WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |

) ) r r r r r & q & q = L q + (C B - KCB)u + (C AF - KCAF )y + K y. (3.11-34) q q y y Это уравнение для реализации не годится, так как в случае его использования пришлось бы осуществлять операции дифференцироваr ния вектора y(t). В реальных условиях на вектор выхода объекта, как правило, наложены шумы измерений и другой физической природы. Эти шумы характеризуются широким спектром, и дифференцирование существенно увеличивает шумовую составляющую в выходном сигнале.

r & Для того, чтобы не решать задачу измерения y, введем новую пеr r r ременную = q - ky, тогда r r r q = + ky. (3.11-35) Проведем соответствующую замену в (3.11-34) и в результате получим первое уравнение наблюдателя:

r r r r q q & = L +(C B - KCB)u +(L K +C AF - KCAF )y. (3.11-36) q q y y Теперь из уравнений (3.11-30) и (3.11-35) имеем:

r r r r r r x = F y + F q = F y + F + F Ky, y q y q q или r r r x + (F + F K )y + F. (3.11-37) y q q Это - второе уравнение наблюдателя. Таким образом, получено уравнеr r ние оценки x вектора x с помощью наблюдателя пониженного порядка.

3.11.3. Наблюдатель Люенбергера минимального порядка Рассмотрим ещё один подход к формированию наблюдателя. Так же, как в п.3.11.2 сформируем матрицы C, C и введём вектор q p r r q(t) = C x(t). (3.11-38) q r Оценку вектора q(t) будем искать как решение уравнения ) ) r r r r & q y u q(t) = L q(t) +G y(t) +G u(t), (3.11-39) q y u где L, G и G - некоторые, пока неизвестные матрицы.

r Как и прежде, ошибкой оценки вектора q будем считать разность ) r r r (t) = q(t)-q(t). (3.11-40) q В соответствии с уравнением объекта и выражением (3.11-38) запишем:

r r r & q(t) = C Ax(t) + C Bu(t). (3.11-41) q q r Найдём дифференциальное уравнение для ошибки q(t):

r r r r r r & q y u (t) =C Ax(t)+C Bu(t)-L q(t)-G y(t)-G u(t). (3.11-42) q q q r q Добавим и вычтем в правой части последнего равенства L q и с учётом (3.11-38) получим:

r r r r & q u y q (t) = L (t)+(C B -G )u(t)+(C A -G C -L C )x(t). (3.11-43) q q q q q Положим u G =C B (3.11-44) q и потребуем выполнения равенства y q C A -G C -L C = 0. (3.11-45) q q Тогда получим уравнение для ошибки наблюдателя r r & q (t) = L (t). (3.11-46) q q q Если назначить матрицу L так, чтобы её собственные числа лежали в левой полуплоскости достаточно далеко от мнимой оси, то ошибка наблюдателя, имеющая изначально место при ненулевых начальных условиях, будет с соответствующей скоростью стремиться к нулю. Так же быстро вектор r ) r y - x(t) = C (3.11-47) r p q r будет стремиться к вектору x(t). Вытекающее из (3.11-45) уравнение q y C A -L C = G C (3.11-48) q q называется матричным уравнением Люенбергера.

Теперь учтём, что задача построения наблюдателя, то есть нахож) r r дения оценки x вектора состояния x возникла из-за необходимости реализовать управление r r r v u(t) = Lx(t)+ k v(t). (3.11-49) Сама по себе оценка вектора состояния часто не нужна. Поэтому попы r таемся найти оценку Lx линейной комбинации координат вектора соr стояния Lx. Будем искать эту оценку в виде ) r r r Lx(t) = q(t) +y(t). (3.11-50) ) r r Так как с течением времени q стремится к q, то с учётом (3.11-38) и уравнения выхода объекта получим r r r Lx(t) = C x(t) +Cx(t), (3.11-51) q откуда следует L = C +C. (3.11-52) q Таким образом, необходимо решить следующую систему матричных уравнений:

q y C A -L C =G C;

q q (3.11-53) C +C = L.

q Эта система всегда имеет решение, если, во-первых, собственные чисq ла матриц L A не совпадают друг с другом и, во-вторых, размерrи q ность вектора q (размерность матрицы наблюдателя L ) s n ( -1), (3.11-54) u где n - размер вектора управления; - индекс наблюдаемости. Это таu кое число, для которого матрица C CA ~ N = (3.11-55) L CA - имеет ранг, равный n.

Таким образом, может быть сформулирован следующий итоговый алгоритм.

1. Найти индекс наблюдаемости и размерность наблюдателя s.

2. Задать желаемую динамику наблюдателя и записать матрицу его q динамики L в виде матрицы, сопровождающей свой характеристический полином.

y 3. Вычислить матрицы C, G,, согласно (3.11-53), а также матq u рицу G согласно (3.11-44).

4. Реализовать алгоритмы регулятора, включая наблюдатель Люенбергера минимального порядка:

) ) r r r r & q y u q(t) = L q(t)+G y(t)+G u(t);

(3.11-56) ) r r r r v u(t) = q(t)+y(t)+ k v(t).

3.12.Синтез реализуемого управления, обеспечивающий заданные динамические и статические свойства системы управления 3.12.1. Динамические свойства системы с обратной связью и наблюдателем полного порядка Предполагается, что известны уравнения управляемого и наблюдаемого объекта:

r r r r & x(t) = Ax(t) + bu(t );

(3.12-1) r r y(t) =Cx(t).

Кроме того, проведён синтез управления и получены матрица L и коv эффициент k для равенства r r r v u(t) = Lx(t) + k v(t), (3.12-2) обеспечивающего желаемые собственные числа замкнутой системы з з з,,..., или нули характеристического полинома замкнутой систе1 2 n мы n n- () = + +...+ +. (3.12-3) 1 n-1 n AC Предполагается также, что имеется наблюдатель ) ) r r r r & x(t) = (A - KC)x(t) + Bu(t) + Ky(t), (3.12-4) спроектированный таким образом, что его характеристический полином () имеет коэффициенты,,..., соответствующие некоторой L 1 2 n N N N выбранной совокупности собственных чисел,,...,.

1 2 n Учтём, что при формировании управления фактически можно )воспольr r зоваться не самим вектором состояния x, а лишь его оценкой x, то есть ) r r r v u(t) = Lx(t) + k v(t). (3.12-5) Таким образом, рассматривается функциональная схема полной системы (объект, формирователь управления и наблюдатель), представленная на рис. 3.r r r v ( t ) u(t ) y (t ) формирователь объект управления ) r x наблюдатель регулятор Рис. 3.18. Функциональная схема полной системы Запишем уравнения этой системы, то есть, совместно уравнения объекта с управлением и наблюдателя r ) r r r r & x(t) = Ax(t) + bLx(t) + Bkvv(t);

(3.12-6) ) ) ) r r r r r & x(t) = (A - KC)x(t) + BLx(t) + Bkvv(t) + KCx(t).

С использованием блочных матриц получим r r & A BL x(t) x(t) Bkv r ) ) = (3.12-7) r r & KC A - KC + BLx(t) + Bk v(t).

v x(t) Поведение этой системы зависит от собственных чисел матрицы динамики полной системы A BL X = (3.12-8) KC A - KC + BL.

Надо попытаться для X найти некоторую подобную матрицу, такую, чтобы можно было легко определить её собственные числа. Перейдём к подобной матрице с помощью преобразования - X = F X F. (3.12-9) f h h h Матрицу F выберем следующей:

h En 0n Fe =, (3.12-10) E - En n где индекс n указывает на размеры соответствующих нулевой и еди-ничных матриц. Легко убедиться, что F = F. В результате получим:

h h En 0 A BL En 0 A + BL - BL X = =.

f E - En KC A - KC + BL - En 0 A - KC n En Характеристический полином матрицы X не зависит от базиса и определяется следующим образом:

X () = det[E -X ]= En - (A + BL) En - (A - KC).

2n Отсюда следует X () = A () (). (3.12-11) C L Таким образом, полная система, в которой управление вычисляется в функции оценки вектора состояния, имеет 2n собственных чисел:

з з з N N,,...,,,... N. Собственные числа замкнутой системы со1 2 n 1 2 n хранили те собственные числа, были заданы при синтезе управления.

Отметим, что в полной системе передаточная функция от коr r мандного сигнала v до выходного сигнала y тождественно равна передаточной функции в идеализированной системе без наблюдателя. Это действительно так, потому что по определению передаточная функция связывает изображения соответствующих переменных при нулевых наr чальных условиях. При нулевых начальных условиях выход объекта y и ) r выход наблюдателя y тождественно равны.

3.12.2. Динамические свойства системы с обратной связью управлением и наблюдателем минимального порядка В случае использования наблюдателя минимального порядка в соответствии с (3.11-56) и (3.11-44) уравнения регулятора имеют вид ) ) r r r r & q q(t) = L q(t)+Gy y(t)+CqBu(t);

) r r r r u(t) = q(t)+y(t)+ kvv(t).

С учётом управления запишем совместно уравнения объекта и наблюдателя:

) r r r r r & x(t) = Ax(t)+ BCx(t)+ Bq(t)+ Bkvv(t);

(3.12-12) ) ) ) r r r r r r & q q(t) =GyCx(t)+CqBCx(t)+L q(t)+CqBq(t)+CqBkvv(t).

Отсюда матрица динамики полной системы имеет вид:

A +BC B X =. (3.12-13) y q G C +CqBC L +CqB Перейдём к подобной матрице с помощью преобразования (3.12-9), где En - Fe =Fe =. (3.12-14) C - Es q В результате, учитывая (3.11-52) и (3.11-48), получим:

A + BL - B Xf =. (3.12-14) 0 Lq Отсюда следуют те же выводы, что и полученные выше для системы с наблюдателем полного порядка.

3.12.3. Результирующий алгоритм синтеза для системы с одним входом и одним выходом 1. Для матрицы объекта A вычислить характеристический полином A() и зафиксировать его коэффициенты,,..., n.

1 2. В соответствии с требованиями к динамике замкнутой системы задать з з з желаемые значения собственных чисел,,..., вычислить 1 2 n n A () = ( + ), C i=то есть найти коэффициенты желаемого характеристического полинома,,...,.

1 2 n 3. Рассчитать матрицу обратной связи в базисе УКП:

LU = [lu lu lu n], где lu j = n j -.

1 2 +1- n+1- j 4. Задать желаемые собственные числа наблюдателя N, N,..., N и 1 2 n вычислить коэффициенты характеристического полинома наблюдателя:,,... n.

1 5. Рассчитать матрицу обратной связи наблюдателя в базисе ИКП:

kI k I KI = kI, где kI j = n j - n j.

3 +1- +1 M kIn 6. Рассчитать матрицу перехода от исходного базиса к базису УКП -U = UUU, матрицу выхода в этом базисе CU = CU и, при наличии h h требования обеспечить единичную статику, вычислить коэффициент n по командному сигналу kv =.

CU 7. Рассчитать матрицу перехода от базиса [u] (УКП) к базису [i] (ИКП) -I = NI NU и обратную ей матрицу.

U r 8. Рассчитать вектор b в базисе ИКП, используя переход от базиса УКП r r -bI = I bU.

U 9. Рассчитать матрицу обратной связи L в базисе ИКП, используя переход от базиса [u] к базису [i]: LI = LUIU.

10. Записать уравнение наблюдателя в базисе ИКП:

) r ) r r r r & xI (t) = (AI - KICI + bILI)xI (t) + KIy(t) + bIkvv(t ).

11. Записать уравнение для формирования управления:

) r u(t) = LI xI (t ) + kvv(t).

Уравнения, полученные в пунктах 10 и 11 – это уравнения регулятора. Следует подчеркнуть, что в них используется вектор оценки состояния объекта, записанный не в исходном базисе, а в базисе идентификационного канонического представления.

3.12.4. Итоговые примеры полного синтеза систем управления 3.12.4.1. Система со скалярными входом и выходом и наблюдателем полного порядка Задан объект, представленный структурной схемой на рис. 3.19.

x x u y Рис. 3.19. Структурная схема объекта Требуется синтезировать реализуемое управление, обеспечивающее единичную статику по командному сигналу, а также динамику основного контура системы и наблюдателя в соответствии с желаемыми собственными числами з = -5 ± j5; N = N = -10.

1,2 1 Ниже приведены промежуточные результаты расчёта.

Матрица управляемости объекта и ей обратная в исходном базисе:

0 1 1 - U = 1 - 1 ; U = 1 0.

Матрица управляемости объекта и ей обратная в базисе УКП:

0 1 3 - UU = 1 - 3; UU = 1 0.

Коэффициенты характеристического полинома объекта, желаемой системы и наблюдателя:

r 3 10 r r = ;. =.

2 50; = Матрица обратной связи в базисе УКП:

LU = [- 48 - 7].

Матрица наблюдателя:

KI = 17.

Матрица перехода от исходного базиса к базису УКП:

1 U = H 2 1.

Матрица выхода в базисе УКП:

CU = [1 0].

Коэффициент по командному сигналу kv = 50.

Матрица наблюдаемости базисе УКП, обратная ей и та же матрица в базисе ИКП:

1 0 0 - NU = NU = 0 1, NI = 1 - 3.

Матрица перехода от базиса ИКП к базису УКП:

0 U = I 1 - 3.

Вектор передачи управления в базисе ИКП:

r bI =.

- Матрица обратной связи в базисе ИКП:

LI =[- 7 - 27].

Матрица динамики наблюдателя в базисе ИКП:

0 -100.

L = AI -KICI = I 1 - Результирующие уравнения регулятора:

) ) & x = -100x + u + 98y ;

1 ) ) ) & x = x - 20x - 3u + 17y ;

2 1 ) ) u = -7x - 27x + 50v.

1 В этих уравнениях индекс i при координатах вектора оценки состояния опущен.

3.12.4.2. Система со скалярными входом и выходом и наблюдателем пониженного порядка Для объекта, заданного на рис.3.19, построить наблюдатель пониженного порядка. Учесть, что управление объектом строится на основе собственных чисел замкнутой системы з = -5 ± 5 j.

1, Для этого объекта - 2 1 A = ; B = ; C = [1 0], 0 - собственные числа объекта - = -1, = -2.

1 Порядок объекта n = 2, размерность выхода ny = 1, следовательно, размерность наблюдателя пониженного порядка nq = 1.

Зададимся собственным числом наблюдателя Н = -10 (оно должно располагаться на комплексной плоскости левее собственных чисел замкнутой системы).

Так как y = x, то примем q = x. Тогда 1 y 1 0 x =.

q 0 xТаким образом, выбрана матрица Cq = [0 1].

Ей соответствует невырожденная квадратная матрица 1 0.

- Cp = Cp = 0 Соответственно получаем 1 Fy = ; Fq =.

0 q Теперь в соответствии с (3.11-33) определим L :

- 2 - 2 1 0 q L = [0 1] - K[1 0] = -1- K.

0 - 11 0 - Поскольку назначено Н = -10, то - 1- К = -10 и К = 9.

q Таким образом, L = -10, и первое уравнение наблюдателя принимает вид:

& = -10 - 72y + u.

r Запишем оценку для x :

r 1 0 x x(t) = y(t) +.

1 = x - 9 Отсюда x = 9y +.

Замкнем систему (сформируем управление). В п.3.12.4.1 была рассчитана матрица обратной связи LU = [- 48 - 7].

Переведем её в исходный базис:

-1 - L = LUU = LUUUUe = [- 34 - 7].

e Таким образом, управление принимает вид u = -34y - 7x2 + 50v.

Структурная схема полной схемы с регулятором и с наблюдателем пониженного порядка представлена на рис. 3.20.

x = y v u 50 объект ) x x Рис. 3.20. Структурная схема полной системы для примера 3.12-3.12.4.3. Система со скалярными входом и выходом и наблюдателем пониженного порядка Структурная схема объекта представлена на рис. 3.21.

u x3 xx1 yyxРис. 3.21. Структурная схема объекта Ему соответствуют матрицы 0 1 0 0 0 1 1 0 ; C = 1 0 0 0.

A = ; B = 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 - 2 Требуется рассчитать управление и построить наблюдатель минимального порядка.

Объект имеет собственные числа = 0; = +1; = -1; = -1 2 3 и характеристический полином 4 3 A() = + 2 - - 2.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.