WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |

В то же время, приравняв нулю (t) в (2.11-20), можно непосредE ственно получить выражение для формирования управления u(t) через координаты вектора состояния объекта. Более того, если потребовать выполнения равенства ( ( ( x13)(t) + x12)(t) + x11)(t) + x1(t) = v(t), (2.11-22) 1 2 3 то с учётом (2.11-20) получим систему с обратной связью по вектору состояния и управлением r v u(t) = Lx(t) + k v(t), (2.11-23) где фигурируют матрица обратной связи L = [- - 4 + 2 - 3 - ] (2.11-24) 3 1 2 и передаточный коэффициент по командному сигналу v k =. (2.11-25) Таким образом, без решения задачи АКР получено оптимальное управление, обеспечивающее процессы в замкнутой системе, имеющей собственные числа, соответствующие характеристическому полиному эталонной системы (2.11-14). Кроме того, в полученной системе обеспечена единичная статика по командному сигналу v (2.11-17).

В этом примере проиллюстрирована идентичность задачи АКР с надлежащим образом выбранным критерием оптимальности задаче модального синтеза. В следующих разделах будет подробно изложена методика модального синтеза.

3. Синтез линейных непрерывных систем 3.1. Выбор корректирующих звеньев. Метод желаемых ЛЧХ Как уже отмечалось, существует связь между частотными характеристиками системы, как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии, и протекающими в ней переходными процессами. На протяжении многих лет инженерами накоплен большой опыт по синтезу систем автоматического управления на базе формирования эталонных, желаемых частотных характеристик соответствующих разомкнутых систем. В литературе имеются обширные таблицы таких эталонных логарифмических амплитудно-частотных характеристик для большого числа типовых передаточных функций объектов управления. В настоящем пособии излагается лишь основная идея такого подхода.

Рассматривается одноконтурная система (рис. 3.1). Разомкнутый контур состоит из последовательно включённых неизменяемой части системы (в неё входят объект, привод, датчики, преобразующие и согласующие устройства) с передаточной функцией W0 (p) и корректирующее звено с передаточной функцией W (p).

k v y W ( p) W (p) k Рис. 3.1. Исходная структурная схема Предполагается, что заданы требования к основным показателям качества, обсуждавшимся в п.2.10.1. В соответствии с этим по упомянутым таблицам, или на основе подхода, изложенного в п.2.10.4, строится асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) L () разомкнутой системы, удовлетворяющая указанжел ным требованиям. На этом же рисунке строится асимптотическая ЛАЧХ неизменяемой части системы L0() = W0( j). (3.1-1) дБ Потребуем, чтобы комплексный передаточный коэффициент разомкнутой системы был равен функции, определяемой желаемой ЛАЧХ, то есть W ( j ) = ( j ) ( j ) (3.1-2) жел W k W или () = () + (). (3.1-3) L L L жел k В соответствии с этим простой операцией графического вычитания легко получить асимптотическую ЛАЧХ корректирующего звена () = () - (). (3.1-4) L L L k жел По ней уже нетрудно восстановить передаточную функцию W (p).

k ПРИМЕР 3.1-1. Передаточная функция неизменяемой части системы.

(p) = W p(p + 1)(0.1p + 1) Требования к системе.

1) При отработке командных сигналов, меняющихся со скоростью до 10ед/с, ошибка не должна превосходить 0.1 ед..

2) Время регулирования t 1с.

р 3) Ошибка воспроизведения гармонических сигналов с амплитудой A v на частотах до 1рад/c должна быть не более 0.05 A.

v Последовательность расчёта.

1. Построить асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой части системы L0() (рис. 3.2).

2. Построить желаемую ЛАЧХ L ().

жел В связи с тем, что согласно п.1 требований к системе при линейно изменяющемся во времени командном сигнале допустима постоянная ошибка, система должна иметь астатизм первого порядка. Поэтому низкочастотная асимптота должна идти с наклоном -20 дБ/дек. В соответствии с (2.10-22) добротность системы 10[ / ] vед c - K = = = 100 c.

() 0.1[ ед] Следовательно, низкочастотная асимптота должна пересекать ось частот при = 100 рад/с.

Частота среза определяется с учётом требуемого времени регулирования из (2.10-34):

(3 4) = 10 рад / c.

c t р Таким образом, среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ на этой частоте пересекает ось абсцисс, имеет наклон -20 дБ/дек имеет протяжённость, равную одной декаде, то есть занимает интервал 3.16 31.6.

Диапазон частот > 31.6 считаем высокочастотным. Наклон высокочастотной асимптоты выбираем равным -60 дБ/дек, - таким же, как наклон высокочастотной асимптоты неизменяемой части системы.

Для того, чтобы упростить реализацию корректирующего звена, низкочастотную и среднечастотные асимптоты соединяем отрезком прямой с наклоном -40 дБ/дек. При этом следует учесть требование по точности воспроизведения гармонического сигнала: в соответствии с (2.10-33) на частоте 1 рад/c желаемая ЛАЧХ должна пройти выше уровня 26 дБ.

L[дБ] L k -20 дБ/дек +40 дБ/дек L k -20 дБ/дек 26 дБ L жел 1 0.0.1 3.31.--40 дБ/дек L --60 дБ/дек -Рис. 3.2. Иллюстрация к методу желаемых ЛЧХ 3. Построить ЛАЧХ корректирующего звена, производя графическое вычитание отрезков прямых в соответствии с (3.1-4).

4. Замерить значения сопрягающих частот асимптотической ЛАЧХ корректирующего звена и записать соответствующее выражение для передаточной функции 1 100(p + 1)( p +1)( p + 1) 3.16 W (p) =.

k 1 ( p +1)( p + 1)0.33 31.3.2. Управляемость линейных стационарных систем Непрерывная линейная система r r r & x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) (3.2-1) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда она может r быть переведена из любого начального состояния x(t0 ) в произвольный r момент времени t0 в любое конечное состояние за конечное время x(t ) t1 - t0.

r Примем начальные условия нулевыми: x(t0 ) = 0. Тогда, в соответствии с формулой Коши t r r A ( t1 - ) x(t1) = Bu( )d. (3.2-2) e t Принимая во внимание выражение для матричной экспоненты в виде бесконечного ряда A(t1 - ) A2(t1 - )A(t1- ) = E + + +..., (3.2-3) e 1! 2! равенство (3.2-2) можно записать в виде t t t 1 1 r r r r (t - ) x(t ) = B )d + AB - )u(t)d + A B u( )d +...

1 u( (t2! t t t 0 0 Обозначим:

i t r r (t - ) i = u( )d =. (3.2-4) i...

i! t i,ni i Представим произведения A B в виде блочных матриц векторов r :

r r r i...

A B =. (3.2-5) i1 i2 in Тогда i tr r r nu r r (t - ) i A B u( )d = [... ]= (3.2-6) i1 i2 inu i i i! =tи nu r r (3.2-7) x(t ) =.

1 i i i =0 =r В результате вектор x(t ) может рассматриваться как линейная r комбинация векторов, являющихся вектор-столбцами матриц i r 2 B, AB, A B, A B,.... Иначе говоря, конечное состояние x(t1) принадлежит линейному подпространству, порождаемому вектор-столбцами 2 бесконечной последовательностью матриц B, AB, A B, A B,....

В этой последовательности должна появиться матрица AlB, все вектор-столбцы которой линейно зависят от вектор-столбцов предыду2 -щих матриц B, AB, A B,..., Al B. Такая матрица обязательно должна иметь место, так как в линейном n-мерном пространстве не может быть более чем n линейно–независимых векторов. Отсюда же следует, что l n.

Таким образом, можно записать - AlB = B + AB +... + Al Bl, (3.2-8) 0 1 -где - соответствующие диагональные матричные коэффициенты i i 0 0 i i =. (3.2-9) 0 0 in + Очевидно, тем же свойством обладает и матрица Al B, так как +1 2 -Al B = AAl = AB + A B +... + Al Bl + AlBl. (3.2-10) 0 1 -2 -По индукции можно утверждать то же самое и для всех AkB при k l.

r Итак, конечное состояние x(t1) принадлежит линейному подпространству, порождаемому вектор-столбцами матриц 2 - B, AB, A B,..., An B (здесь учтено, что l n ). Если эти вектор-столбцы не порождают n мерное пространство, то в такой системе можно достичь лишь тех состояний, которые принадлежат подпространству меньшей размерности.

Таким образом, критерий управляемости формулируется следующим образом:

r r r & Система x(t) = Ax(t)+ Bu(t) полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости 2 - U = [B AB A B L An B] (3.2-11) равен n, то есть полной размерности линейного пространства. При этом говорят, что пара матриц {A, B} полностью управляема.

ПРИМЕР 3.2-1. Определить управляемость системы & x1 = -4x1 + 5x2 -5U;

& x2 = 3x1 - 2x2 + 3U;

y = x1.

Для этой системы - 4 - A=, B = 3 - 2 и матрица управляемости - 5 U = [A AB]=.

3 - Определитель этой матрицы равен нулю, она имеет ранг меньше двух, то есть порядка системы, и система является неуправляемой.

Отметим, что собственные числа матрицы динамики системы = +1; = -7, 1 то есть система неустойчива. В тоже время передаточная функция по выходной координате Wuy (p) = -, p + у неё только один, устойчивый полюс и по ней не видно, что в действительности система неустойчива.

Матричная передаточная функция по вектору состояния p + Wux (p) =.

p + Ей соответствует решение дифференциального уравнения системы t r r - -7(t - ) x(t) = eAt x(0) + e u( )d.

Как видно, в вынужденной составляющей решения отсутствует одна - неустойчивая - мода. Кроме того, независимо от управляющего сигнала для координат вынужденной составляющей вектора состояния существует линейная связь x (t) = -0.6x (t).

2В 1В ПРИМЕР 3.2-2. Определить управляемость системы & x1 = -4x1 + 5x2 -10U;

& x2 = 3x1 - 2x2 + 3U;

y = x1.

Для этой системы - 4 - A =, B = 3 - 2 и матрица управляемости -10 U = [A AB]=.

3 - Определитель этой матрицы не равен нулю, она имеет ранг, равный двум, то есть порядку системы, и система является полностью управляемой.

Отметим, что в данном случае полюсы передаточной функции 10(p + 1) Wuy (p) = - (p -1)(p + 7) полностью повторяют все собственные числа матрицы A.

3.3. Наблюдаемость линейных стационарных систем.

В теории автоматического управления большую роль играет задача восстановления вектора состояния по результатам наблюдения за входом и выходом объекта.

Непрерывная система v v v & x(t) = Ax(t) + Bu(t) (3.3-1) v v y(t) = Cx(t) v называется наблюдаемой, если вектор состояния x(t ) можно опредеr лить, зная y(t) на некотором интервале времени t = [t, t ]. Если это 0 справедливо для любого t, то система называется полностью наблюдаемой. Задачей настоящего параграфа является вывод критерия наблюдаемости.

r Достаточно рассмотреть задачу при u(t) = 0. Тогда r r At y(t ) = Ce x(0). (3.3-2) В развёрнутом виде - это система алгебраических уравнений C x + C x +... + C xn = y (t ) 11 1 12 2 1n 1 C x + C x +... + C xn = y (t ) 21 1 22 2 2n 1, (3.3-3) Cny x +... + Cny xn = yny (tn ) 1,n в качестве неизвестных в которой выступают координаты вектора состояния. В связи с тем, что, как правило, ny < n, число уравнений оказывается меньше числа неизвестных, и решение невозможно.

В соответствии с теоремой Кэли-Гамильтона каждая квадратная матрица удовлетворяет собственному характеристическому уравнению:

- An + An +...+n A +nE = 0. (3.3-5) 1 -Поэтому матричная экспонента, являющаяся степенным рядом относительно матрицы A, может быть представлена в виде полинома степени n -1. С учетом этого равенство (3.3-2) можно записать в виде:

n-r r y(t) = (t) C Al x(0), (3.3-5) l l =где (t) – соответствующие коэффициенты этого полинома. Для i-й соl ставляющей вектора выхода соответственно будем иметь n-v v yi (t) = (t)(CAl )i x(0). (3.3-6) l l =Здесь (CAl )i – i -я строка матрицы (CAl ).

Если набор (CAl )i для i = 1,2,...,ny ; l = 0,1,2,...,n -1 не содержит полного базиса, то есть n линейно независимых строк, иначе говоря, если матрица C CA N = CA2 (3.3-7)...

CAn-имеет ранг, меньший, чем n, то в качестве ненулевого вектора начальr ных условий x(0) 0 может быть выбран вектор, ортогональный всем строкам матрицы N. Тогда в соответствии с (3.3-5) получим, что r y (t ) = 0 для всех t, т.е. система не наблюдаема.

r Теперь докажем, что если ранг матрицы N равен n, то x(t ) может быть определен с помощью конечного числа измерений вектора выхода v y(t). Обозначим (tk ) = [ (tk )E (tk )E... (tk )E], (3.3-8) 0 1 n-где Е – квадратная единичная матрица размером [ny ny ]. Моменты измерения tk выберем таким образом, чтобы для различных значений k элементы (t ) отличались друг от друга. С учетом введенного обознаi k чения равенство (3.3-5) примет вид r r y (tk ) = (tk )Nx(0). (3.3-9) Известно, что ранг произведения любых двух матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Ранг матрицы (t ) не превосхоk дит числа ее строк ny < n. Проводя многократные измерения на интервале времени переходного процесса системы, построим расширенный вектор выхода r y (t ) r y (t ) r Y = (3.3-10) R...

r y (t ) n и обозначим ) (t R =.... (3.3-11) (tn ) Матрица имеет n n строк. Моменты измерений должны быть y выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие rank = n. Как R было обусловлено, ранг матрицы N также равен n. Поэтому уравнение r r N x(0) = Y (3.3-13) R R содержит n линейно независимых скалярных уравнений, то есть оно v может быть разрешено относительно вектора x(0).

Таким образом, доказан следующий критерий полной наблюдаемости стационарных линейных систем:

Линейная стационарная система вполне наблюдаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости N равен n.

ПРИМЕР 3.3-1.. Объект управления задан уравнениями & x = -8x + 3x + 3u;

1 1 & x = -x - 4x + 2u;

2 1 y = x - 2x.

1 Этим уравнениям соответствуют матрицы - 8 3 A = ; B = [ 2; C = - 2].

-1 - Определитель матрицы управляемости 3 - U = 2 не равен нулю, поэтому система управляема. Матрица наблюдаемости C 1 - N = = CA - 6 - Её определитель также отличен от нуля, следовательно, система полностью наблюдаема.

Для данного объекта нетрудно рассчитать собственные числа = -5; = -7, 1 правые r 1 r v = 1 1; v = и левые r r T T d = [- 0.5 1.5] ; d = [0.5 - 0.5] 1 собственные векторы.

В соответствии с (2.4-27), (2.6-4) и (2.6-6) нетрудно получить передаточные функции по векторам состояния и выхода:

1.5 1. p + 5 + p + W (p) = ;

x 1.5 0. + p + 5 p + 1.5 0. W (p) = - +.

y p + 5 p + В данном случае полюсы передаточной функции по выходу полностью отображают собственные числа матрицы динамики.

ПРИМЕР 3.3-2.. Объект управления задан уравнениями & x = -8x + 3x + 3u 1 1 ; y = x - 3x.

1 & x = -x - 4x + 2u 2 1 Матрицы A и B здесь такие же, как и в предыдущем примере, следовательно, объект управляем. Матрица выхода C = [1 - 3].

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.