WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 18 |

Ранг матрицы наблюдаемости C - N = = CA - 5 в данном случае меньше порядка объекта и равен единице, так как второй столбец пропорционален первому. Следовательно, данный объект неуправляем.

Правые и левые собственные векторы матрицы динамики и передаточная функция по вектору состояния такие же, как и в предыдущем примере. Передаточная функция по выходу W (p) = -.

y p + У неё отсутствует полюс, равный второму собственному числу матрицы A.

Определим свободное движение объекта по вектору состояния и по выходу:

2 r r r r r At i t T x(t) = e x(0) = e v d x(0);

i i i =.

r y(t) = Cx(t).

Получаем:

r r r - 0.5 1.5 1.5 - 1. -5t -7t x(t) = x(0)e + 0.5 - 0.5x(0)e ;

- 0.5 1. r -5t y(t) = [1 - 3]x(0)e.

Если выбрать r r x(0) = v =, r r то так как векторы v и d взаимно ортогональны, и их скалярное произ2 ведение равно нулю, получим r -7t x(t) = 1e, в то время как r y(t) = 0.

3.4. Замена базиса в линейном конечномерном пространстве Линейное пространство R называется конечномерным, а число n – числом измерений этого пространства или его размерностью (dimR = n ), если в R существует n линейно независимых векторов, в то время как любые n + 1 векторов в R линейно зависимы.

Система из n линейно независимых, заданных в определенном r r r порядке векторов e,e,...,e в n -мерном пространстве называется ба1 2 n зисом этого пространства.

Если каждый из векторов базиса ортогонален любому другому вектору этого базиса, т.е. их скалярные произведения равны нулю, то такой базис называется ортогональным. Если, кроме того, модуль каждого вектора базиса равен единице, то базис называется ортонормированным.

r r r r r Векторы x,e,e,...,e, где x - любой вектор из R, линейно зави1 2 n симы, так как их n + 1. Отсюда справедливо равенство:

r r r r x + e + e +...+ e = 0, (3.4-1) 0 1 1 2 2 n n откуда r r r r x = x e + x e +... + x e. (3.4-2) e1 1 e2 2 en n Здесь:

r x,x,...,x - координаты вектора x в базисе {e}.

e1 e2 en Столбец xe x r e xe = (3.4-3)...

x en r называют координатным столбцом вектора x в этом базисе.

r x - вектор в пространстве, и только если в этом пространстве выr берем базис, то возникает понятие координатного вектор-столбца xe.

Если установим другой базис, то ему будет соответствовать другой координатный вектор-столбец.

Пусть в n -мерном пространстве задано два базиса:

r r r {e} : e1, e2,..., en и r r r {f } : f1, f2,..., fn.

Так как это векторы одного и того же пространства, то каждый из векторов базиса {f } можно разложить через векторы базиса {e} :

r r r r f1 = fe11e1 + fe21e2 +...+ fen1en ;

r r r r f2 = fe12e1 + fe22e2 +...+ fen2en ;

(3.4-4) r r r r fn = fe1ne1 + fe2ne2 +...+ fennen.

Коэффициенты feik (здесь i –номер координаты, а k –номер раскладываемого вектора) можно представить в виде квадратной матрицы fe11 fe12... fe1n f fe22... fe2n e Fe =, (3.4-5)....................

f fe n2... fe nn e nили r r r Fe = [fe1 fe2 fen]. (3.4-6) Каждый из столбцов матрицы Fe – это координатные столбцы векторов r r r f1, f2,..., fn базиса {f } в базисе {e}.

С учетом введенных обозначений систему равенств (3.4-4) можно записать в виде r r r r r r f1 = [e1 e2... en ] fe = [e]fe 1 r fr = [e] fe. (3.4-7)..................................................

r fr = [e] fe n n Можно ещё более упростить (укрупнить) эти равенства, используя понятия блочных матриц:

r r r r r r [f1 f2 fn]= [[e] fe1 [e] fe2 [e] fen] (3.4-8) или, в итоге [f ] = [e ] F. (3.4-9) e Матрица Fe называется матрицей перехода от базиса {e} к базису {f }. Так как Fe невырожденная, то [e]= [f ]E, (3.4-10) f где матрица Ef = Fe -1 (3.4-11) называется матрицей перехода от базиса {f } к базису {e}.

r r ПРИМЕР 3.4-1. Пусть в R2 задан базис {e} векторами e1,e2 (рис. 3.3).

r r e f r f r e Рис. 3.3. Связь между векторами различных базисов Введем базис {f } следующим образом:

r r r f1 = 1 e + 1 e ;

1 r r r f2 = - 1 e + 0 e.

1 Запишем матрицу перехода от базиса {e} к базису {f } :

1 - Fe =.

1 Найдем обратную матрицу 0 Fe -1 = -1 и, в соответствии с (3.4-10), получаем r r r r 0 1 r r r [e1 e2 ] = [f1 f2] = [- f2 f1 + f2].

-1 Этот результат подтверждается анализом рис. 3.3.

Рассмотрим, как связаны между собой компоненты, (координатные r столбцы) одного и того вектора x в разных базисах. В соответствии с (3.4-2) r r r r x = xe1e1 + xe2e2 +...+ xenen (3.4-12) и r r r r x = xf 1f1 + xf 2f2 +...+ xfnfn. (3.4-13) Приравнивая правые части последних двух равенств, получим r r [e] xe = [f ] xf, (3.4-14) а с учётом (3.4-9) r r [e]xe = [e]Fe xf (3.4-15) Окончательно получаем r r r r - xe =Fexf ; x = F x. (3.4-16) f e e 3.5. Линейные операторы и матрицы линейных операторов.

Отображение A линейного пространства X в линейное пространство Y A : X Y называют линейным преобразованием или линейным оператором, если оно удовлетворяет двум условиям:

а) r r r r r r A (x + v ) = A (x) + A (v ) для всех x,v X ; (3.5-1) б) r r r r x v X A (x) = A (x) для всех и любого. (3.5-2) r rЕсли отображение A переводит вектор x в некоторый другой вектор y :

r r (3.5-3) A (x) = y, r r r r то вектор y - называют образом вектора x, а x - прообразом вектора y.

n Линейный оператор, отображающий линейное пространство R само в себя, называется линейным оператором в Rn.

r r r r n Пусть x R ;y Rn и y = A (x). Рассмотрим, как связаны в r r этом случае координаты r rвекторов x и y. Будем ориентироваться снаr чала на базис [e] = [e1 e2 en ]. Очевидно при этом, что n r r x = xekek ; (3.5-4) k =n r r y = yeiei. (3.5-5) i =Рассмотрим, прежде всего, как действует оператор A на элементы базиса. Пусть r r r r e e e A (e1) = a11e1 + a21e2 +...+ an1en................................................

r r r r e e e A (ek ) = a1ke1 + a2ke2 +...+ anken (3.5-6).................................................

r r r r e e e A (en ) = a1ne1 + a2ne2 +...+ annen Из соотношений (3.5-3) и (3.5-4) следует n r r y = xe A (ek ). (3.5-7) k k =Учтём (3.5-6):

n n r r e y = xek ikei. (3.5-8) a k =1 i =Сопоставляя это равенство с (3.5-5), получим n r e yei = (3.5-9) a xek, i = 1,2,...,n ik k =Запишем этот результат в матричной форме:

r r ye = Ae xe, (3.5-10) r r где, как и раньше ye и xe - координатные вектор-столбцы, соответствующих векторов в базисе [e], а матрица e e e a a... a 11 12 1n ae e e a... a 21 22 2n A = (3.5-11) e....................

a a... a e e e n1 n2 nn называется матрицей оператора A в базисе [e]. Элементы её столбr r цов по построению - это координаты векторов A (e ), A (e ).....

1 базисе [e]. Аналогично вводится понятие матрицы A того же оператоf ра A в некотором другом базисе [f ].

Рассмотрим теперь, как изменяется матрица оператора A при r r n замене базиса в пространстве R. Пусть, как и прежде y = A (x) и матрица A, в соответствии с (3.5-10) связывает между собой коордиe r r натные столбцы векторов x и y в базисе [e].

Согласно ранее полученным результатам - соотношениям (3.4-16), r r x = F x (3.5-12) e e f и r r. (3.5-13) y = F y e e f Из этих двух соотношений и (3.5-10) легко выводится равенство r r y = A x, (3.5-14) f f f где - A = F A F. (3.5-15) f e e e Эта формула позволяет связать между собой матрицы одного и того же оператора в различных базисах. В математике такие матрицы называются подобными. Ранее (п.2.4.3) уже отмечалось, что подобные матрицы имеют одинаковые собственные числа.

ПРИМЕР 3.4-2. Пусть имеется базис [e] (рис. 3.4) 1. Зададим оператора A его действием на векторы базиса [e]:

r r r A (e ) = e + 2e ;

1 1 r r A (e ) = -e.

2 Тем самым мы определили матрицу оператора A в базисе[e]:

1 - A = e 2 0.

r 2. Зададим вектор x в базисе [e]:

r r r x = e - e.

1 r r y A(e ) r e r r A(e ) e 2 r r r x f f Рис. 3.4. Действие оператора на вектор Отсюда r x =.

e - 3. Рассчитаем координатный вектор, используя (3.5-14):

r r 1 -1 2.

y = A x = = e e e 2 -1 4. Введем новый базис [f ]:

r r f1 = -e2 ;

r r r f2 = -e1 - e2.

Тогда матрица перехода от базиса [e] к базису [f ] будет иметь вид 0 - F =.

e -1 - 5. Определим матрицу A оператора A в базисе [f ]:

f 1 -1 1 -1 0 -1 1 -A = F A F = =.

f e e e -1 0 2 0 - -1 -1 r 6. Найдём координатный столбец вектора x в базисе [f ]. В соответствии с рис. 3.r r r x = 2f - f.

1 С другой стороны, согласно (3.5-12) r r - x = F x. (3.5-16) f e e Оба подхода дают один и тот же результат:

r xf =.

- r В итоге получим координатный столбец вектора y в базисе [f ]:

r r yf = Af xf =.

- ПРИМЕР 3.5-1. Дана матрица A оператора A в базисе [e]:

e 0 A = e 0 r r и два вектора - f и f, координатные столбцы которых в том же базисе 1 имеют вид:

r r 1 f = ; f =, e1 e2 то есть r r r f = e + 2e ;

1 1 r r f = 3e.

2 Примем эти векторы в качестве нового базиса и вычислим в нём матрицу A оператора A. Для этого выполним следующие действия.

f 1. Составим матрицу перехода от базиса [e] к базису [f ]:

1 F = e 2 3.

2. Вычислим обратную матрицу:

1 2 Fe -1 =.

3 3. Вычислим матрицу A :

f 2 - A = F A F =.

f e e e - - 3.6. Замена базиса в пространстве состояний динамической системы Пусть заданы уравнения системы r r r x = Ax(t ) + Bu(t );

(3.6-1) r r y (t ) = Cx(t ).

Для этой системы могут быть найдены матрицы управляемости 2 n- U = [B AB A B... A B], (3.6-2) наблюдаемости C CA N =, (3.6-3)...

CA n- передаточной функции W (p) = C(pE - A)- B. (3.6-4) y Могут быть также записаны выражения для векторов состояния и выхода t r r r x(t ) = (t - t )x(t ) + 0 0 (t - )Bu( )d ;

t(3.6-5) t r r r y(t) = C(t - t )x(t ) + 0 0 C(t - )Bu( )d.

t Полученные в предыдущих разделах результаты не были ограничены выбором какого-либо конкретного базиса в пространстве состояний. Все они были справедливы для любого базиса, в котором записаны матрицы A, B, C, Ф, W, U, N. Для определённости назовём этот базис базисом [e]. В этом случае можно подразумевать, что символы всех векторов и матриц в выражениях (3.6-1) - (3.6-5) снабжены индексом "e ". В дальнейшем нам будет удобно выбирать вполне определенный базис в пространстве состояний X таким образом, чтобы матрицы имели «хорошую», каноническую форму. Такой выбор базиса может оказаться целесообразным, так как, во-первых, канонические представления матриц системы имеют минимальное число ненулевых элементов и поэтому удобны для моделирования и других вычислений, а во-вторых, канонические представления позволяют получить чрезвычайно простые алгоритмы синтеза управления.

Рассмотрим перевод уравнений (3.6-1) в некоторый новый базис F. Отметим при этом, что, переходя к новому базису в пространстве состояний, преобразовывая базис для пространства вектора состояний, не будем изменять базис пространства входов и пространства выходов r r системы. Заменим в (3.6-1) x на x согласно (3.5-12):

e f r r r & F x = A F x + B u;

e f e e f e (3.6-6) r r y = C F x.

e e f -Умножая слева обе части дифференциального уравнения на F, получим:

r r r & xf = Fe -1AeFe xf +Fe -1Beu. (3.6-7) Учитывая (3.5-15), и вводя дополнительные обозначения -A = F A F ;

f e e e - B = F B ; (3.6-8) f e e C = C F, f e e окончательно получаем уравнения системы в базисе [f ]:

r r & xf = Af + Bf u(t);

(3.6-9) r r & y(t) = Cf x(t).

ПРИМЕР 3.6-1. Пусть система задана схемой моделирования, привеr денной на рис. 3.5. Выберем в качестве координат вектора состояний x в исходном базисе [e] выходы интеграторов 1 и 2. В результате получим уравнения системы в исходном базисе:

r r r & xe(t) = Aexe(t) + Be u(t);

r r y(t) = Ce xe(t), y x x u e eРис. 3.5. Схема моделирования в исходном базисе [e] где 1 ; C = 1].

1 - 1 ;

A = B = [e e e 1 - Зададим матрицу перехода к новому базису:

1 1, F = e 1 которой соответствуют уравнения r r r f1 = e1 + e2 ;

r f2 = e1.

Вычислим обратную матрицу -1 0 F = e 1 - 1.

В соответствии с (3.6-8) находим 0 1 ; B = 0; C = 0].

A = [f f f 0 0 Этим матрицам соответствуют уравнения & xf = xf ;

1 & xf = u ;

y = xf, которым, в свою очередь, отвечает схема, приведённая на рис. 3.6.

xf 2 xf 1 y u Рис. 3.6. Схема моделирования в базисе [f ] Собственные числа системы, естественно, сохранились, так как матрицы А и Af подобны. Связь между входом и выходом осталась l неизменной, а схема моделирования стала заметно проще.

3.7. Вычисление матрицы преобразования базиса в пространстве состояний динамической системы с помощью матриц управляемости и наблюдаемости Пусть матрицы управляемой системы представлены двух разrв личных базисах [e] и [f ] в пространстве состояний вектора x :

{A,B }, {A,B }.

e e f f Рассмотрим матрицу управляемости:

2 n- U = [B A B A B... A B ]. (3.7-1) f f f f f f f f В соответствии с (3.6.-8) -Af Bf = F AeBe :

e -1 -1 -1 -1 Af2Bf = F AeF F AeF F Be = F AeBe ;

e e e e e e ………….

-1 k Afk = F Ae Be. (3.7-2) e Учитывая эти равенства в (3.7-1), получим выражение для перевода матрицы управляемости из одного базиса в другой:

- Uf = F Ue. (3.7-3) e T Умножая это равенство справа на Ue, получаем:

T -1 T UfUe = F UeUe. (3.7-4) e Если система управляема, то rank Ue = rank Uf = n. Это значит, что матрица Ue имеет n линейно независимых строк и может быть представлена в виде rT z rT z Ue =, (3.7-5)...

r zT n r r r где векторы z1,z2...zn – линейно независимы. Следовательно, матрица rT z rT z r r r T UeUe = [z1 z2... zn], (3.7-6)...

r zT n которая является матрицей Грама, имеет положительный определитель, а значит – невырождена. Следовательно, -1 T T F = UfUe (UeUe )-1. (3.7-7) e Если система имеет скалярный вход (u-скаляр), то матрица B стаr новится вектором (B = b), а матрица Ue – квадратной, в управляемой системе – невырожденной. Тогда:

-1 - F = UfUe. (3.7-8) e Отметим, что в данном рассуждении F – матрица перехода от базиса e [e] к базису [f ], поэтому обратная ей - это матрица перехода от базиса [f ] к базису [e]:

- F = E. (3.7-9) e f Рассмотрим другой случай, когда переход от базиса [e] к базису [f ] задан парой матриц {A,C }, {A,C } e e f f некоторой наблюдаемой системы. Запишем матрицу наблюдаемости (3.3-7) и с учётом (3.6-8) проведём аналогичные предыдущим преобразования:

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.