WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Н.А. БУЛГАКОВ, И.А. ОСИПОВА ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА • ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ • Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» Н.А. БУЛГАКОВ, И.А. ОСИПОВА ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ Тамбов Издательство ТГТУ 2007 УДК 531(075) ББК В3я73 Б907 Р е ц е н з е н т Доктор технических наук, профессор кафедры «Автоматизированные системы и приборы» ТГТУ, заслуженный изобретатель России М.М. Мордасов Б907 Булгаков, Н.А.

Основные законы и формулы по математике и физике : справ. пособие / Н.А. Булгаков, И.А. Осипова. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. – 136 с. – 500 экз. – ISBN 978-5-8265-0618-9.

Представлены в сжатой форме основные законы и формулы по всему курсу физики, а также по школьной и высшей математике, знание которых необходимо для решения задач и осмысления физической сущности явлений.

Основное назначение – помочь быстро найти или восстановить в памяти необходимые законы и формулы.

Используется современная терминология и обозначения.

Привлекателен в качестве справочного материала при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам.

Помимо студентов вузов может быть полезен инженернотехническим работникам и учащимся колледжей и школ.

УДК 531(075) ББК В3я73 ISBN 978-5-8265-0618-9 © ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» (ТГТУ), 2007 Справочное издание БУЛГАКОВ Николай Александрович, ОСИПОВА Ирина Анатольевна ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА Справочное пособие Редактор Е.С. Мордасова Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова Подписано в печать 8.08.2007.

Формат 60 84 / 32. 5,9 усл. печ. л.

Тираж 500 экз. Заказ № Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета, 392000, Тамбов, Советская 106, к. ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Числовые неравенства:

Если a > b, то b < a.

Если a > b и b > c, то a > c.

Если a > b, то a + c > b + c.

Если a > b и c > 0, то ac > bc.

Если a > b и c < 0, то ac < bc.

Если a > b и c > d, то a + c > b + d.

Если a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, причем a > b и c > d, то ac > bd.

Если a > b > 0 и n – натуральное число, то an > bn.

Разложение на множители:

a2 - b2 = (a - b)(a + b) ; a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ;

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2);

a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 ;

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax2 + bx + c = 0.

Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 :

- b ± D - b ± b2 - 4ac x1,2 = = – формула корней квадратного уравнения.

2a 2a b c Теорема Виета: x1 + x2 = -, x1 x2 =.

a a Арифметическая прогрессия:

a1, a2,..., an,... – члены арифметической прогрессии;

d – разность арифметической прогрессии;

an+1 = an + d – определение арифметической прогрессии;

an = a1 + d (n -1) – формула n-го члена;

an-1 + an+an = – характеристическое свойство;

a1 + an 2a1 + d (n -1) – формула суммы n первых членов.

Sn = n = n 2 Геометрическая прогрессия:

a1, a2,..., an,... – члены геометрической прогрессии;

q – знаменатель геометрической прогрессии;

bn+1 = b q, b 0, q 0 – определение геометрической прогрессии;

bn = b1qn-1 – формула n-го члена;

bn = bn-1bn+1 – характеристическое свойство;

bnq - b1 b1(qn -1) Sn = = – формула суммы n первых членов;

q -1 q -bS = – формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при q <1.

1- q ТРИГОНОМЕТРИЯ Свойства тригонометрических функций:

sin(-x) = -sin x ; sin(x + 2k) = sin x ;

cos(-x) = cos x ; cos(x + 2k) = cos x ;

tg(-x) = -tg x ; tg(x + k) = tg x ;

ctg(-x) = -ctg x ; ctg(x + k) = ctg x, где k – любое целое число.

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов Аргумент Функция 6 4 3 2 2 sin 0 1 0 –2 3 cos 1 0 –1 2 tg 0 1 – 0 – ctg – 1 0 – Пр и ме ч а н и е. Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: 1° = / 180 рад.

Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

sin cos sin2 + cos2 = 1; tg = ; ctg = ;

cos sin 1 1+ tg2 = ; 1+ ctg2 =.

cos2 sin Формулы двойного угла:

2tg sin 2 = 2sin cos = ;

1+ tg1- tgcos2 = cos2 - sin2 = 1- 2sin2 = ;

1+ tg2 tg ctg2 -tg 2 = ; ctg 2 =.

1- tg2 2ctg Формулы тройного угла:

sin3 = 3sin - 4sin3 ; cos3 = 4cos3 - 3cos.

Формулы понижения степени:

1- cos2 1+ cossin2 = ; cos2 =.

2 Формулы сложения и вычитания аргументов:

sin( ± ) = sin cos ± cossin ;

cos( ± ) = coscos m sin sin ;

tg ± tg tg( ± ) =.

1m tg tg Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:

+ - sin + sin = 2sin cos ;

2 - + sin - sin = 2sin cos ;

2 + - cos + cos = 2cos cos ;

2 + - cos - cos = -2sin sin ;

2 sin ( ± ) tg m tg =.

cos cos Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:

sin sin = (cos( - ) - cos( + )) ;

coscos = (cos( - ) + cos( + )) ;

sin cos = (sin( - ) + sin( + )).

Знаки тригонометрических функций по четвертям Четверть Функция I II III IV sin + + – – cos + – – + tg + – + – ctg + – + – Формулы приведения Аргумент t Функ 3 ция + - + - - + 2 - 2 2 2 sin t cos cos sin – sin – cos – cos – sin cos t – sin – cos – cos – sin sin cos sin tg t – ctg – tg tg ctg – ctg – tg ctg ctg t – tg – ctg ctg tg – tg – ctg tg Решение простейших тригонометрических уравнений:

sin x = a, a 1, x = (-1)n arcsin a + n ;

cos x = a, a 1, x = ± arccosa + 2n ;

tg x = a, x = arctga + n ;

ctg x = a, x = arcctga + n, n – целое число.

Обратные тригонометрические функции:

- arcsin x, 0 arccos x ;

2 - < arctg x <, 0 < arcctg x < ;

2 arcsin(-x) = -arcsin x; arccos(-x) = - arccos x ;

arctg(-x) = -arctg x; arcctg(-x) = - arcctg x.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ a+b+c Обозначения: a, b, c – длины сторон ABC, h – высота, p = – полупериметр, S – площадь, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей.

Теорема синусов. В любом треугольнике a b c = =.

sin sin sin Теорема косинусов. В любом треугольнике a2 = b2 + c2 - 2bc cos.

Формулы площади любого треугольника:

aha bhb chc 1 abc S = = =, S = absin, S = pr, S =, 2 2 2 2 4R S = p( p - a)( p - b)( p - c) – формула Герона.

ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Линейная функция у = ах + b.

Графиком этой функции является прямая линия. Функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Оси координат пересекаются прямой в точках A(– b/a; 0) и B(0; b). В случае b = 0 получаем прямую пропорциональность у = ах. График функции проходит через начало координат.

Квадратичная функция у = ах2 + bх + с.

Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 – вниз.

- b 4ac - b Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина параболы С имеет координаты,. Абсциссы x1, x2 точек пересечения параболы 2a 4a - b ± b2 - 4ac с осью Ох определяют по формуле х1,2 =. Величины х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том случае, когда 2a оно имеет решения на множестве действительных чисел.

Многочлен третьей степени y = ax3 + bx2 + cx + d.

Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и = 3ас – b2. В случае 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку пере- b ± - гиба K. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума x4 и х5 определяют по формуле. Абсцисса 3a b точки перегиба х6 равна. Касательная к графику в точке перегиба наклонена к оси Ох под углом таким, что tg =.

- 3a 3a Степенная функция у = ахn (n > 1 – целое) Графиком функции является парабола n-го порядка, которая проходит через точки О(0; 0) и А(1; а) и касается оси Ох в начале координат.

При n четном график функции симметричен относительно оси Оу и в начале координат имеет минимум при а > 0 и максимум при а < 0.

При n нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 – расстояние между точками M1(x1; y1) и M2(x2 ; y2).

x1 + x2 y1 + y x =, y = – координаты точки, делящей отрезок с концами M1(x1; y1) и M2(x2 ; y2) в отношении = M1M : MM2.

1+ 1+ Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой ( A, B, C – любые вещественные числа, A2 + B2 0).

y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k ( b – величина отрезка, отсекаемого прямой по оси Oy ).

y - y1 = k (x - x1) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M1(x1; y1).

y - y1 x - x = – уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1; y1) и M2(x2 ; y2).

y2 - y1 x2 - xx y + =1 – уравнение прямой в отрезках ( a, b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy ).

a b Ax0 + Bx0 + C d = – расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By + C = 0.

A2 + Bk2 - k tg = – формула вычисления одного из углов между прямыми y = k1x + b1 и y = k2x + b2.

1+ k1kx2 y + =1 – каноническое уравнение эллипса ( a, b – полуоси).

a2 bx2 y - =1 – каноническое уравнение гиперболы.

a2 b y2 = 2 px, y2 = -2 px – каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ox ( p > 0 – параметр).

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ X = x2 - x1, Y = y2 - y1, Z = z2 - z1 – выражение координат вектора AB через координаты точек A(x1; y1; z1) и B(x2 ; y2 ; z2).

2 2 a = X + Y + Z – выражение длины вектора a = {X ; Y ; Z} через его координаты.

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 – расстояние между точками M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2).

a b = a b cos – определение скалярного произведения векторов a и b ( – угол между векторами).

a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 – выражение скалярного произведения векторов a = {X1; Y1; Z1} и b = {X2 ; Y2 ; Z2} через их координаты.

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z cos = – выражение угла между векторами.

2 2 2 X1 + Y12 + Z1 X2 + Y22 + Z Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости ( A, B, C – любые вещественные числа, A2 + B2 + C2 0 ).

Ax0 + By0 + Cz0 + D d = – расстояние от точки M0 (x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

A2 + B2 + Cx - x0 y - y0 z - z = = – каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a = {l ; m; n}, проходящей через точку M0 (x0; y0; z0).

l m n x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt – параметрические уравнения прямой.

x2 y2 z + + =1 – каноническое уравнение эллипсоида ( a, b, c – полуоси).

a2 b2 cx2 y2 z + - =1 – каноническое уравнение однополосного гиперболоида.

a2 b2 cx2 y2 z + - = -1 – каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.

a2 b2 cx2 y + = z – каноническое уравнение эллиптического параболоида (p > 0, q > 0 – параметры).

2 p 2q x2 y - = z – каноническое уравнение гиперболического параболоида.

2 p 2q x2 y2 z + - = 0 – каноническое уравнение конуса второго порядка.

a2 b2 cДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ sin x lim =1 – первый замечательный предел.

xx x lim1+ = e – второй замечательный предел.

x x f (x0 + x)- f (x0) f (x0) = lim – определение производной функции y = f (x) в точке x.

xx dy = f (x0)dx – дифференциал функции f (x) в точке x.

Производные простейших элементарных функций:

– Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 1) (u ± v) = u ± v ;

2) (uv) = u v + uv ;

u u v - uv 3) =, v 0.

v v– Производная постоянной функции y = f (x) = C y = 0, (Cu) = Cu.

– Производная степенной функции (xn) = nxn-1 ; ( x) = x = ;

2 x 1 = (x-1) = -.

x x– Производная показательной функции (ax) = ax ln a ; (ex) = ex.

– Производная логарифмической функции 1 (loga x) = ; (ln x) =.

xln a x Производные тригонометрических функций:

(arcsin x) = ;

(sin x) = cos x ;

1- x(arccos x) = - ;

(cos x) = -sin x ;

1- x1 (tg x) = = sec2 x ; (arctg x) = ;

cos2 x 1+ x1 (ctg x) = - = -cosec2x ; (arcctg x) = -.

sin2 x 1+ x y (t0) = f (x0) (t0) – правило дифференцирования сложной функции y = f [(t)] в точке t0 ; здесь x0 = (t0 ).

(y0 ) = – правило дифференцирования обратной функции x = (y) в точке y0 = f (x0 ).

f (x0 ) n(n -1) (uv)(n) = u(n)v + nu(n-1)v + u(n-2)v +...+ + uv(n) – формула Лейбница.

f (b)- f (a) = f (c) – формула Лагранжа; c (a, b).

b - a f (b)- f (a) f (c) = – формула Коши; c (a, b).

g (b)- g (a) g (c) f (a) f (a) f (x) = f (a)+ (x - a)+ (x - a)2 + 1! 2! (n) (n+1) f (a) f () +...+ (x - a)n + (x - a)n+1 – формула Тейлора; (a, x).

n! (n +1)! При a = 0 получаем формулу Маклорена (n) f (0) f (0) f (0) f (x) = f (0)+ x + x2 +...+ x(n) + 1! 2! n! (n+1) f (0) + x(n+1).

(n +1)! Неопределенный и определенный интегралы – Табличные интегралы:

x+1 dx xdx = + C ( -1); = ln x + C;

+1 x ax x x a dx = + C (0 < a 1); e dx = ex + C;

ln a sin xdx = -cos x + C ; cos x dx = sin x + C;

dx dx = -ctg x + C ; = tg x + C;

sin2 x cos2 x dx x dx = arcsin + C ; = arcsin x + C;

a2 - x2 a 1- xdx dx 1 x = arctg + C ;

1+ x2 = arctg x + C ;

a2 + x2 a a dx 1 x - a = ln + C (a 0);

x2 - a2 2a x + a dx 1 x -= ln + C;

x2 -1 2 x +dx 1 x dx = arctg + C (a 0); = arctgx + C;

x2 + a2 a a x2 +dx = ln x + x2 ± k + C;

x2 ± k dx = ln x + x2 ±1 + C.

x2 ± – f (x)dx = f [(t)] (t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле.

x=(t ) b – f (x)dx = f [(t)] (t)dt – формула замены переменной в определенном интеграле; () = a, () = b.

a – u(x)v(x)dx = u(x)v(x)-v(x)u(x)dx – формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

b b b – dv = uv - – формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

u a vdu a a b f (x)dx = f (c)(b - a) – формула среднего значения; c [a, b].

a b b f (x)dx = F(b)- F(a) = F(x) – формула Ньютона-Лейбница.

a a b s = f (x)dx – площадь криволинейной трапеции a 0 y f (x), a x b.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.