WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 16 |

Sup{e[x(t)]} x(t)X Если X есть подмножество непрерывных сигналов, максимум модуля n-й производной которых ограничен величиной Mn, то глобальная абсолютная погрешность восстановления полиномом n-й степени (n =0, 1, 2, …) определяется формулами:

M0 = M1 t = ;

FД 1 M 2 1 = M t = ;

8 FД 1 M 2 = M t3 = ;

15,15,6 FД …, dx(n)(t).

где M = Max n n t dt В некоторых случаях полезно знать оценку сверху величины Mn для сигналов с ограниченным спектром (неравенство Бернштейна) M n xmax, n В В духе определений, данных в подразд. 2.2.1 здесь речь идет о глобальной P-погрешности.

где xmax максимальное значение (амплитуда) сигнала x(t), xmax= M0. Используя неравенство Бернштейна, мы можем применять результаты интерполяционной теории к сигналам с финитным спектром. При этом только следует иметь ввиду, что использование этого неравенства дает запас при определении погрешности восстановления с помощью степенных полиномов, который будет тем больше, чем сильнее спектр исходного сигнала X() отличается от функции (-В) (т.е. насколько он "размазан" по оси частот и сконцентрирован в области нижних частот). Частный случай | X()|=[(+В)+(-В)] соответствует сигналу x(t)=cos(Вt). Именно косинусоидальный (синусоидальный) сигнал из всего множества сигналов с финитным спектром с верхней частотой В является "наихудшим" с точки зрения величины Mn и именно для него неравенство Бернштейна превращается в равенство.

Дискретизация на основе статистических свойств сигнала Часто в качестве априорной информации о сигнале более доступными оказываются его параметры как случайного процесса, в частности его автокорреляционная функция, которая для случая стационарных эргодических случайных сигналов является исчерпывающей характеристикой и достаточно просто может быть измерена экспериментально. В этом случае полезно знать связь автокорреляционной функции R() сигнала и его энергетического спектра S():

+ S()= R() exp( j) d + R()= S() exp( j) d, то есть S() R().

Напомним, что энергетический спектр S() сигнала x(t) связан с его спектром X() соотношением S()=|X()|2. Следовательно к случайным сигналам в полной мере можно применить спектральную модель дискретизации.

Однако, наиболее просто можно оценить относительную среднеквадратическую погрешность по известной автокорреляционной функции R() при восстановлении с помощью степенных полиномов. В частности, для полинома нулевой степени (ступенчатая аппроксимация) справедлива формула 0 = 2[R(0)- R(t)], а для полинома первой степени (линейная аппроксимация) t 1 = 1,5 R(0)+ 0,5 R(t)- 2 R.

Более обстоятельно о статистическом подходе к временной дискретизации можно прочесть, например, в [32, разделы 2.4, 2.6 ] и в [33, гл.3].

2.3.3. Методы дискретизации полосовых (узкополосных) сигналов Полосовыми называются сигналы (Рис. 2.16), у которых спектр отличен от нуля на интервале1 от Н до В, а за его пределами спектральная функция равна нулю. То есть для полосового сигнала x(t) X (), причем X() = 0 при Н В. При Н = 0 полосовой сигнал является обычным низкочастотным сигналом с финитным спектром (ограниченным только сверху частотой В). Если Н существенно больше нуля, то знание этой информации в ряде случаев может оказаться полезным с точки зрения возможного сокращения частоты дискретизации. Выигрыш будет тем больше, чем больше относительная полоса сигнала F:

F F = =, F0 где F = FВ - FН, = В - Н - абсолютная полоса частот сигнала (соответственно, циклическая и круговая);

F0 = (FВ - FН)/2, 0 = (В - Н)/2 - средняя частота полосы частот сигнала (соответственно, циклическая и круговая).

Напомним, что, следуя общепринятым соглашениям, здесь и далее греческой буквой () мы обозначаем круговую частоту (рад./с), а латинской буквой f (F) - циклическую частоту (Гц=1/с). Они связаны соотношением = 2 f. Употребление символов () и f (F) с одинаковыми индексами используется для обозначения одних и тех же частот, но выраженных в разных единицах.

|X()| - -0 - В Н Н В Рис. 2.16. Частотное представление узкополосного сигнала Полосовой сигнал может рассматриваться как более общая модель: частный случай полосового сигнала при FН =0 совпадает с сигналом со спектром, ограниченным только сверху (обычный сигнал с финитным спектром с верхней частотой FВ). Существует более общая формулировка теоремы отсчетов для полосового сигнала (см., например, [34]), которую мы приведем ниже в несколько упрощенном виде. В частном случае (при FН =0) она совпадает с традиционной формулировкой теоремы отсчетов (см. подраздел 2.3.2. ).

Теорема отсчетов (Шеннона-Котельникова) для полосового сигнала:

Сигнал со спектром, ограниченным полосой F = FВ - FН может быть однозначно восстановлен (с помощью идеального полосового фильтра), если шаг дискретизации по времени t удовлетворяет условию:

FД F, где FД= 1/t - частота дискретизации.

Необходимо отметить, что в приведенной формулировке условие FД F является необходимым, но недостаточным. Это условие учитывает только отсутствие наложения соседних "лепестков" спектральной функции дискретного сигнала. Однако, поскольку спектр дискретного сигнала получается в результате многократного периодического (с периодом FД) "размножения" спектра исходного непрерывного сигнала, возможно наложение не только соседних, но и "удаленных" лепестков. Чтобы и такого "вторичного" наложения лепестков спектра не было в дополнение к неравенству FД F должно выполняться определенная кратность величин FД и F и при этом каким-то образом должно быть нейтрализовано влияние лепестка при отрицательных частотах. Более подробно об этом можно прочесть, например, в [35, подразд. 5.2.2].

Подбор параметров FД и F с нужной кратностью в принципе легко сделать при проектировании системы, а вот для нейтрализации влияния отрицательных частот необходимо каким-то образом извлечь и использовать дополнительную информацию о сигнале. В рамках традиционного подхода к дискретизации на основе получения отсчетов мгновенных значений сигналасуществуют три основных метода реализации дискретизации и восстановления полосовых сигналов: переход к аналитическому сигналу, выделение квадратурных составляющих и дискретизация второго порядка сделаем краткий обзор этих методов.

Дискретизация на основе перехода к аналитическому сигналу Ключевая идея данного метода состоит в таком преобразовании исходного непрерывного узкополосного сигнала, чтобы спектр сигнала при положительных частотах остался прежним без изменений, а спектр при отрицательных частотах принудительно сделать равным нулю. Здесь следует напомнить, что если сигнал x(t) - вещественная функция, то модуль ее спектра |X()| есть непременно функция четная, то есть она обладает зеркальной симметрией относительно вертикальной оси и, следовательно, всегда содержит ненулевые значения в области отрицательных частот (см. Рис. 2.17). Несимметричный спектр может иметь только комплекснозначный сигнал.

Можно, например, брать отсчеты мгновенных значений огибающей и фазы несущего колебания (см., например, [36, Гл.1, разд. 4]), но их еще нужно уметь выделить в аналоговой форме перед дискретизацией. Можно теоретически рассмотреть и другие варианты, но их реализация связана с практическими трудностями.

|X()| -0 |XА()| -0 АЧХ ПФ Д -0 Рис. 2.17. Спектр исходного сигнала X(), аналитического XА() и аналитического после дискретизации XАД().

По заданному вещественному сигналу x(t) сформируем комплекснозначный сигнал xА(t)= x(t)+j xH(t), называемый аналитическим1, где xH(t) есть преобразование Гильберта от x(t):

1 x() xH(t) = d = x(t)*, t - t где * - операция свертки. Преобразователь Гильберта (более подробно см.

[37, Гл.13]). можно рассматривать как аналоговый фильтр (линейная динамическая система) с импульсным откликом h(t) = t и частотной характеристикой + j, > 0; + / 2, > 0;

H()= 0, = 0;, H() = 1, ()= 0, = 0;

- j, < 0. - / 2, < 0.

Аналитическим называют комплекснозначный сигнал, у которого вещественная и мнимая части связаны между собой преобразованием Гильберта.

Такое устройство можно назвать идеальным фазовращателем, поскольку преобразователь Гильберта оставляет неизменными амплитуды всех частотных составляющих, при этом на положительных частотах происходит сдвиг фаз на +/2, а при отрицательных - на -/2.

Аналитический сигнал обладает важной особенностью: его спектр совпадает со спектром исходного сигнала при положительных частотах и равен нулю при отрицательных частотах. Отсюда следствие: условие теоремы отсчетов FД F для аналитического сигнала является не только необходимым, но и достаточным. Дискретизация и восстановление узкополосного сигнала через его представление в виде аналитического сигнала может осуществляться согласно Рис. 2.18. Для восстановления используется идеальный полосовой фильтр (комплексный), АЧХ которого равна 1 в полосе исходного сигнала от Н до В и равна 0 за его пределами. При выполнении условия FД F наложения спектров не будет и на выходе полосового фильтра будем иметь точную восстановленную копию аналитического сигнала xВ(t)= xА(t), реальная часть которого совпадает с исходным непрерывным сигналом:

x(t) = Re[xВ(t)].

xH(t) Re[xВ(t)] H Полосовой x(t) фильтр Im[xВ(t)] FД Рис. 2.18. Дискретизация аналитического сигнала. Н - преобразователь Гильберта.

Можно отметить достоинства метода дискретизации полосовых сигналов на основе перехода к аналитическому сигналу:

- наличие простой теории (есть хорошо разработанный математический аппарат, изучены свойства преобразования Гильберта и пр.);

- для восстановления используется стандартный идеальный полосовой фильтр (правда для комплекснозначных сигналов).

Конечно, имеются и недостатки, среди которых важнейший - физическая нереализуемость идеального преобразователя Гильберта, что требует рассмотрения его приближенной аппроксимации (см. об этом, например, [38, гл. 7]). Анализ показывает, что чем больше относительная полоса F сигнала x(t), тем труднее аппроксимировать с заданной точностью преобразователь Гильберта. Поэтому данный подход целесообразно применять для очень узкополосных сигналов и при отсутствии жестких требований на точность восстановления. Такая ситуация больше характерна для радиотехнических систем с модулированными сигналами, относительная полоса которых обычно не превышает нескольких процентов и при этом не требуется очень точное воспроизведение формы сигнала. В измерительных системах ввиду повышенных требований к точности восстановления и более широкой полосы входных сигналов непосредственное применение данного метода сопряжено с существенными трудностями.

Дискретизация на основе выделения квадратурных составляющих В основе этого метода лежит идея трансформации (сдвига) спектра исходного полосового сигнала в область низких частот без изменения его формы. Эта идея не лишена смысла, поскольку в области нулевых частот в спектре полосового сигнала есть "дырка" (пустой участок) и перенос туда спектра из активной полосы частот не вызовет необратимых последствий (по крайней мере в принципе). Ключ к реализации этой идеи дает свойство преобразования Фурье: сдвигу по частоте соответствует умножение на фазовый множитель в области времени:

если x(t) X (), то.

x(t) e- j0t X ( + 0 ) На практике используют вещественнозначный аналог этого свойства. В радиотехнике этот прием называется гетеродинированием1. В нашем случае удобно использовать представление исходного сигнала через квадратурные составляющие:

x(t) = y1(t) cos(0t)- y2(t) sin(0t), (*) где y1(t), y2(t) - квадратурные составляющие; 0 - "опорная" частота квадратурного представления.

В нашем случае удобнее если "опорная" частота совпадает с центральной частотой 0 спектра сигнала x(t), но это не обязательно. Представление через квадратурные составляющие справедливо при произвольном выборе "опорной" частоты и существует для любого сигнала. Приятная особенность пред Гетеродин - это вспомогательный генератор, предназначенный для преобразования частоты радиосигнала. Преобразование частоты с помощью гетеродина лежит в основе т.н. супергетродинного приемника. Этот принцип позволяет добиться очень большого коэффициента усиления при высокой избирательности в широком частотном диапазоне перестройки. Используется практически во всех современных радиоприемниках и телевизорах.

ставления узкополосного сигнала x(t) через квадратурные составляющие y1(t), y2(t) заключается в том, спектры квадратурных составляющих лежат в полосе частот, полученной сдвигом полосы частот исходного сигнала в сторону нижних частот на величину 0. Если 0 есть центральная частота спектра узкополосного сигнала, то его середина переместится точно в нулевую частоту и спектр квадратурных составляющих будет ограничен полосой (-/…+/2). Таким образом, квадратурные составляющие y1(t), y2(t) являются обычными низкочастотными сигналами с финитным спектром с верхней частотой /2. Их можно дискретизировать и восстанавливать как обычный сигнал с финитным спектром, а уже имея восстановленные копии квадратурных составляющих y~1(t), y~2(t), можно, подставив их в формулу (*), восстановить высокочастотное заполнение или, другими словами, сделать обратный сдвиг по частоте в область исходных (высоких) частот и получить восстановленную копию исходного сигнала x~(t).

Дискретизация узкополосного сигнала на основе выделения его квадратурных составляющих иллюстрируется диаграммами в частотной области на Рис. 2.19 и схемой на Рис. 2.20. Путем умножения (в аналоговой форме) исходного узкополосного сигнала x(t) на гармонический сигнал опорной частоты 0 формируются сигналы y1S(t), y2S(t) в спектре которых содержатся составляющие суммарных (+0) и разностных (-0) частот. С помощью фильтров ФНЧ-1 (их частота среза одинакова и должна лежать вблизи частоты 0 или быть равной ей) составляющие с суммарными частотами подавляются, а сигналы y1(t), y2(t), содержащие только разностные частоты, являются квадратурными составляющими и должны пропускаться фильтрами без искажений.. После их дискретизации с частотой FД F получаются две последовательности отсчетов. Каждая из них может быть восстановлена каким-нибудь из обычных методов, например, посредством идеальной низкочастотной фильтрации с помощью ФНЧ-2 (его частота среза должна быть согласована с частотой 0,5 FД ). Полученные таким образом восстановленные копии квадратурных составляющих y~1(t), y~2(t) подставляются в формулу (*), вычисления по которой позволяет для каждого момента времени t вычислить значения восстановленной копии входного сигнала x~(t). В случае точного выполнения всех указанных операций выполняется точное равенство x~(t)= x(t). В противном случае возникают погрешности.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.