WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

s = (t)(t)dt – площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически: x = (t), y = (t), t.

s = ()d – площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах: = (),.

b L = 1+ ( f (x))2 dx – длина дуги кривой, заданной уравнением y = f (x), a x b.

a L = ( (t))2 + ( (t))2 dt – длина дуги кривой, заданной параметрически: x = (t), y = (t), t.

L = (())2 + ( ())2 d – длина дуги кривой, заданной в полярных координатах: = (),.

b V = f (x)dx – объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 y f (x), a x b.

a b P = 2 f (x) 1+ ( f (x))2 dx – площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 y f (x), a x b.

a ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРАХ И СКАЛЯРАХ.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скаляром, называется величина, не обладающая направлением.

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным r B a шрифтом, например: a = AB, a = AB или a = AB. A Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные.

Сложение векторов по правилу треугольников. Суммой векторов а и b называется третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала, строим вектор LM, равный b. Вектор с = OM есть сумма векторов а и b.

Сложение векторов по правилу параллелограмма. Если слагаемые а и b не коллинеарны, то сумму а + b можно найти следующим построением: из любого начала О строим векторы OA = а и OB = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ, Вектор диагонали OC = с есть сумма векторов а и b (так как AC = OB = b и OC = OA + AC ). Обозначение: a2 – a1.

Вычитание векторов. Вычесть вектор a1 (вычитаемое) из вектора а2 (уменьшаемое) значит найти новый вектор х (разность), который в сумме с вектором а1 дает вектор а2. Отсюда следует, что вычитание векторов есть действие, обратное сложению.

Из определения вытекает такое построение: из произвольного начала О строим векторы OA = a1, OA = a2.

1 Вектор А1A2 (проведенный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть разность a2 – a1:

А1A2 = OA – OA.

2 Другое построение. Чтобы построить разность a2 – a1 векторов a2 и a1, можно взять сумму векторов a2 и –a1, т.е. a2 – a1 = a2 + (–a1).

Умножение вектора на число. Умножить вектор a (множимое) на число х (множитель) значит построить новый вектор (произведение), модуль которого получается умножением модуля вектора а на абсолютное значение числа х, а направление совпадает с направлением вектора а или противоположно ему, смотря по тому, положительно число х или отрицательно. Если же х = 0, то произведение есть нульвектор.

Обозначение: ах или ха.

Деление вектора на число. Разделить вектор а на число х значит найти такой вектор, который, будучи умножен на число х, даст в произведении вектор а.

a Обозначение: a : х или.

x a Вместо деления можно выполнить умножение а.

x x Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

ab = |a| |b| cos ( a,b ).

Векторным произведением вектора a (множимое) на не коллинеарный с ним вектор b (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма (AOBL на чертеже), построенного на векторах a и b, т.е. он равен |a| |b| sin ( a,b );

2) его направление перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма;

3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы а, b, с составляли правую систему.

• Прямоугольная система координат в пространстве.

Три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ, проходящие через некоторую точку О, образуют прямоугольную систему координат. Точка О называется началом координат, прямые OX, OY, OZ – осями координат (OX – ось абсцисс; OY – ось ординат; OZ – ось апликат), а плоскости XOY, YOZ, ZOX – координатными плоскостями. Какой-либо отрезок UV принимается за единицу масштаба для всех трех осей (см. рис. ниже). Отложив на осях OX, OY, OZ в положительном направлении отрезки ОА, ОВ, ОС, равные единице масштаба, получим три вектора OA, OB, OC. Они называются основными векторами и обозначаются соответственно i, j, k.

• Правая и левая системы координат.

Положительные направления на осях принято выбирать так, чтобы поворот на 90°, совмещающий положительный луч ОХ с лучом ОY, казался происходящим против часовой стрелки, если наблюдать его со стороны луча OZ. Такая система координат называется правой. Иногда пользуются и левой системой координат. В ней упомянутый поворот совершается по часовой стрелке.

• Правая и левая системы трех векторов.

Пусть a, b, с – три (ненулевые) вектора, не параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке (т.е. а – первый вектор, b – второй и с – третий.) Приведя их к общему началу О, получим три вектора OA, OB, OC, не лежащие в одной плоскости. Система трех векторов a, b, с называется правой, если поворот вектора OA, совмещающий его по кратчайшему пути с вектором OB, совершается против часовой стрелки для наблюдателя, глаз которого помещается в точке С.

Если же упомянутый поворот совершается по часовой стрелке, то система трех векторов a, b, с называется левой.

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ • Среднее арифметическое из n равноточных измерений величины a n аi i=аср =.

n • Абсолютная ошибка отдельного измерения аi = аср - аi.

• Средняя квадратичная ошибка n ai i=S =.

n(n -1) • Абсолютная погрешность результата измерения а = t(, n)S, где t – коэффициент Стьюдента; – надежность.

• Относительная погрешность а Е =.

аср Таблица коэффициентов Стьюдента Число Надежность измерений 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,2 1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,5 0,74 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,10 0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,ФИЗИКА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ Средняя и мгновенная скорости материальной точки r s v =, v = ;

t t dr v =, dt где r – элементарное перемещение точки за промежуток времени t; r – радиус-вектор точки; s – путь, пройденный точкой за промежуток времени t.

Среднее и мгновенное ускорения материальной точки v dv a =, a =.

t dt Полное ускорение при криволинейном движении 2 a = a + an, a = a + an, d где a = – тангенциальная составляющая ускорения; an = – нормальная составляющая ускорения ( r – радиус кривизны траектории в данной dt r точке).

Путь и скорость для равнопеременного движения ats = 0t ± ;

= 0 ± at, где 0 – начальная скорость.

Угловая скорость d =.

dt Угловое ускорение d =.

dt Угловая скорость для равномерного вращательного движения = = = 2n, t T где T – период вращения; n – частота вращения ( n = N / t, где N – число оборотов, совершаемых телом за время t ).

Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения t = 0t ± ; = 0t ± t, где 0 – начальная угловая скорость.

Связь между линейными и угловыми величинами s = R; v = R; a = R; an = 2R, где R – расстояние от оси вращения.

1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Импульс (количество движения) материальной точки p = mv.

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки) dv dp F = ma = m =.

dt dt Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки dv mvF = ma = m ; Fn = man = = m2R.

dt R Сила трения скольжения Fтр = fN, где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Сила трения качения Fтр = fкN / r, где f – коэффициент трения качения; r – радиус качающегося тела.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы n p = vi = const, mi i=где n – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Координаты центра масс системы материальных точек:

mixi mi yi mizi xC = ; yC = ; zC =, mi mi mi где mi – масса i-й материальной точки; xC, yC, zC – ее координаты.

Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) ma = F + Fp, dm где реактивная сила Fp = -u ( u – скорость истечения газов из ракеты).

dt Формула Циолковского для определения скорости ракеты mv = uln, m где m0 – начальная масса ракеты.

1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ Работа, совершаемая постоянной силой dA = Fdr = Fsds = Fdscos, где Fs – проекция силы на направление перемещения; – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой, на пути s A = ds = cosds.

s F F s s Средняя мощность за промежуток времени t N = A/ t.

Мгновенная мощность dA N =, или N = Fv = Fs = Fcos.

dt П = mgh, где g – ускорение свободного падения.

Сила упругости F = -kx, где х – деформация; k – коэффициент упругости.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела П = kx2 / 2.

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы) T + П = Е = const.

Коэффициент восстановления = n / n, где n и n – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

Скорости двух тел массами m1 и m2 после абсолютно упругого центрального удара:

(m1 - m2)1 + 2m 1 = ;

m1 + m(m2 - m1) 2 + 2m 2 =, m1 + mгде 1 и 2 – скорости тел до удара.

Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара m11 + m =.

m1 + m1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Момент инерции материальной точки J = mr2, где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела) n J = ri2, mi i=где ri – расстояние материальной точки массой mi до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс J = r2dm.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m – масса тела):

Момент Тело Положение оси вращения инерции Полый тонкостенный Ось симметрии mRцилиндр радиусом R Сплошной цилиндр или Ось симметрии mRдиск радиусом R Ось перпендикулярна Прямой тонкий стерстержню и проходит через mlжень длиной l его середину Ось перпендикулярна Прямой тонкий стерстержню и проходит через mlжень длиной l его конец Ось проходит через центр Шар радиусом R mRшара Теорема Штейнера J = JC + ma2, где JC – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, Tвр = Jz2 / 2, где J – момент инерции тела относительно оси z ; – его угловая скорость.

z Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, 1 T = mC + JC 2, 2 где m – масса тела; C – скорость центра масс тела; JC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; – угловая скорость тела.

Момент силы относительно неподвижной точки M = [rF], где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.

Модуль момента силы M = Fl, где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа при вращении тела dA = M d, z где d – угол поворота тела; M – момент силы относительно оси z.

z Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения Lz = iri = Jz, mi где ri – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; mii – импульс этой частицы; Jz – момент инерции тела относительно оси z ; – его угловая скорость.

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси dL d M = ; M = Jz = Jz, z dt dt где – угловое ускорение; Jz – момент инерции тела относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы L = const.

Напряжение при упругой деформации = F / S, где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.

Относительное продольное растяжение (сжатие) = l / l, где l – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие) ' = d / d, где d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ' и относительным продольным растяжением (сжатием) ' = µ, µ Закон Гука для продольного растяжения (сжатия) = E, где Е – модуль Юнга.

Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня l 1 ES EП = = (l)2 = V, Fdx 2 l где V – объем тела.

1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Третий закон Кеплера T12 R=, T22 Rгде T1 и T2 – периоды обращения планет вокруг Солнца; R1 и R2 – большие полуоси их орбит.

Закон всемирного тяготения m1m2 r F = G, r2 r где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами m1 и m2, r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.

Сила тяжести P = mg, где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.

Напряженность поля тяготения g = F / m, где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга, П = -Gm1m2 / r.

Потенциал поля тяготения = П / m, где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью где i, j, k – единичные векторы координатных осей.

Первая и вторая космические скорости 1 = gR0, 2 = 2gR0, где R0 – радиус Земли.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета ma = ma + Fин, где a и a – соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, Fин – силы инерции.

Силы инерции Fин = Fи + Fц + Fк, где Fи – силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением а0: Fи = –ma0; Fц – центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fц = –m2R; Fк – кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v во вращающейся системе отсчета:

Fк = 2m[v ].

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.