WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 16 |

i Таким образом, для широкого класса распределений интервальные оценки при Pд = 0,9 можно суммировать так же, как и среднеквадратические значения погрешностей.

Дальнейшее упрощение методики суммирования нецелесообразно. В частности, пренебрежение корреляционными связями или разделением на мультипликативную и аддитивную составляющие может привести к значительному искажению результирующей погрешности.

Приведенная выше методика определения результирующей погрешности справедлива только в тех случаях, когда выходная величина является линейной суперпозицией входных величин (т.е. все блоки измерительного канала осуществляют линейные преобразования). Ситуация резко усложняется при наличии нелинейностей в измерительном канале. В этом случае выходная величина y определяется как нелинейная функция входных величин x1,…, xn:

y = F(x1,L, xn ). При этом вклад погрешностей величин x1,…, xn в результирующую погрешность может быть различным. В этом случае обычно поступают следующим образом. Нелинейную функцию y = F(x1,L, xn ) аппроксимируют первыми членами разложения в ряд Тейлора (т.е. ограничиваются линейным приближением), тогда приращения (абсолютная погрешность) выходной величины y определяется как F( ) F( ) F( ) y = x1 + x2 + K+ xn, x1 x2 xn где xi - абсолютная погрешность величины xi. Модули частных производных F(x1,Kxn ) hi(x1,Kxn ) = xi в данном случае обычно называют коэффициентами влияния i-й составляющей на результирующую погрешность.. В приведенных выше правилах суммирования погрешностей коэффициенты влияния были учтены.

В общем случае коэффициенты влияния hi зависят от самих величин x1,…, xn. Поэтому суммарную погрешность часто нельзя оценить, пока не будут известны значения измеряемых величин x1,…, xn. В связи с этим анализ погрешностей сложных измерительных каналов АСНИ часто осуществляется непосредственно в процессе проведения эксперимента. При этом одновременно с вычислением совокупного результата измерений с помощью ЭВМ осуществляется вычисление оценок погрешности этого результата. Причем, объем вычислений для определения погрешности зачастую многократно превышает объем вычислений для получения собственно самого значения результата измерения.

2.2.5. Распределение погрешностей по звеньям системы (обратная задача оценки погрешностей) При проектировании АСНИ требуется решать обратную задачу, которая заключается в нахождении такого распределения погрешностей по звеньям измерительного канала, при котором суммарная погрешность не превышала бы установленных границ. Ясно, что одну и ту же суммарную погрешность можно различными способами разделить на составляющие. При строгом подходе число способов раздела на составляющие бесконечно. Следовательно, обратная задача в такой постановке не корректна, так как не имеет единственного решения. Для устранения некорректности путем конкретизации выбора из множества возможных решений одного единственного требуется привлечение дополнительной информации. В качестве такой дополнительной информации может использоваться критерий эффективности. С его помощью из множества допустимых решений выбирается наилучшее – именно оно и принимается за окончательное решение обратной задачи. Таким образом, мы приходим к оптимизационной постановке обратной задачи распределения погрешностей.

Оптимизационная постановка обратной задачи распределения погрешностей:

1. Строится целевая функция как обобщенный критерий эффективности, зависящий, в том числе, и от частых составляющих погрешностей:

Q(1,2,K,n ) где i - некоторая оценка i-й составляющей погрешности; это может быть максимальное значение, среднеквадратическое, энтропийное, доверительный интервал и т.п. Обычно целевая функция строится на основе обобщенного критерия эффективности.

2. Задается ограничение на суммарную погрешность S в виде неравенства s(1,2,K,n ) = F(1,2,K,n ) где F( ) - функция, задающая правило суммирования частных погрешностей; она определяется в результате решения прямой задачи анализа погрешностей; - оценка предельного значения суммарной погрешности (заданная величина).

~ 3. Искомое распределение погрешностей как вектор E = (~, 2,..., n ) 1 ~ ~ находится путем решения типовой задачи на условную оптимизацию ~ E = Arg{Min[Q(1, 2,..., n)]} F(1, 2,..., n) Оптимизационный подход к решению обратной задачи включает в себя в качестве составной части решение прямой задачи анализа (суммирования) погрешностей при нахождении вида функции F(1,2,...,n ).Таким образом, трудоемкость обратной задачи значительно выше, чем прямой. Функции Q и F обычно имеют сложный вид и, как правило, существенно нелинейны. Поэтому аналитически решить обратную задачу удается только в некоторых частных случаях. На практике для этой цели обычно используют итерационные процедуры оптимизации, реализованные в виде программы на ЭВМ. При этом на каждом шаге оптимизации фактически приходится решать прямую задачу суммирования погрешностей. Даже прямая задача может быть решена аналитически (в виде замкнутых формул) только для простых систем и в упрощенной постановке (см. подраздел. 2.2.4. ). В полной постановке эта задача может быть решена лишь методом компьютерного моделирования, (см. об этом раздел 4).

Следует отметить, что оптимизационная постановка обратной задачи может рассматриваться как вложение в более общую задачу проектирования системы на основе оптимизации обобщенного критерия эффективности. В этом случае суммарная погрешность может входить в качестве одного из ограничений, а целевая функция Q( ) - в качестве одного из частных критериев эффективности. Тогда найденный набор оптимальных параметров системы автоматически даст и оптимальное распределение погрешностей, поскольку составляющие погрешности зависят от каких-то параметров из этого набора и, следовательно, однозначно ими определяются.

2.3. Временные характеристики 2.3.1. Дискретизация по времени: постановка задачи Многие измеряемые параметры являются по своей природе непрерывными аналоговыми величинами. При вводе в ЭВМ неизбежно приходится преобразовывать их в последовательность отсчетов, привязанных к конкретным моментам времени. Именно этот процесс мы и будем назвать дискретизацией по времени. Почти всегда, кроме известных частных случаев, замена непрерывных сигналов дискретными приводит к необратимым потерям части исходной информации, что косвенно отражается некоторым увеличением совокупной погрешности конечного результата. Вычленение этого "увеличения" в виде отдельной составляющей погрешности, обусловленной дискретизацией, возможно только для простейших способов обработки, либо в виде очень грубых верхних оценок погрешностей при упрощенных методиках их суммирования. Однако, для сложных многоканальных измерительных систем с "глубокой" цифровой обработкой измерительных сигналов такой упрощенный подход приводит к большим запасам в оценках погрешности. В свою очередь, это отражается в неоправданной избыточности по пропускной способности измерительных каналов и по производительности в вычислительной части. Именно в этих случаях есть смысл более углубленно рассмотреть и проанализировать влияние дискретизации на погрешность конечных результатов в надежде на то, что более корректный учет всех существенных факторов позволит снизить неоправданную избыточность и ослабить требования к проектируемой системе. Другими словами, умственные усилия, затраченные на более углубленное изучение этого вопроса, мы надеемся "разменять" на свою способность проектировать менее избыточные, а в конечном счете более дешевые, либо более производительные, информационно-измерительные системы.

Общая схема корректного определения погрешности с учетом всех существенных факторов в этом случае показана на Рис. 2.11. Она может рассматриваться как частный случай более общего определения (см. подраздел 2.2.1. ) погрешности представления одной модели - непрерывной, другой моделью - цифровой1. В данном случае отображение множества непрерывных входов (действительных функций действительного аргумента) на множество цифровых входов (цифровых последовательностей) Fx представлено процедурами дискретизации по времени (с параметром t) и квантованием по уровню (с параметром x). Последовательное выполнение обратного ото Более строго: здесь речь идет о локальной P-погрешности.

бражения множества цифровых выходов на множество непрерывных выходов Fy и функции выбора Choce( ) представлено процедурой приписывания каждой выходной цифровой последовательности некоторой непрерывной функции в множестве непрерывных выходов.

Н yн(t) ЕПРЕРЫВНЫЙ xн(t) ОПЕРАТОР Q н МЕТРИКА e[xн(t)] (ФУНКЦИЯ t, ПОГРЕШНОСТИ) x (, ) y y~ н y~(t) ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПРИПИСЫВАНИЕ КВАНТОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЦИФРОВОЙ ОПЕРАТОР xц(t) Q ц yц(t) Рис. 2.11. Схема определения погрешности при замене непрерывной модели дискретной Данная схема в чистом виде дает методику определения сигнала ошибки (t) только при однозначно известном входном сигнале xн(t). На основе такого сигнала ошибки (t) можно (путем задания конкретной метрики (·,·)) определить только локальную погрешность e[xн(t)]. Для получения численного значения локальной погрешности e[xн(t)] нужно знать входной сигнал xн(t).

Для получения глобального значения e этой же погрешности нам придется "просматривать" локальные погрешности e[xн(t)] для всех возможных сигналов xн(t) и на основе их значений строить глобальную оценку. Например, если мы строим глобальную погрешность как наихудший (максимальный) случай локальной погрешности на основе равномерного приближения, то функция метрики суть [y1(t), y2(t)]= y1(t)- y2(t), Max -t а глобальная погрешность определится как В данном случае речь идет о P-погрешности. Для краткости индекс P опущен.

~ e = e[xн (t)]= (t) = yн(t)- y(t).

Max Max Max Max Max xн (t)Xн xн (t)Xн -t xн (t)Xн -t Аналогичным образом можно построить глобальную погрешность на основе среднеквадратического приближения. И в том и в другом случае для нахождения глобальной погрешности придется "просматривать" все xн(t) из множества Xн. При этом ясно, что если множество возможных входных сигналов Xн ничем не ограничено (т.е. это множество всех непрерывных или интегрируемых функций), то локальная погрешность для некоторых входных сигналов может быть сколь угодно большой1, и следовательно глобальная погрешность будет равна бесконечности (см. Рис. 2.12).

Наличие дополнительных априорных сведений (информации) об исходной задаче часто позволяет сузить множество возможных входных сигналов.

Именно для этого более узкого подмножества допустимых сигналов можно найти конечные границы, в которых будет находиться глобальная погрешность.

xн(t) t Рис. 2.12. Пример, демонстрирующий возможность сколь угодно большого уклонения произвольной непрерывной функции от заданной последовательности дискретных отсчетов В зависимости от того, какая априорная информация о входном сигнале известна и принимается к сведению, какая метрика (функция расстояния ~ [yн(t), y(t)] в пространстве выходных сигналов) используется для оценки погрешности, а также в каких терминах осуществляется описание постановки и решения задачи обработки сигналов (или моделирования), можно выдеБолее точно: в множестве входных сигналов найдется такой сигнал (функция), для которого локальная погрешность может быть сколь угодно большой.

лить три основных направления или подхода, в рамках которых традиционно рассматривается вопрос о погрешности временной дискретизации:

– использование динамических свойств сигналов (модель сигнала с ограниченными производными, подмножество входных сигналов ограничено предельными значениями производных Mn, аппроксимация решения степенными полиномами, максимальная оценка погрешности);

– использование частотных свойств сигналов (модель сигнала с финитным спектром, подмножество входных сигналов ограничено сигналами с шириной спектра F, описание обработки в терминах фильтрации и линейных динамических систем, энергетическая оценка погрешности);

– использование статистических свойств сигналов (модель сигнала в виде стационарного случайного процесса с известной автокорреляционной функцией, подмножество входных сигналов ограничено интервалом корреляции, статистическая аппроксимация временных рядов, среднеквадратическая оценка погрешности).

Все три направления имеют глубинные взаимосвязи друг с другом, однако полностью друг к другу не сводятся. Важно только помнить, что каждый подход задает свою систему понятий и следует четко понимать границы их применимости. Например, понятие эффекта наложения спектра является атрибутом частотного представления, предполагающего процедуру восстановления с помощью идеального фильтра низких частот (или полосового).

Теоретически этот эффект возникает из-за отклонения реальной ситуации от требований теоремы Шеннона–Котельникова. Для учета такого отклонения в итоговой погрешности может быть выделена составляющая, обусловленная наложением спектра.

При описании же процедуры восстановления с помощью степенных интерполяционных полиномов используется временное представление всей задачи, при этом остаточный член ряда Тейлора дает исчерпывающую оценку полной погрешности аппроксимации непрерывного сигнала. В этой ситуации попытка суммировать оценку погрешности восстановления с помощью степенного полинома и оценку погрешности наложения спектра (см., например, [30, стр. 41]) выглядит совершенно абсурдной. Исчезает ли при этом эффект наложения спектров Куда при этом девается погрешность наложения спектров Это вопросы из числа тех, на которые нет однозначного ответа, по той простой причине, что сами вопросы по своей сути некорректны, так как в них есть косвенные ссылки на неопределенные понятия. В частности, в каком смысле мы понимаем существование эффекта наложения спектра При попытке уточнения ответа на этот вопрос мы не можем не заметить, что понятие спектра и его деформации, вызванные дискретизацией непрерывного сигнала, не являются атрибутами исходной постановки задачи, которую мы сейчас анализируем (какова погрешность от временной дискретизации), а являются атрибутами спектральной (частотной) модели данной задачи. Эта модель предполагает не только частотное представление входного сигнала, но и (непременно!) представление обработки (более точно - восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам) в частотной области как линейной низкочастотной или полосовой фильтрации, поскольку в определение погрешности от наложения спектра входит выходной сигнал низкочастотного (полосового) фильтра.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.