WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 18 |

r r r u(t) = u0(t)+ u(t). (2.2-1) При этом решение уравнения (2.1-3) можно записать в виде r r r x(t) = x0(t)+ x(t), (2.2-2) r r где x0(t) – решение уравнения (2.1-3) при u = u0(t).

r Назовём функционирование объекта (системы) при u = u0(t) базоr r r вым режимом. Переменные x(t), u(t), f (t) – это отклонения от соответствующих переменных в базовом режиме.

r r Подставим теперь выражения для x(t) и u(t) в исходное дифференциальное уравнение состояний r r r r r r r r & & x0(t) + x(t) = F{x0(t) + x(t),u0(t) + u(t),f0(t) + f (t),t} и разложим функцию F в ряд Тейлора:

r r r r r r r r r & & x0 (t)+ x(t) = F{x0,u0,f0,t} + Jx {x0,u0,f0,t}x + (2.2-3) r r r r r r r r + JU {x0,u0,f0,t}u + Jf {x0,u0,f0,t}f +R.

Здесь R – остаточный член, содержащий высшие степени приращений, r r и им можно пренебречь, Jx,Ju,Jf – матрицы Якоби функции F для x, u r и f.

Элемент матрицы Якоби определяется как соответствующая частdFi ная производная (J )ik =. Например, для системы второго порядка x dxk соответствующее слагаемое в правой части (2.2-3) имеет вид F1 FF Fx1 + x r x x2 x1 x xJx x = =, FF2 x2 F1 F2 x1 + x x1 x2 x1 x Пренебрегая в (2.2-3) остаточным членом R и учитывая уравнение для базового режима, получим:

r r r r r r r r r r r r r & x(t) = Jx {x0,u0,f0,t}x + JU {x0,u0,f0,t}u + Jf {x0,u0,f0,t}f. (2.2-4) Введем обозначения:

r r r A(t) = Jx{x0(t),u0(t),f0(t),t};

r r r B(t) = Ju{x0(t),u0(t),f0(t),t};

r r r r G(t) = Jf{x0(t),u0(t),f0(t),t}f (t).

В результате получим:

Линейное дифференциальное векторно-матричное уравнение с переменными параметрами (коэффициентами) r r r r & x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + G(t) f (t), (2.2-5) Аналогичным образом проведем линеаризацию уравнения выхода:

r r r r y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) + v(t). (2.2-6) Впредь, рассматривая линейные модели системы, будем опускать символ при записи приращений соответствующих векторов. Таким образом, линеаризованные уравнения объекта (системы) примут вид r r r r & x(t) = A(t)x(t)+ B(t)u(t)+G(t)f (t); (2.2-7) r r r r y(t) = C(t)x(t)+ D(t)u(t)+v(t). (2.2-8) Ha рис. 2.4 приведена структурная схема, являющаяся графическим изображением уравнений (2.2-7) и (2.2-8).

D(t) r x(t) r r B(t) C(t) u(t) y(t) r r v(t) G(t) A(t) f (t) Рис. 2.4. Обобщённая структурная схема объекта управления В качестве примера рассмотрим смесительный бак, который наполняется с помощью двух потоков, имеющих переменные мгновенные расходы F1(t) и F2(t) (рис. 2.5). Оба входных потока содержат растворимое вещество с неизменными концентрациями C1 и C2. Выходной поток имеет массовую скорость истечения (мгновенный расход) F(t).

Предполагается, что содержимое бака перемешивается так, что концентрация выходного потока равна концентрации Cout (t) в баке.

F2(t)- расход F1(t) C2- концентрация C Cout(t) h(t) V(t) – объем выход F(t),Cout(t) Рис. 2.5. Смесительный бак Запишем уравнения баланса масс в баке.

Для полной массы:

dV(t) = F (t) + F (t) - F(t). (2.2-9) 1 dt Для массы растворённого вещества:

d {Cout (t)V(t)} = C F (t) + C F (t) - Cout (t)F(t). (2.2-10) 1 1 2 dt Мгновенный расход выходного потока при естественном истечении зависит от уровня жидкости в баке h(t) следующим образом:

F(t) = k h(t), (2.2-11) где k - некоторая константа. Это следует из уравнения Бернулли, которое описывает энергетический баланс жидкости перед сливным отверстием и после него. Потенциальная энергия жидкости перед сливным отверстием пропорциональна h. При истечении из бака энергия жидкости превращается в кинетическую энергию потока, пропорциональную квадрату скорости. Приравнивая эти энергии, получаем = k h.

Расход F пропорционален произведению скорости истечения на площадь сливного отверстия, откуда и следует (2.2-11).

Если бак имеет постоянную по высоте площадь поперечного сечения S, то V(t) F(t) = k. (2.2-12) S Тогда из (2.2-9) и (2.2-10) получаем:

dV(t) V(t) = F (t) + F (t) - k, 1 dt S d V(t) {C(t)V(t)} = C F (t) + C F (t) - Cout (t)k.

1 1 2 dt S Выберем в качестве базового режима установившееся состояние (статику), когда все величины являются постоянными - F,F,F,C,V. При 10 20 0 0 этом из предыдущих уравнений получаем 0 = F + F - F, 10 20 0 = C F + C F - C F.

1 10 2 20 0 V F = k.

S При известных F и F эти уравнения могут быть разрешены относи10 тельно F,V и C :

0 0 F C F + C F 0 1 10 2 F = F + F ; V = S ; C =.

0 10 20 0 K F Предположим теперь, что возникли отклонения от установившегося состояния F (t) = F + F (t), 1 10 F (t) = F + F (t) 2 20 и, как следствие, F(t) = F0 + F(t), V(t) = V0 + V(t);

Cout (t) = C0 + C(t).

Если эти отклонения невелики, то можно провести линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений объекта.

Сначала линеаризуем уравнение для полной массы d V0 + V(t) {V0(t) + V(t)} = F10 + F1(t) + F20 + F2(t) - k.

dt S Используем разложение нелинейной функции в ряд Тейлора и учтём, что:

d 1 V| V0 = V.

V =VdV VТогда V k V (t) & V(t) = F + F (t) + F + F (t) - k - + R(t).

10 1 20 S S 2 V Учитывая уравнение статики, и пренебрегая остаточным членом, получим:

k & V(t) = F (t) + F (t) - V (t). (2.2-13) 1 2 SV V Введём параметр =, называемый временем заполнения баF ка. Тогда, учитывая (2.2-12), получим k =. (2.2-14) 2 SV Кроме того, отметим, что k V V = = F. (2.2-15) 2 SV Таким образом, вместо (2.2-13) запишем & V(t) = F (t) + F (t) - V(t). (2.2-16) 1 Проведем аналогичные действия для уравнения баланса масс растворённого вещества.

d {[C + C(t)] [V + V(t)]} = 0 dt V + V(t) = C [F + F (t)]+ C [F + F (t)]- [C + C(t)]k.

1 10 1 2 20 2 S После разложения в ряд Тейлора получим & & V C(t)+C V(t) = C F +C F (t)+C F +C F (t)0 0 1 10 1 1 2 20 2 V V C k 0 0 -C k - k C(t)- V(t)-R(t).

S S 2 V S Учтём уравнения статики и отбросим остаточный член:

& & V C(t)+C V(t) =C F (t)+C F (t)0 0 1 1 2 V k V 0 - k C(t)-C V(t).

S 2V S & Подставим в это уравнение V(t) из (2.2-16). Получим:

C& V0C = C1F1(t) + C2F2(t) - F0C(t) - V(t) C- C0F1(t) - C0F2(t) - V(t).

Таким образом, в результате линеаризации мы получили систему следующих дифференциальных уравнений, которые описывают процессы в смесительном баке:

V(t) = F1(t) + F2(t) - & V(t) (2.2-17) C(t) = - 1 C(t) + C1 - C0 F1(t) + C2 - C0 F2(t).

& V V 0 На этом завершён для данного примера первый этап разработки - составлено математическое описание объекта и в результате линеаризации получена его линейная модель. Далее это описание нужно представить в удобной форме - в виде векторно-матричных дифференциальных уравнений и в виде структурной схемы.

Представим математическое описание объекта в виде векторноматричных дифференциальных уравнений. Введем обозначения:

F r V(t) r F1(t) r C x(t) = ; u(t) = C(t) F (t) ; y(t) =.

V Теперь систему уравнений (2.2-17) можно записать в векторноматричном виде:

r r r & x(t) = Ax(t) + Bu(t) r r y(t) = Cx(t), где:

2 0 1 - A = ; B = 1 ; C = 0 1.

C - C0 C2 - C V0 V0 - 1 Структурная схема объекта представлена на рис.2 V F F C - C 1 V C0 - C VC FРис. 2.6. Структурная схема смесительного бака как объекта управления На основании полученных дифференциальных уравнений и структурной схемы можно провести предварительный анализ свойств объекта и сделать следующие выводы.

1. Изменение любой из входных переменных F1 и F2 приводит к одновременному изменению всех выходных переменных V, F и C.

Это особенно наглядно следует из наличия перекрёстных связей на структурной схеме объекта.

2. При ступенчатом изменении любой из входных переменных каждая из выходных переменных изменяется по экспоненциальному закону, причём темп изменения концентрации C вдвое медленнее темпа изменения объёма V.

Предметом отдельного рассмотрения при проектировании системы управления (СУ) должен стать анализ диапазонов изменения переменных объекта, в которых сохраняется адекватность линейной модели.

Прежде, чем закончить рассмотрение данного примера, имеет смысл продемонстрировать некоторые последующие действия разработчика в части синтеза алгоритмов управления. Перед разработчиком среди прочих встанут следующие две задачи. Одна из них - обеспечение заданных требований по длительности и качеству процессов в системе, то есть её динамических свойств. Рассмотрению соответствующих вопросов посвящён третий раздел настоящего пособия.

Вторая задача - обеспечение возможности независимого управления объёмом и концентрацией. Введём понятие командных сигналов по требуемым концентрации - r и объёму - r. В статике производные c v всех переменных должны быть равны нулю, и как следует из структурной схемы и дифференциальных уравнений объекта, должны выполняться равенства:

F1 + F2 - V = 0;

уст 1 C1 - C0 C0 - C- C + F1 - F2 = 0.

уст V0 VVОтсюда, с учётом равенства =, получаем F V = 2(F1 + F2 ); (2.2-18) уст C1 - C0 C0 - C C = F1 - F2. (2.2-19) уст F0 FДля компенсации перекрёстных связей в объекте введём перекрёстные связи в регуляторе:

F1 = a r + a r ;

VF1 V CF1 C F2 = a r + a r.

VF 2 V CF 2 C Подставим эти выражения в (2.2-18) и (2.2-19):

V = 2((a + a )r + (a + a )r ); (2.2-20) уст VF1 VF 2 V CF1 CF 2 C C1 - C0 C0 - CCуст = ( aVF1 - aVF 2 )rV + F0 FC1 - C0 C0 - C+ ( aCF1 - aCF 2 )rC.

F0 F(2.2-21) Для того, чтобы установившееся значение объёма жидкости в баке V определялось только командным сигналом r и не зависело от уст V r, а выходная концентрация C определялась только командным C уст сигналом r и не зависела от, r, в равенстве (2.2-20) приравняем к C V нулю коэффициент при r, а коэффициент при r приравняем к едиC V нице. В равенстве (2.2-21) приравняем к нулю коэффициент при r, а V коэффициент при r приравняем к единице. В результате решения C получившейся системы уравнений получим:

C0 C1 - C2 1 - Ca = ; a = ;

VF1 VF 2 C1 - C2 2 C1 - C (2.2-22) F0 Fa = ; a = -.

CF1 CF C1 - C2 C1 - C. В итоге получаем представленную на рис.2.7 структурную схему системы управления смесительным баком, в которой обеспечена развязка каналов. Последнее означает, что командный сигнал r влияет V только на изменение объёма жидкости в баке, а командный сигнал r - C только на изменение концентрации. Объём жидкости в баке связан с расходом выходного потока F коэффициентом пропорциональности 2, поэтому регулирование первого можно рассматривать как регулирование второго.

r FV V C1 - C2 C1 - CC1 - C2 C1 - CF ОБЪЕКТ FC1 - CFC1 - Cr C F2 C Рис. 2.7 Система управления смесительным баком с развязанными каналами.

2.3. Линейные системы, заданные обыкновенными дифференциальными уравнениями в нормальной форме Коши 2.3.1. Однородные дифференциальные уравнения Рассмотрим, прежде всего, решение однородного векторно-матричного дифференциального уравнения:

r r & x(t) = A(t)x(t), (2.3-1) r где каждому начальному условию x(t0 ) соответствует одно и только одно решение дифференциального уравнения. Будем полагать, что матрица A(t) непрерывна на промежутке t [0, ]. Множество всех решений образует n-мерное векторное пространство. Среди множества решений всегда может быть выбрано n линейно независимых.

Это может быть сделано следующим образом. Зададим начальные усr ловия x (t), где i = 1,2,K,n, совпадающие с базисными векторами i r r r n e пространства R, то есть x (t0 ) = e. Из свойства единственности i i i решений дифференциальных уравнений (через любую точку пространства состояний проходит одна и только одна траектория) следует линейная независимость решений с указанными начальными условиями.

Матрица X(t)[, столбцами которой являются n линейно независимых nn] решений системы (2.3-1), называется фундаментальной матрицей этой системы дифференциальных уравнений.

Поскольку каждый столбец фундаментальной матрицы является решением системы (2.3-1), то фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению:

& X(t) = A(t) X(t), при начальных условиях X0 = X(t0 ). (2.3-2) По определению в любой момент времени столбцы этой матрицы линейно независимы, значит ее определитель (определитель Вронского) не равен нулю. на промежутке t [0, ]. Так как определитель матрицы -X не равен нулю, то существует обратная матрица X (t).

Матрица - (t,t0 ) = X(t) X (t0 ) (2.3-3) называется переходной матрицей уравнения (2.3-1) или переходной матрицей, соответствующей матрице A(t). Переходная матрица является определяющей при анализе и решении дифференциальных уравнений и собственно в теории управления. Поэтому ниже приводятся основные её свойства, в основном, непосредственно вытекающие из определения этой матрицы.

1) Переходная матрица при совпадающих значениях первого и второго аргумента становится единичной матрицей:

-(t,t ) = (t, t ) = X(t ) X (t ) = E.

0 0 0 0 t =t2) При любых значениях аргументов t1, t2 переходная матрица (t1,t2 ) не вырождена и её определитель не равен нулю:

Ф(t1,t2 ) 0.

3) Обращение матрицы (t,t0 ) эквивалентно изменению порядка аргументов исходной матрицы:

--1 -1 - (t,t ) = [X(t) X (t )] = X(t ) X (t) = (t,t).

0 0 0 4) Если в качестве фундаментальной матрицы начальных условий принять единичную матрицу, X(t ) = E то при всех прочих t переходная матрица будет совпадать с фундаментальной матрицей.

Ф(t,t ) = X(t). Но X(t) – это решение матричного дифференциального уравнения (2.3-2). Поэтому переходная матрица может быть определена как решение матричного дифференциального уравнения:

& Ф(t,t ) = A(t) Ф(t,t ), (t,t ) = E. (2.3-4) 0 0 0 5) Переходная матрица определяет решение однородного векторноматричного дифференциального уравнения (2.3-1), удовлетвоr r ряющее начальному условию x(t) = x(t ):

t =tr r x(t) = Ф(t,t ) x(t ). (2.3-5) 0 Это действительно так, ибо, во-первых, при t = t r r Ф(t,t ) x(t ) = x(t ), 0 0 0 во-вторых, с учетом свойства (4):

r r r r d & {Ф(t,t )x(t )} = Ф(t,t )x(t ) = A(t)Ф(t,t )x(t ) = A(t)x(t).

0 0 0 0 0 dt 6) Из предыдущего свойства следует один из способов определения переходной матрицы. Обозначим через (t,t ) элемент i-ой i, j строки и j-ого столбца переходной матрицы и запишем равенство (2.3-5) в развернутом виде:

11(t,t0 ) 12(t,t0 )... 1j (t,t0 )... 1n (t,t0 ) x1(t) x1(t0 ) (t,t0 ) 22(t,t0 )... 2 (t,t0 )... 2n (t,t0 ) (t0 ) x (t) x 21 j 2..................

......

, x (t) = x i j i1(t,t0 ) i 2(t,t0 )... ij (t,t0 )... in(t,t0 ) (t0 )..................

......

(t0 ) n1 x (t) (t,t0 ) n (t,t0 )... nj (t,t0 )... nn (t,t0 ) xn n откуда следует выражение для i-й координаты вектора состояния:

xi (t) = i,1(t,t0 )x1(t0 ) + K + i, j (t,t0 )xj (t0 ) + K + i,n(t,t0 )xn(t0 ).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.