WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |

a = В ротатабельном плане верхнему и нижнему уровню каждого факPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Таблица тора соответствуют значения +а и -а (а не +1 и -1). В этой связи, относительным переменным ±1, характерных для опытов полного (дробного) факторного эксперимента, соответствуют значения натуральных переменных, располагающихся внутри диапазонов их изменения. Звездные точки, входящие в состав ротатабельного плана, представляют собой опыты, в которых один из факторов находится на нижнем или верхнем уровне, а остальные – на основном уровне. Так, например, для трех факторов, как и для Вплана, будет шесть звездных точек:

Количество опытов, проводимых в центре ротатабельного плана, задается всегда однозначно. Так, например, для двух факторов их число равно пяти. В таблице 8 приведен ротатабельный план при (для двух факторов).

K = Таблица PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Таким образом, если точность уравнения регрессии одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра плана, то такой план носит название ротатабельным.

3.2 Проведение эксперимента.

К экономическому эксперименту необходимо тщательно готовиться: до самых деталей продумать какие факторы (какая среда) оказывает влияние на изучаемый объект, подготовить исходные измерительные инструменты (приборы), разрабатывать журнал учета наблюдений (замеров) при необходимости разработать анкету опроса, обоснованно выбрать место эксперимента и так далее, что уменьшит в последующем ошибку опыта (ошибку измерения факторов, ошибку проведения, самого опыта, ошибку отклика и т.п.).

Основным источником информации должны явиться наблюдения (данные опытов), позволяющие всесторонне оценить изучаемое явление. Для чего составляется характеристика изучаемого объекта, определяется круг учитываемых факторов, методы их учета и измерения в процессе наблюдений, точность учета, как факторы будут учитываться и как конкретно будет осуществляться этот учет, как последовательно по текущему времени надлежит фиксировать все параметры изучаемого объекта и так далее. Не исключается использование методов технического нормирования.

В ряде случаев для изучения объекта используются другие методы проведения эксперимента: анкетный метод; метод опроса; метод сбора информации по отчетным материалам и действующим нормативным установкам (материалам); макетный и другие подобные методы; методы сбора информации по опубликованным материалам в журналах, газетах, информационных листах, рекламах и т.п.

Исходными информационными материалами могут также послужить: постановления Правительства и Президента России, инстPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com рукции и положения, научные отчеты, литературные источники, освещающие вопросы исследования.

3.3 Обработка и оценка результатов экспериментов.

Для решения поставленных в исследовании задач при системном подходе могут быть использованы в комплексе различные методы обработки материалов эксперимента:

• экономико-статистические методы;

• расчетно-аналитические методы;

• экономико-математические и другие методы.

Рассмотрим содержание последних методов, которые в меньшей мере встречаются в экономической литературе, но широко используются в экономических и других исследованиях.

В основе обработки материалов эксперимента экономикоматематическими методами лежит регрессионный анализ, объединяющий практические методы исследования зависимостей между величинами по статистическим данным. Проблема регрессии в математической статистике характерна отсутствием достаточной информации о распределениях случайных величин.

В этой связи основными задачами регрессионного анализа являются следующие;

• выбор модели регрессии (см. перечень функций, применяемых для аналитического выравнивания);

• оценка параметров выбранной модели методом наименьших квадратов;

• проверка статистических гипотез о регрессии;

• проверка адекватности модели.

Для выбора необходимого вида модели надо сформулировать требования, которым она должна удовлетворять: адекватность и простата.

Под адекватностью понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента с требуемой точностью. Простота – элемент относительный и считается самыми удобными в этом плане - алгебраические полиномы.

Перечень функций, применяемые для аналитического выравнивания и прогнозирования.

Как видно, сложность модели повышается с ростом степени полинома, а, следовательно, количеством определяемых неизвестных коэффиPDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com i циентов. Так, полином i –й степени от двух факторов содержит неизC2+i вестных параметров, а полином i-й степени от “ n ” факторов содержит i неизвестных параметров.

Cn+i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Поэтому, повышая степень полинома и получая тем самым более адекватную модель, надо помнить о значительном увеличении ее сложности. В этой связи, на практике чаще всего ограничиваются полиномы первой или второй степени, с использованием метода наименьших квадратов.

Рассмотрим более подробно наиболее распространенный метод аналитического выравнивания, т.е. нахождения математической функции, которая точно описывает тенденцию изменений. Наиболее ответственными этапами при этом являются: выбор формы кривой (математической функции); определение показателей, дающих количественную характеристику тенденций; оценка достоверности расчетов.

Выбор математической функции осуществляется перебором функций (см. Перечень) и построением графика. Общий вид графика, как правило, позволяет установить: имеет ли динамический ряд отчетливо выраженную тенденцию; если да, то является ли эта тенденция плавной;

каков характер тенденций (монотонная или немонотонная, возрастающая или убывающая). Большое внимание выбору математической функции (формы кривой) уделено в работе Е.М. Четыркина*. Если уравнения, использованные для исследования, имеют одинаковое число параметров, то считается возможным отдавать предпочтения тем функциям, у которых сумма квадратов отклонений исходных данных (табличных значений) откликов “у” от соответствующих откликов “Yn” вычисленных по модели, была бы минимальной, т.е.

N S = (YN -YN ) min n=В этом состоит требование метода наименьших квадратов. Мы считаем, что способ наименьших квадратов в маркетинговых расчетах (исследованиях), лучше использовать для прямой и парабол любого порядка. Хуже использовать для экспонент разных модификаций, логарифмических, логических, кривых и гипербол разных модификаций. Динамика получаемых в эксперименте данных может быть довольно сложной, поэтому ее не всегда возможно выразить элементарными аналитическими функциями (прямая, парабола и т.п.). В этом случае приходится придерживаться более сложных сочетаний, использовать как бы комбинированные функции.

Наши исследования показывают, что для повышения обосно* Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: 1977.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ванности и достоверности выравнивания с целью более точного выявления сложившейся тенденции желательно проводить вариантный расчет по нескольким аналитическим функциям и на основе экспертных и статических оценок определить лучшую форму связи.* После определения формы связи и выбора подходящих математических функций задача сводится к определению показателей, которые дадут количественную характеристику. Необходимо определить параметры уравнений связи. Решение системы линейных уравнений позволяет найти коэффициенты регрессий и, следовательно, полностью определить требуемую зависимость. Заметим, однако, что использование той или иной математической функции требует составления и решения системы линейных уравнений, порядок, который равен числу искомых коэффициентов.

Для полного факторного плана и линейной функции отклика можно обойтись без решения системы, а определить коэффициенты модели, записанной в относительных переменных, по простым соотношениям.

Ограничимся только случаем двух факторов.

Для линейной модели Y = B0 + B1X1 + B2 X Базисными являются функции F0=1, F1=х1, F2=х2. В относительных переменных модель также очевидно будет линейной, но с некоторыми, вообще говоря, другими коэффициентами:

Y = A0 + A1V1 + A2VМатрица планирования для двухуровнего полного факторного эксперимента с двумя факторами приведена в табл.

Новые коэффициенты модели определяются непосредственно по этой матрице, а именно, коэффициент “а0” равен среднему арифметическому значений откликов. Для нахождения коэффициента “аi” надо сложить парные произведения элементов столбца Yi и столбца Y, а затем полученную сумму разделить на число опытов:

Y1 + Y2 + Y3 + YA0 = Y * Мурашкин Н.В. Комплексная экономическая оценка тракторов Онежского тракторного завода. –Петрозаводск.: “Карелия”, 1988. – 182с.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Y1 + Y2 - Y3 - YA1 = Y Y1 - Y2 + Y3 -YA2 = Y Математическая модель в естественной форме получается обратным переходом от относительных переменных к натуральным.

Так же легко вычисляются коэффициенты линейной модели для любого числа факторов и произвольной матрицы планирования, удовлетворяющей свойством ортогональности, симметричности и условию нормировки.

Выбрав математическую модель, в дальнейшем надлежит дать статистический анализ уравнения регрессии, который включает в себя две основные задачи: оценка значимости коэффициентов регрессии и проверка адекватности математической модели. Для решения этих задач надлежит предположить:

• что факторы х1, х2, … хк изменяются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению в определении отклика “у”;

• что случайные величины “у” независимы и имеют нормальное распределение;

• что дисперсии “уn” одинаковы и равны.

S ( y) Вообще говоря, достаточно считать, что дисперсии “уn” однородны. Соответствующая характеристика однородности дисперсии называется дисперсией воспроизводимости и обозначается. Для проверS (y) ки однородности нескольких дисперсий вычисления дисперсии воспроизводимости каждый из опытов проводят несколько раз.

Предположим, что i-й опыт проведен “n” раз, и пусть уi(1), уi(2), … у(n)i результаты i-й серии опытов. По ним можно определить значение откликов в i-м опыте.

Kn ( J ) YI = YI X J =Число степеней свободны Rn = n -И несмещенную оценку дисперсии отклика в i-м опыте.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com N 2 J SN = (YN -YN ) N -J =В качестве дисперсии воспроизводимости берется среднее S ( y) взвешенное дисперсией i-го опыта с весами, равными числу степеней свободы i-го опыта, т.е.

N SN RN 2 N =S (y) = N RN N =Проверка однородности дисперсии при равномерном дублиSn ровании проводится по критерию Кохрена, а при неравномерном – по критерию Бартлетта. Указания по применению этих критериев можно найти в литературе по регрессионному анализу.

Оценка значимости коэффициентов регрессии осуществляется исходя из принятой математической модели. “Как следует из формулы (11.11), коэффициента “bi” математической модели являются линейными комбинациями случайных величин “уn”, распределенных по нормальному закону. Это позволяет использовать для проверки значимости коэффициентов “bi” регрессии критерий Стъюдента.

При обработке рядов динамики, отражающих исследуемое явление, наиболее часто встречающимися математическими моделями (зависимостями) являются прямолинейные, параболистические, гиперболистические, выражаемые уравнениями:

Y = ax + b;

Y = ax2 + bx + c a Y = + b x Применение отмеченных выше уравнений, конечно, не исчерпывает всех возможных случаев.

В дальнейшем в соответствии с выбранной математической моделью (уравнением) составляется система нормальных уравнений. Для этого PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com избранное уравнение связи последовательно умножается на переменные, стоящие при постоянных параметрах “а”, “b” и т.д. и значения переменных берутся под знак суммы.

Например, требуется составить систему нормальных уравнений для математической модели типа:

Y = ax2 + bx + c Первое уравнение получим путем умножения исходного на х2:

2 4 3 X + B X + C X YX = A Второе уравнение получим, умножив исходное на х:

3 2 X + B X + C X YX = A Третье уравнение получим, умножив исходное на единицу:

X + B X + CN Y = A Где n – количество точек (опытов), по которым производится расчет выровненной линии (отклика).

Таким образом, получена система трех нормальных уравнений с тремя параметрами а, в, с, которые и требуется найти.

Для решения системы нормальных уравнений строится вспомогательная таблица, в которой рассчитываются значения всех переменных, стоящих под знаком сумм.

Подставив эти значения в систему и, решив ее обычным способом, находим искомые параметры (коэффициенты регрессии) математической модели и окончательный вид уравнения связи.

Проверка адекватности регрессионной модели позволяет установить, будет ли построенная модель предсказывать значения отклика (у) с той же точностью, что и результаты эксперимента. Обязательным условием является при этом не насыщенность плана эксперимента. Это значит, что число проводимых опытов должно быть больше числа искомых коэффициентов модели, т.е..

N > m +Для оценки адекватности вычисляется остаточная дисперсия, Sост.

характеризующая рассеяние экспериментальных точек от точек, полученных по уравнению регрессии:

N 2 Б SмТ„ = (YN -YN ) N - M -n=где уn – экспериментальные значения отклика в n-м опыте, а PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com M M YN = FJN = FJ (X, X,..., X ) BJ BJ N1 N 2 NK J =0 J =значение отклика в n-м опыте, рассчитанное по уравнению регрессии.

Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F-распределения. С этой целью образуется отношение остаточной дисперсии к дисперсии воспроизводимости SмТ„ FтА„Т = S2 ( y) которая сравнивается с критическим значением F-распределения Fкр., полученным по таблице (распределением дисперсионного отношения Фишера) при заданном уровне значимости “а” и степени свободы r1=х-m-1 для числителя и r2 = U0 – 1 для знаменателя.

Если Fрасч.< Fкр., то гипотеза об адекватности принимается, и математическая модель может быть использована для описания объекта. В противном случае гипотеза отвергается.

Чтобы упростить проверку на адекватность в практике часто считают достаточным, чтобы выполнялось неравенство Fрасч. < 0,1-0,И в этом случае модель предполагается адекватной.

Итак, подведем итог исследования в маркетинговой службе, для чего перечислим этапы нахождения математической модели по опытным данным (данным наблюдений):

1. Разделение параметров объекта исследования на факторы х1, х2, …, хк и отклики у1, у2,…уn.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.