WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |

Пусть - комплексный корень в левой полуплоскости, то есть i = - + j ( > 0). Тогда при всех вещественных коэффициентах i i i i характеристического полинома среди его нулей должен быть комплексно сопряжённый: = - - j. Произведение двух соответствующих i +1 i i сомножителей даст полином второй степени с положительными коэффициентами:

2 ( - )( - ) = 2 + 2 + + ).

i i +1 i i i Следует обратить внимание на то, что рассмотренное условие устойчивости не является достаточным. Если среди коэффициентов характеристического полинома имеются отрицательные, то это означает, что соответствующая система неустойчива. Если все коэффициенты положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой.

В этом случае необходим дополнительный анализ.

2.9.3. Критерий устойчивости Гурвица.

Пусть характеристический полином некоторой системы имеет вид (2.9-16). Сопоставим этому полиному матрицу Гурвица:

a a3 a5... 0 a a2 a4... 0 0 a1 a3... 0 G = (2.9-18)...................

0 0 0... a n- 0 0 0... a a n-2 n По главной диагонали стоят коэффициенты полинома, остальные элементы строятся по следующему принципу: вверх от диагонального элемента ставятся коэффициенты полинома в порядке возрастания индексов, вниз - коэффициенты полинома в порядке убывания индексов.

Элементы, требующие индексов, больших степени полинома, или отрицательных, устанавливаются нулевыми.

Критерий Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно чтобы при а0>0 были положительны все (n) главные миноры матрицы Гурвица.

Рассмотрим примеры конкретизации критерия Гурвица для простейших случаев.

• n = 1.

Запишем дифференциальное уравнение dy a0 + a1y = dt и характеристическое уравнение a0 + a1 =.

В данном случае применение критерия Гурвица даёт тривиальный результат а0 > 0, a1 >.

• n = 2.

Запишем дифференциальное уравнение d y dy a0 + a1 + a2y =, dt dt характеристическое уравнение a02 + a0 + a1 = и матрицу Гурвица a1 G =.

a a Как и в предыдущем случае, при a0 > 0 применение критерия Гурвица даёт тривиальный результат:

a1 > 0, a2 > 0.

Отметим, что для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным.

• n = 3.

Запишем характеристическое уравнение a03 + a12 + a2 + a3 = и матрицу Гурвица a1 a3 a a2 0.

G = 0 a1 a Для устойчивости системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при a0 > 0 были положительны первый 1 = a1 > 0, второй a1 a2 = = a1a2 - a0a3 > a0 aи третий a1 a3 3 = a0 a2 0 = a32 > 0 a1 aглавные миноры матрицы Гурвица. С учётом необходимого условия устойчивости (требования положительности всех коэффициентов характеристического уравнения) критерий Гурвица для устойчивости системы третьего порядка требует выполнения неравенства a1a2 - a0a3 > 0. (2.9-19) • n = 4.

Запишем характеристическое уравнение a04 + a13 + a22 + a3 + a4 = и матрицу Гурвица a1 a3 0 a a2 a4 G =.

0 a1 a3 0 a0 a2 a Для устойчивости системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при a0 > 0 были положительны первый 1 = a1 > 0, второй a1 a2 = = a1a2 - a0a3 > 0, a0 aтретий a1 a3 3 = a0 a2 a4 = a3(a1a2 - a0a3 ) - a4a1 > 0 a1 aи четвёртый 4 = a43 > главные миноры матрицы Гурвица. С учётом необходимого условия устойчивости (требования положительности всех коэффициентов характеристического уравнения) критерий Гурвица для устойчивости системы четвёртого порядка требует выполнения неравенства a3(a1a2 - a0a3 ) - a4a1 > 0. (2.9-20) Для системы пятого порядка критерий Гурвица выливается в требование выполнения уже двух неравенств:

a a - a a > 1 2 0 (2.9-21) (a a - a a )(a a - a a ) - (a a - a a ) > 0.

1 2 0 3 3 4 2 5 1 4 0 С дальнейшим увеличением порядка систем использование критерия Гурвица становится всё более громоздким и теряет смысл. Если возникает необходимость привлечения вычислительной техники, то в наше время стало проще непосредственное вычисление корней характеристического уравнения. Тем не менее, для систем третьего - четвёртого порядков привлекает простота использования критерия Гурвица.

ПРИМЕР 2.9-1. Рассмотрим систему, представленную на рис. 2.40, с входным сигналом v, сигналом ошибки, и выходным сигналом y.

y k v (Tp + 1) Рис 2.40 Структурная схема системы Этой системе соответствует передаточная функция k (Tp +1) k W (p) = =.

vy 3 3 2 k T p + 3T p + 3Tp +1+ k 1+ (Tp +1) В соответствии со свойствами передаточных функций характеристический полином замкнутой системы имеет вид 3 3 2 (p) =T p + 3T p + 3Tp +1+ k.

По критерию Гурвица система устойчива, если выполняется неравенство 3 a a - a a = 9T -T (1+ k) > 0.

1 2 0 Отсюда, с учётом требования положительности всех коэффициентов характеристического полинома, следует, что система устойчива, если при T > 0 выполняются неравенства -1< k < 8.

Значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости, принято называть критическими. В данном примере у кон эффициента k имеется два критических значения - нижнее k = -1 и кр в верхнее k = 8.

кр 2.9.4. Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) Часто рассмотрению подлежат замкнутые системы, структурные схемы которых могут быть приведены к типовому виду, представленному на рис. 2.41. Как правило, передаточная функция разомкнутой системы W (p) имеет относительно простой вид и несложно определить расположение её полюсов относительно мнимой оси. Таким образом, предполагается, что анализ устойчивости разомкнутой системы проведён. В то же время, анализ устойчивости замкнутой системы представляет собой нетривиальную задачу. Критерий устойчивости Найквиста оперирует с частотными характеристиками, достаточно нагляден и позволяет использовать физические представления о свойствах исследуемой системы. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы в замкнутом состоянии по частотным характеристикам разомкнутой системы.

2.9.4.1. Понятие логарифмического вычета Пусть задана некоторая функция (p), аналитичная всюду в области G, за исключением конечного числа изолированных особых точек.

Будем полагать, что все особые точки являются полюсами. Будем полагать также, что граница C области G не содержит ни нулей, ни полюсов функции (p).

Рассмотрим логарифмическую производную функции (p):

d (p) L (p) = [ln(p)]= (2.9-22) dp (p) и назовем логарифмическим вычетом функции (p) в точке p = a вычет в этой точке ее логарифмической производной:

LnRes{(p),a}= Res {L (p),a}. (2.9-23) Пусть функция (p) имеет в точке p = a ноль порядка k, то есть k (p) = (p - a) F(p), где F(a) 0.

Тогда k -1 k (p) = k(p - a) F(p) + (p - a) F (p) и k F (p) L (p) = +. (2.9-24) p - a F(p) Отметим, что полюсы функций F(p) и F (p) совпадают. Так как нули аналитической функции изолированы, то в достаточно малом круге p - a < функция F (p) F(p) является аналитической и может быть разложена в окрестности точки p = a в ряд Тейлора:

F (p) n = (p - a).

n F(p) n=С учётом этого (2.9-24) превращается в k n L (p) = + (p - a).

n p - a n=Эта формула представляет собой разложение в ряд Лорана функции L (p) в окрестности точки p = a. Из этой формулы следует, что точка p = a является полюсом первого порядка функции L (p) и Res{L (p),a} = k. (2.9-25) Пусть теперь функция (p) имеет в точке p = b полюс кратности s, то есть s (p) = (p - b)- J(p), где b не является ни нулём, ни полюсом функции J(p). Тогда (s+1) s (p) = -s(p - b)- J(p) + (p - b)- J (p) и - s J (p) L (p) = +.

p - b J(p) По аналогии с предыдущим случаем получим, что в окрестности точки p = b - s n L (p) = + (p - b), n p - b n=следовательно, Res{L (p),b} = -s. (2.9-26) Таким образом, в нулях и полюсах функции (p) ее логарифмическая производная (2.9-22) (p) L (p) = (p) имеет полюсы первого порядка, причем в нуле функции (p) логарифмический вычет равен порядку нуля, а в полюсе – взятом со знаком минус порядку полюса.

По теореме вычетов имеем 1 (p) (p) dp =,p = Res k - s, v v v 2j (p) v (p) v v C или окончательно 1 (p) dp = N -, (2.9-27) 2j (p) C где N – число нулей, а –число полюсов функции (p)в области G.

2.9.4.2. Принцип приращения аргумента Обозначим j ( p) (p) = (p)e, (2.9-28) тогда ln(p) = ln (p) + j (p). (2.9-29) С учётом (2.9-27), получаем:

1 (p) dp = d(ln(p)) = 2j (p) 2j C C (2.9-30) 1 = (p) = N -.

d ln (p) + 2j dj 2j C C Поскольку в правой части равенства стоит вещественное число, то мнимая часть левой части равенства также равна нулю.

Таким образом, если функция (p) аналитична в замкнутой области G, ограниченной контуром C, за исключением конечного числа полюсов в области G, и если функция (p) не имеет ни полюсов, ни нулей на контуре C, то приращение аргумента функции (p) при движении вектора p по замкнутому контуру C определяется выражением C = 2 (N - ). (2.9-31) 2.9.4.3. Анализ устойчивости замкнутой системы Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью (рис.

2.41) y v W (p) Рис 2.41. Замкнутая система с единичной обратной связью Пусть известно, что среди n полюсов p, p,..., p передаточной функ1 2 n ции разомкнутой системы R(p) W (p) = (2.9-32) Q(p) имеется v нулевых и v чисто мнимых полюсов на верхней полуплоско1 сти плоскости комплексной переменной p (рис 2.42), то есть + j G + C C Рис 2.42. Расположение нулей ( ) и полюсов ( ) передаточной функции разомкнутой системы v1 v Q(p) = p (p - j ) Q (p). (2.9-33) q Образуем функцию Q(p) + R(p) S(p) =, (2.9-34) (p) = 1+ W (p) = Q(p) Q(p) характерную тем, что ее знаменатель является характеристическим полиномом разомкнутой системы, а числитель – характеристическим полиномом замкнутой.

Выберем в качестве области G всю правую полуплоскость плоскости комплексной переменной p. Контур C сформируем из мнимой оси, за исключением точек, совпадающих с полюсами передаточной функции разомкнутой системы, дуг окружностей бесконечно малого радиуса, охватывающих эти полюсы, как показано на рис. 2.42, и окружности бесконечно большого радиуса, охватывающей всю правую полуплоскость.

Допустим, в общем случае, что разомкнутая система неустойчива, и её передаточная функция имеет m "неустойчивых" полюсов, то есть m полюсов в правой полуплоскости плоскости комплексной переменной p. Предположим, что замкнутая система также неустойчива, и z – число неустойчивых полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Тогда, в соответствии с принципом приращения аргумента c = 2 (z - m). (2.9-35) Если обходить контур C в отрицательном направлении, совпадающим с положительным направлением мнимой оси, то -C = 2 (m - z). (2.9-36) Будем сопоставлять изменение комплексной переменной р при перемещении ее вдоль контура C на плоскости p и соответствующее ему изменение функции (p) на комплексной плоскости. Для этого разобьем контур C на несколько характерных участков.

На участке I годограф комплексной переменной p изменяется по окружности бесконечно большого радиуса, охватывая всю правую полуплоскость, то есть j p = e,. (2.9-37) I Ранее отмечалось, что в физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции не может превышать порядок ее знаменателя. Отсюда следует, что степени полиномов S(p) и Q(p) равны, а значит j S(e ) (p) = lim = const. (2.9-38) | j Q(e ) Таким образом, приращение фазы функции (p) при изменении p вдоль первого участка равно нулю:

I = 0. (2.9-39) В качестве участка II выберем мнимую ось плоскости p, то есть p = j (2.9-40) II за исключением тех ее точек, в которых располагаются полюсы разомкнутой системы. Соответствующая этому изменению p функция (p) = ( j), - < < (2.9-41) || легко может быть вычислена.

Участок III – это участок движения комплексной переменной p вдоль окружности бесконечно малого радиуса с центром в начале координат, где по условию находится v полюсов передаточной функции разомкнутой системы. При этом, в соответствии с (2.9-33), функция (p) будет иметь вид j S(e ) (p) = lim = ||| v1 jv1 j v2 j e (e - j ) Q (e ) q (2.9-42) - jvS(0) e = lim, v2 v (- j ) Q (0) q то есть на плоскости (p) будет иметь место перемещение («доворот») по окружности бесконечно большого радиуса. Направление этого перемещения противоположно по знаку направлению перемещения на плоскости p, а абсолютная величина приращения угла - в v раз больше.

Таким образом, третьему участку соответствует изменение фазы функции (p) на величину ||| = -v. (2.9-43) Наконец, рассмотрим движение комплексной переменной p вдоль окружности бесконечно малого радиуса с центром в точке p = j, где q расположено v полюсов передаточной функции разомкнутой системы.

На этом, четвертом участке контура С j p = j + e, 0. (2.9-44) III q В соответствии с (2.9-33), функция - jvS( j ) e q (p) = lim (2.9-45) IV v1 ( j ) Q ( j ) q 1 q будет образовывать годограф, перемещающийся на плоскости по окружности бесконечно большого радиуса, и соответствующее приращение фазы будет равно IV = -2v. (2.9-46) Пользуясь тем, что (p) является дробно–рациональной функцией от p, и (p ) = (p), (2.9-47) можно произвести обход лишь верхней половины контура C. Тогда суммарное приращение фазы = + + + = (m - z). (2.9-48) Sum I II III IV Удобнее строить не функцию (p), а функцию W (p). Как видно из равенства (2.9-34), годограф функции (p) поворачивается вокруг начала координат на тот же угол, что и годограф функции W (p) поворачивается относительно точки (-1, j0).

Выше приведенные рассуждения позволяют сформулировать критерий устойчивости замкнутой системы, который называют частотным критерием, или критерием Найквиста.

Критерий Найквиста.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет m полюсов с положительной вещественной частью, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до + расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы повернулась вокруг точки (-1, j0) на угол + m. Расширение частотной характеристики W ( j) необходимо при наличии у передаточной функции разомкнутой системы полюсов на мнимой оси. Каждому нулевому полюсу соответствует на амплитудно-фазовой характеристике доворот по окружности бесконечно большого радиуса на угол - 2. Каждому чисто мнимому положительному полюсу соответствует на амплитуднофазовой характеристике доворот по окружности бесконечно большого радиуса на угол -.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.