W (p) = ; W (p) = об рег l p Q (p) Q (p) 1об рег и R (0) = R (0) = Q (0) = Q (0) = 1, об рег 1об рег то выводы по отработке командного сигнала не изменятся, а при возмущении (2.10-8) - f lim (t) = lim.

f t t K p рег При = 0 получаем - f () =, f K рег а при > 0 ошибка с течением времени неограниченно растёт.

Таким образом, порядок астатизма системы по отношению к какому-либо внешнему воздействию равен числу интегрирующих звеньев, включенных в обратную связь между координатой ошибки и этим воздействием.

Системой с астатизмом l -го порядка по отношению к командному сигналу v называется система автоматического управления, вынужденная ошибка которой при отработке сигнала, выражаемого в виде полинома степени l по t A l l A + A t +...+ t, 0 l ! постоянна и пропорциональна величине A, то есть старшей производl ной воздействия. При отработке сигнала, выражаемого полиномом меньшей степени, установившаяся ошибка в такой системе равна нулю.

Изложенные выше рассуждения приводят к выводу, что с точки зрения стремления к уменьшению ошибки желательно иметь более высокий порядок астатизма и более высокое значение K. И то и другое, как рег правило, вступает в противоречие с требованиями устойчивости. Уже синтез устойчивой системы с астатизмом выше третьего порядка ставит перед разработчиком серьёзные проблемы.

ПРИМЕР 2.10-1. Пусть дана система со структурной схемой представленной на рис.2.51. Система обладает астатизмом 1-го порядка, как по командному, так и по возмущающему воздействиям, так как система содержит один интегратор с передаточной функцией p- в регуляторе (корректирующем звене). Для данной системы:

1) если f = const и v = const, то = 0;

уст f f K _ f T p+y p k K K (1+T p) _ _ v k (1+T p)p T p2+2 T p+ 0 0 Рис.2.51. Иллюстрация к примеру 2.10-2) если v = v t, v = const, а f – константа или нулевая вели1 чина, то кинетическая ошибка v = () =, уст K где добротность K = K K ;

p об 3) если f = f t, f = const, а v - константа или нулевая величи1 на, то f K 1 f = ;

уст K p 2 4) если v = v t, v = const, или f = f t, f = const, то ошиб2 2 2 ка будет непрерывно нарастать.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.