WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |

При последовательном соединении блочные уравнения имеют вид r r r r r r I y = u II u = u y = y 1 r r x x 1 Рис. 2.26. Последовательное соединение & x A 0 x B 1 1 1 1 = + u; y = [0 C ]x, (2.8-8) & x B C A x 0 x 2 2 2 2 и в выражении (2.8-3) для эквивалентной функции A 0 B 1 A = B C [0 C ]. (2.8-9) ; = ; = B C A 2 1 2 Кроме того, нетрудно получить связь между передаточными функциями отдельных звеньев, входящих в соединение, и эквивалентной передаточной функцией W (p) =W (p)W (p). (2.8-10) Э 1 Вывод о связи между устойчивостью отдельных звеньев и устойчивостью их последовательного соединения аналогичен выводу для случая параллельного включения.

Встречно-параллельное включение звеньев рис. 2.27.

r r r r y = y u u 1 r x m r x r r r u = y 2 y Рис. 2.27. Встречно-паралельное соединение Для встречно-параллельного соединения, учитывая, что r r r u = u m y, получаем:

1 A m B C B ; =[C 0] 1 1 2 A = B C (2.8-11) ; = B C A 2 1 и - W (p) =[E ±W (p)W (p)] W (p). (2.8-12) Э 1 2 Поскольку полюсы передаточной функции эквивалентного соединения в данном случае не удается выразить непосредственно через полюсы передаточных функций отдельных звеньев, то однозначного ответа об устойчивости соединения без дополнительного анализа получить не удается.

2.8.2.2. Графы динамических систем Графом называется множество вершин и ребер, в котором каждому ребру соответствует две вершины - начало и конец ребра.

Основные характеристики графов:

1) каждой вершине на графе, изображаемой кружком или точкой, ставится в соответствие величина одной из переменных (координат системы);

2) каждое ребро, изображаемое на графе линией со стрелкой, имеет вершину –“начало” и вершину – “конец”. Стрелка обозначает направление передачи сигнала от начала к концу, таким образом, граф прохождения сигналов является направленным (антисимметричным) графом;

3) величина, соответствующая началу (вершине) ребра, называется входной величиной ребра. Если из вершины выходит несколько ребер, то входные величины этих ребер одинаковы и равны величине соответствующей вершины;

4) ребро изображает одно из звеньев в системе и ему ставится в соответствие передаточная функция;

5) если к вершине подходит несколько ребер, то сопоставляемая ей величина равна сумме выходных величин ребер.

Между графом прохождения сигналов и структурной схемой имеется взаимно - однозначное соответствие. Стрелка структурной схемы соответствует вершине графа, а прямоугольник (звено) – ребру. При необходимости в граф системы могут вводиться дополнительные единичные ребра для выявления промежуточных координат, являющихся, в основном, выходами отдельных ребер. Для примера, приведены графические представления некоторой системы в виде структурной схемы (рис 2.28) и графа (рис 2.29).

Простейшие правила преобразования структурных схем и графов линейных систем представлены в таблице 2.1.

W y v u y y u W W 3 W y y W Рис. 2.28. Структурная схема системы W1 y1 WW3 y3 1 u y u y 3 v WW-Рис. 2.29. Граф системы Таблица 2.№ Структурная схема Граф Эквивалентная передаточная функция 1 Параллельное соединение звеньев.

W W y U W = W ( p) + Э U y + W ( p) W W 2 Последовательное соединение звеньев.

y W = W ( p) U Э U y W W W 1 W W ( p) 3 Встречно-параллельное соединение звеньев.

y W U W(p)=W(p)/ э U W /1±W(p)W(p) 1 m m W W 2 Встречаются и более сложные случаи соединения звеньев, так, например, соединения с перекрестными связями (рис. 2.30).

WSy u ppWWSWРис. 2.30. Соединение с перекрестными связями В этих случаях можно пользоваться правилом переноса динамического звена через сумматор или точку разветвления.

Любое динамическое звено можно перенести через сумматор или точку разветвления; при этом звено должно войти во все входящие и ответвляющиеся ветви. В те ветви, в которые звено входит без изменения направления распространения сигнала, звено проходит со своей передаточной функцией. В тех ветвях, при продвижении в которые меняется направление распространения сигнала, передаточная функция звена изменяется на обратную.

Это правило иллюстрируется элементарными примерами, приведёнными на рис. 2.312.34.

p u u y y W W y W y p Рис. 2.31. Перенос звена W через точку разветвления S S y y u u 1 W W u W u Рис. 2.32. Перенос звена W через сумматор S yu p WWWyyu p W1 W W1/ WyРис. 2.33. Перенос звена W2 через точку разветвления p S y U W1 WWu S y u W1 WW1/ Wu Рис. 2.34. Перенос звена W1 через сумматор S.

В качестве примера проведём упрощение структурной схемы, приведённой на рис. 2.30. Перенесём динамическое звено с передаточной функцией W через точку разветвления p. После этого получим схему, 2 состоящую только из элементарных соединений (рис. 2.35.).

1/ W W 2 r y u p W W 2 p S S W Рис. 2.35. Схема соединения после переноса Теперь исходная система может быть представлена в упрощенном виде W W 2 (рис 2.36.) и будет описываться выражением: W = +W э 1+W W W 2 3 WWy u +W1+W2WWРис. 2.36. Исходная схема в упрощенном виде 2.8.2.3. Формула Мейсона В случае громоздких систем с большим числом звеньев и перекрестных связей наиболее эффективным является использование для получения эквивалентных передаточных функций правила Мейсона. В связи с этим введем необходимые дополнительные определения.

Прямой путь между двумя заданными вершинами графа – это непрерывная последовательность ветвей одного направления, в которой каждая из вершин встречается не более одного раза.

Контур – замкнутая цепь, при однократном обходе которой в направлении, указанном стрелками, каждая из вершин встречается не более одного раза.

Согласно правилу Мейсона, передаточная функция W между входом в точке А и выходом в точке B равна:

W (p) (p) K K W (p) =, (2.8-13) AB K =1 (p) где:

– число прямых путей между вершинами A и B ;

W (p)– передаточная функция k-го прямого пути от вершины A к верk шинеB (она равна произведению передаточных функций всех ребер, входящих в последовательность прямого пути);

(p)– определитель графа;

(p)– k-й минор определителя графа, равный определителю более k простого графа, который получается из данного графа путем удаления из него всех ребер и вершин, лежащих на k-м прямом пути, а также всех ребер входящих и исходящих из этих вершин.

Определитель графа определяется из соотношения:

(p) =1W (p) + W (p)W (p) - oi oi oj i i, j - (2.8-14) W (p)W (p)W (p) +K, oi oj ok i, j,k где W (p)– передаточные функции различных контуров графа;

oi W (p)W (p)– произведения передаточных функций непересекающихoi oj ся пар контуров;

W (p)W (p)W (p) – произведения передаточных функций непересекoi oj oz ающихся троек контуров.

ПРИМЕР 2.8-1. Найти передаточную функцию W для системы, uy структурная схема которой приведена на рис. 2.37.

u y u u y W1 Wy y W3 WРис. 2.37. Структурная схема системы с перекрёстными связями Этой схеме соответствует граф, представленный на рис. 2.38.

y W-y u W1 u y W1 1 u Wy Рис. 2.38. Граф системы с перекрёстными связями Для этого графа:

• передаточная функция единственного прямого пути W =W W ;

пр 1 • передаточные функции контуров W = -W W ; W = W W ;

01 1 3 02 2 • главный определитель =1+W W -W W ;

1 3 2 • определитель прямого пути = 1;

• искомая передаточная функция W W 1 W =.

uy 1+ W W -W W 1 3 2 ПРИМЕР 2.8-2. Найти передаточную функцию между точками A и B для графа, приведённого на рис. 2.39.

W g W f 1 W s W W d h W e A W W B a c W b W W i m W n W W r p W q Рис. 2.39. Граф системы • Передаточные функции прямых путей:

W1=WaWbWc;

W2=WaWdWeWc;

W3=WaWdWgWh.

• Передаточные функции контуров:

W01= WdWgWhWnWrWpWl;

W02= WdWeWcWnWrWpWl;

W03= WbWcWnWrWpWl;

W04= WcWnWrWm;

W05= WrWpWq;

W06= WgWf.

• Произведения передаточных функций непересекающихся пар контуров:

W02W07; W03W06; W03W07; W04W06; W04W07; W05W06; W05W07.

• Непересекающихся троек контуров нет.

• Определитель графа:

=1- W01 - W02 - W03 - W04 - W05 - W06 - W07+ + W02W07+W03W06+W03W07+W04W06+W04W07+W05W06+W05W07.

• Миноры определителя графа:

1=1-W05-W07-W06+W05W06+W05W07;

2=1-W05-W07+W05W07;

3=1-W05.

• Результирующая передаточная функция W + W + W + W + W 1 1 2 2 3 3 4 4 5 W =.

AB 2.9. Устойчивость систем 2.9.1. Асимптотические свойства собственного движения и весовой матрицы линейной системы Пусть нелинейное дифференциальное уравнение состояния имеет вид.

r r r x(t) = F {x(t),u(t),t}. (2.9-1) r Пусть также u0(t) – некоторая заданная (номинальная) функция времеr ни и x0(t0 )– некоторый номинальный вектор начальных условий.

r Решение x0(t) является устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого t0 и для любого > 0 существует (,t0 ) > 0 такое, что при r r x(t0 ) - x0(t0 ) (2.9-2) удовлетворяется неравенство r r x(t) - x (t). (2.9-3) r Норма вектора x в простейшем случае совпадает с его евклидовой длиной n r x = ( x )1/ 2. (2.9-4) i i =Возможно так же использование и других форм нормы, например n r r x = max x ; x = x. (2.9-5) i i i i =Введение нормы в пространстве состояний дает возможность ввести понятие близости точек пространства. Устойчивость в смысле Ляпунова r гарантирует, что состояние x(t) не отклоняется далеко от «номинальноr r го» режима x0(t) при начальном состоянии x(t0 ), достаточно близком к r номинальному начальному состоянию x0(t0 ).

r Решение x0(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в смысле Ляпунова, и для любого t0 существует такое (t0 ), что при r r x(t0 ) - x0 (t0 ) (2.9-6) выполняется условие r r lim x(t) - x0(t) = 0. (2.9-7) t r Решение x0(t)является асимптотически устойчивым в целом, если оно r устойчиво по Ляпунову, и для любых t0 и x(t0 ) r r lim x(t)- x0(t) = 0. (2.9-8) t Применительно к нелинейным системам, вследствие сложности характерных для них явлений, обсуждается обычно устойчивость решений. В линейных системах ситуация проще, и в этом случае целесообразнее говорить об устойчивости уже не решения, а самой системы.

Пусть дано уравнение системы.

r r r x (t) = A(t) x (t) + B(t)u(t), (2.9-9) C C r r r и для t0, x (t0 ) и u0(t), при t t0 известно x (t), то есть спраC0 Cведливо уравнение.

r r r x (t) = A(t) x (t) + B(t)u0(t). (2.9-10) CCr r Естественно, что при других начальных условиях x (t0 ) решение x (t) C1 Cбудет другим.

r r r x (t) = A(t) x (t) + B(t)u0(t). (2.9-11) CCВычтем из (2.9-11) уравнение (2.9-10):

r r r r d {x (t) - x (t)}= A(t){x (t) - x (t)} (2.9-12) C1 C0 C1 C dt Обозначив, r r r x(t) = x (t) - x (t), C1 Cпри начальных условиях r r r x(t0 ) = x (t0 ) - x (t0 ).

C1 Cполучим уравнение.

r r r r (2.9-13) x(t) = A(t)x(t), при t = t0 x = x(t0 ).

Таким образом, понятие устойчивости решения можно свести к понятию устойчивости линейной системы.

Линейная система устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически, или асимптотически в целом), если тривиальr ное решение x0(t) 0 устойчиво в этом смысле.

Линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда она асимптотически устойчива в целом.

Таким образом, исследование вопроса устойчивости решений линейной неавтономной системы сводится к исследованию решения соответствующего однородного дифференциального уравнения, которое определяется матрицей A(t) и имеет вид:

r r x(t) = (t,t0 )x(t0 ); (2.9-14) r r y =C(t)(t,t0 )x(t0 ). (2.9-15) Рассмотрим три возможных случая.

1. (t,t0 )– ограниченная матрица в интервале [t0,), то есть существует такое положительное число М что (t,t0 ) M, t t0;i, j =1,2..,n.

ij Тогда получаем, что r x(t) n2M max x (t0 ), i i и условие устойчивости выполняется, если взять, например,.

n2M 2. Переходная матрица удовлетворяет условию lim(t,t0 ) = 0.

t При этом движение, а значит, и сама система являются асимптотически устойчивыми.

3. (t,t0 )– неограниченная матрица в интервале [t0,). При этом двиr жение неустойчиво, так как для любого x(t0 ) 0:

r lim x(t) =.

t Это означает и неустойчивость самой системы.

Если система является наблюдаемой и управляемой, (эти понятия будут рассмотрены в п.п. 3.2, 3.3), то устойчивость системы можно исследовать с помощью весовой функции. Система асимптотически устойчива, если limw (t, ) = 0.

y t Итак, линейная система является асимптотически устойчивой, если ее переходная матрица с течением времени стремится к нулевой матрице. Для стационарных систем, то есть для систем с постоянными параметрами, это условие эквивалентно требованию, чтобы все собственные числа матрицы А имели отрицательные действительные части, то есть лежали в левой полуплоскости плоскости комплексной переменной. Это следует из формы представления переходной матрицы через собственные числа и правые и левые собственные векторы матрицы А в соответствии с (2.4-28). Таким образом, анализ устойчивости системы может быть сведен к анализу расположения собственных чисел матрицы А, или, что, то же самое, расположения полюсов передаточной функции полностью управляемой и наблюдаемой системы.

В теории автоматического управления разработан ряд методов, называемых критериями устойчивости, позволяющих проанализировать расположение собственных чисел относительно мнимой оси плоскости, и не требующих при этом точного решения соответствующего характеристического уравнения. К первой группе этих методов относятся, так называемые, алгебраические критерии, которые путем элементарных вычислений по коэффициентам характеристического полинома позволяют проанализировать устойчивость исследуемой системы с известными значениями ее параметров.

2.9.2. Необходимое условие устойчивости Для устойчивости системы с характеристическим полиномом n n- () = a0 +a1 +...a +a (2.9-16) n-1 n необходимо, чтобы при a0 > 0 все коэффициенты характеристического полинома были положительны, то есть a > 0 при i = 1, 2,...,n.

i Докажем это утверждение. Если 1,2,,,,, - нули характеристиn ческого полинома (корни характеристического уравнения () = 0), то (2.9-16) может быть записано в виде () = ( -1)( -2 )...( - ). (2.9-17) n Если - вещественный корень в левой полуплоскости, то есть i = - ( > 0 - положительное вещественное число), то i i i ( - ) = ( + ) i i и произведение таких сомножителей даст полином только с положительными коэффициентами.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.