WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 16 |

Отсюда и ответ: эффект наложения спектров существует всякий раз, когда мы используем частотную модель для представления задачи дискретизации-восстановления и условия теоремы Шеннона–Котельникова нарушены. То есть существование (или не существование) этого эффекта зависит от нашей точки зрения!!! В других моделях то же самое отклонение в конечном результате будет иметь другое объяснение! Так, в модели интерполяционного многочлена оценка погрешности на основе остаточного члена разложения в степенной ряд будет исчерпывающей. Ни о каком "наложении спектров" в данной модели речь не идет. При анализе ситуации, когда в качестве априорной информации о сигнале используются его частотные свойства, а обработка осуществляется в терминах интерполяции, следует привести все к "общему знаменателю": либо представить степенной интерполятор как цифровой фильтр и тогда вести дальнейший анализ в рамках частотной модели, либо найти эквивалентную (или приближенную) замену известных частотных свойств о сигнале во временную область и вести анализ в терминах временной модели.

При таком приведении к "общему знаменателю" могут (и обычно возникают) специфические погрешности, часто символизирующие некоторый "запас на незнание", размытость ограничений на множество допустимых сигналов и т. п. Их ни в коем случае не следует путать с погрешностями самих моделей, хотя "по внешнему виду" (с точки зрения расчетных формул) они могут быть весьма похожими. Например, погрешность от наложения спектра и погрешность от приближенной замены сигнала с неограниченным спектром на модель с финитным спектром выражаются через один и тот же интеграл от спектральной плотности сигнала. Но это не дает никакого основания их отождествлять, хотя изучение вопроса: чем обусловлено такое внешнее сходство, – ведь не случайно же оно! – само по себе может быть довольно поучительным и интересным.

Классификация методов временной дискретизации В заключение этого подраздела остановимся на укрупненной классификации методов временной дискретизации (см. Рис. 2.13). Поясним некоторые ветви этой классификации. Сразу оговоримся, что мы сознательно ограничимся рассмотрением только более или менее традиционных методов дискретизации, для которых существуют достаточно проработанные теоретические модели и известны уже ставшие классическими основные результаты. В частности, всюду ниже мы будем предполагать, что в качестве "отсчетов" сигнала в моменты времени используются мгновенные значения сигнала x(ti) в эти моменты времени. Тем самым мы оставляем за пределами рассмотрения некоторые нетрадиционные методы. Например, методы дискретизации, использующие интегральные отсчеты [31].

Дискретизация Равномерная Неравномерная … На основе На основе На основе частотных динамических статистических свойств сигнала свойств сигнала свойств сигнала … Степенные полиномы в форме Широкополосный Равномерное Лагранжа (НЧ) сигнал приближение Степенные полиномы в форме … Ньютона Среднеквадратическое Любые системы приближение Полосовой (сигнал ортогональных функций Аналитический сигнал Квадратурные составляющие Дискретизация второго порядка Рис. 2.13. Классификация методов дискретизации Равномерная (регулярная) дискретизация - в этом случае все интервалы дискретизации одинаковы и равны t. В этой (и только в этой) ситуации можно ввести понятие частоты дискретизации fд=1/ t, которая определяет количество отсчетов в единицу времени. Ввиду простого и единообразного устройства сетки отсчетов методы равномерной дискретизации могут быть более просто описаны и включены в ту или иную теоретическую модель.

Особенно это касается моделей на основе частотного представления. Сколько-нибудь продвинутые модели представления нерегулярной дискретизации в частотной области автору не известны. В основе дальнейшей классификации методов равномерной дискретизации лежит характер априорной информации о сигнале, используемой для обоснования выбора шага дискретизации.

Неравномерная (нерегулярная) дискретизация - в этом случае интервалы дискретизации могут быть существенно неодинаковы. Природа неравномерности отсчетов может быть различной. В зависимости от этого и различаются конкретные методы неравномерной дискретизации. Однако, из-за принципиально различного характера неравномерности отсутствует общая теория и поэтому каждый вид неравномерной дискретизации обычно требует своей специфической модели для представления и теории для ее изучения.

Неравномерная дискретизация по ряду своих показателей может обладать весьма интересными свойствами, которых нельзя получить в случае равномерной дискретизации. Именно это и побуждает заниматься их изучением и применением в реальных разработках.

Все методы нерегулярной дискретизации можно разделить на две большие группы: адаптивные и неадаптивные.

Неадаптивные методы- используют оценки погрешности восстановления на основе априорных1 сведений (информации) о входном сигнале. В процессе обработки интервалы дискретизации не изменяются и рассчитываются обычно на наихудший случай. Для конкретных сигналов может быть та или иная информационная избыточность (запас). Могут использоваться как глобальные, так и локальные оценки погрешности. В качестве наиболее характерных методов неадаптивной нерегулярной дискретизации можно отметить два: стохастическую дискретизацию (интервалы между отсчетами являются реализациями случайной величины с известным законом распределения) и нерегулярную дискретизацию по заданной программе, когда нерегулярность устраивается заранее по причинам, например, невозможности составить бесконфликтную программу опроса с равномерным шагом (для многоканальных систем), либо когда сама аппаратура измерительного канала не может обеспечить строго равномерный шаг дискретизации (скажем, ввиду асинхронности работы некоторых блоков).

Априорные сведения о сигнале - это то, что известно о сигнале на момент проектирования измерительной системы. Обычно это какие-то предельные характеристики (максимумы производных, граничная частота спектра, максимальный интервал корреляции и т.п.) Адаптивные методы нерегулярной дискретизации- используют оценки погрешности на основе апостериорных1 сведений о входном сигнале. В процессе обработки интервалы дискретизации изменяются сообразно фактическим свойствам сигнала на момент обработки. В чистом виде могут использоваться только локальные по времени оценки погрешности, то есть оценки, учитывающие значения сигнала на конечном отрезке времени.. Адаптивная дискретизация позволяет уменьшить информационную избыточность дискретного сигнала за счет устранения неизбежного "запаса на незнание". Для реализации адаптивной дискретизации должны иметься средства измерения локальных свойств сигналов и воздействия на текущий интервал дискретизации (система регулирования с обратной связью).

2.3.2. Оценка погрешности при равномерной дискретизации- восстановлении В данном подразделе приведены некоторые наиболее общие результаты теории равномерной дискретизации. Основное внимание уделено характеру зависимости погрешности восстановления от априорной информации о сигналах и от параметров процедур восстановления.

Дискретизация на основе спектральных свойств сигнала Переход в частотную область представления основан на преобразовании Фурье с гармоническим ядром (параметрическое множество синусно-косинусных функций или эквивалентное ему множество комплексных экспонент).

Спектральная плотность X() связана с сигналом x(t) парой прямого и обратного преобразований Фурье:

пишем x(t) X (), если + X ()= x(t) exp(- jt) dt + x(t)= x() exp( jt) d, Апостериорные сведения о сигнале - это то, что известно о сигнале в момент его предъявления и фактической обработки в системе.

где = 2f - круговая частота (рад/с), f - циклическая частота (Гц), j- мнимая единица.

На основе частотного представления вводится понятие сигнала с ограниченным (финитным) спектром. Такие сигналы имеют числовой параметр верхнюю (или граничную) частоту.

Определение. Сигнал x(t) называют сигналом с финитным (ограниченным) спектром с верхней частотой FВ (В=2 FВ), если x(t) X() и X () 0 при > В.

Теорема отсчетов (Шеннона-Котельникова): Сигнал с финитным спектром ограниченным частотой FВ может быть однозначно восстановлен (с помощью идеального ФНЧ) по совокупности дискретных отсчетов, если шаг дискретизации по времени t удовлетворяет условию:

t.

2 FВ Определив частоту дискретизации FД= 1/t, условие теоремы отсчетов можно записать в виде: FД 2 FВ.

Доказательство, а значит и понимание теоремы отсчетов опирается на тот факт, что спектр равномерно дискретизированного с частотой FД сигнала получается путем периодического (с периодом FД) "размножения" спектра исходного непрерывного сигнала и суммирования всех таких сдвинутых копий, то есть дискретизация по времени влечет "периодизацию" спектра. Поясним это в точных математических терминах. Последовательности xi = x(i t), - i дискретных отсчетов можно поставить в соответствие модель дискретного сигнала в виде функции непрерывного времени xД(t) = xi (t - i t). Если x(t) X (), то xД(t) X (), причем Д i= X () = X( - i Д). Смысл теоремы отсчетов иллюстрируется кривыми Д i=в частотной области на Рис. 2.14, где по горизонтальной оси отложена круговая частота =2f и, соответственно, помечены частоты В=2FВ, Д=2FД, S=2FS. Граничная частота FS восстанавливающего фильтра нижних частот, о котором идет речь в теореме отсчетов, должна удовлетворять условию:

FВ FS FД - FВ.

Введение дельта-функции Дирака (t) в модель дискретного сигнала позволяет корректно использовать такую модель в подынтегральных выражениях и, следовательно, в интеграле Фурье.

|XД()| |X()| АЧХ фильтра...

......

-3 -2 - - 2 Д Д Д В В Д Д Д -S S - + Д В Д В Рис. 2.14.Представление равномерной дискретизации по времени в частотной области Во временной области идеальной низкочастотной фильтрации с частотой среза FS соответствует свертка с импульсной характеристикой h(t) = sinc(2FSt), где sinc(x)=sin(x)/x, что эквивалентно разложению сигнала x(t) по базису ортогональных функций отсчета1 {sinc(2 FS t - i t)}- i (ряд Котельникова):

x(t)= x(i t) sinс(2 FS t - i t).

i=Формулировка теоремы отсчетов опирается на две идеализации: сигнал с финитным спектром и идеальный фильтр нижних частот. На практике обе эти идеализации можно принять лишь с известной долей приближенности, что в итоге приводит к тому, что в реальных условиях восстановление после дискретизации возможно лишь с некоторой погрешностью. Итоговая погрешность восстановления может быть представлена в виде двух составляющих: погрешность наложения спектров и погрешность реализации фильтра нижних частот (или усечения ряда Котельникова). Строгий анализ этих погрешностей выходит за рамки нашего рассмотрения и мы ограничимся некоторыми традиционными результатами, которые справедливы при выполнении двух весьма общих допущений: использование энергетического (среднеквадратического) критерия в качестве метрики для итоговой погрешности и ее составляющих, а также отсутствие корреляции между последними.

Коэффициенты разложения по этому базису будут совпадать с отсчетами xi = x(it), если задать FS=1/(2t)=0.5FД.

В этом случае относительная погрешность Н от наложения спектра может быть оценена величиной:

2 X () d 0.5Д Н =.

X () d Погрешность Ф реализации восстанавливающего фильтра может быть оценена по среднеквадратическому отклонению частотной характеристики H() реального восстанавливающего фильтра от частотной характеристики HИ() идеального ФНЧ:

H()- HИ()2 d Ф = = H()- HИ()2 d, S HИ()2 d 1, 1;

где HИ() = 0, > 1.

Итоговая относительная среднеквадратическая погрешность В восстановления определится как В = 2 + Ф.

Н Сигнал с финитным спектром В и идеальный ФНЧ Общий случай В Д Рис. 2.15. Характер зависимости погрешности восстановления В от частоты дискретизации Д.

В общем случае погрешность восстановления В(Д) есть функция от частоты дискретизации Д (Рис. 2.15), основной особенностью которой является убывание В с ростом Д (вообще говоря, не обязательно монотонное). В частном случае, когда сигнал обладает финитным спектром (с верхней частотой В) и, одновременно с этим, восстанавливающий фильтр является идеальным ФНЧ, кривая погрешности обращается в ноль при Д=2 В. Именно этот последний частный случай и соответствует условиям теоремы отсчетов.

Несмотря на то, что теорема отсчетов охватывает идеализированную ситуацию, что затрудняет непосредственно применять ее на практике, она позволяет упростить понимание и более общей ситуации. В частности, из нее вытекают следствия, имеющие также и важное прикладное значение.

Наиболее важные следствия из теоремы отсчетов:

- непрерывные сигналы с финитным спектром на конечном интервале времени содержат конечное количество информации;

- сигнал с финитным спектром может быть однозначно заменен дискретным и, с известной точностью, цифровым сигналом;

- равномерная дискретизация сигналов с нефинитным спектром всегда приводит к необратимым потерям информации (эффекты наложения и подмены или мимикрии частот);

- если сигнал с финитным спектром зашумлен широкополосным шумом, то для устранения эффектов наложения и подмены частот перед дискретизацией нужна низкочастотная (или полосовая) фильтрация непрерывного сигнала, из чего следует обязательность установки противоподменного или преддискретизационного фильтра перед АЦП.

Дискретизация на основе динамических свойств сигнала Здесь в качестве априорной информации о сигнале используются оценки Mn максимума n-й производной сигнала. Для представления процедуры восстановления удобно применять хорошо разработанный аналитический аппарат интерполяции с помощью степенных полиномов (см. более детальное изложение в [1, стр. 63-69]), при этом имеются весьма простые оценки для максимальных значений погрешности.

В данном случае в качестве восстановленного по дискретным отсчетам ~ xi= x(it) сигнала x(t) берется степенной полином i-й степени, то есть n ~ x(t) = ai ti, i=где коэффициенты a0, a1, …an могут быть рассчитаны по известным формулам (см., например, [1, стр. 63-69]) через представление интерполяционного полинома в форме Ньютона или в форме Лагранжа на основании дискретных отсчетов x0, x1, …xn. Для определения локальной погрешности восстановления в качестве метрики используется максимум модуля разности:

~ ~ e[x(t)]= [x(t), x(t)]= x(t)- x(t), Max t что совпадает с определением остаточного члена степенного ряда в теории степенной интерполяции. Это позволяет напрямую использовать результаты теории интерполяции.

В качестве глобальной оценки погрешности1 восстановления используется оценка наихудшего случая по множеству X входных сигналов n =.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.