WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 21 |

Для учета процентной ставки r в предыдущие рассуждения необходимо внести поправку. Дело в том, что при имитации опциона посредством фьючерсов компенсации денежных потоков по опционным и фьючерсным позициям, как это наблюдалось в процедуре динамического хеджа, не происходит. На накопления или потери по маржевым выплатам ежедневно начисляется процент. Эта ситуация близка к рассмотренной в разделе 5.2, где речь шла об опционе с уплатой премии, только в данном случае рассматривается как бы одна часть портфеля, связанная с маржевыми выплатами. Для того чтобы окончательный результат операции не зависел от траектории движения фьючерсной цены, а только от конечного значения, необходимо определять коэффициент по формулам, относящимся к опционам с уплатой премии.

Пусть в момент t = 0 продается опцион колл с уплатой премии по цене, равной стоимости, и одновременно покупаются фьючерсных контрактов. Стоимость портфеля при этом равна:

0 = C0 - C0 = 0, где первое положительное слагаемое справа является полученной за опцион премией, а второе отрицательное - стоимостью короткой позиции по опциону. На следующий день на рублевую составляющую портфеля начисляются проценты, кроме того, появляется вариационная маржа V1 по фьючерсам. Как было показано в разделе 5.2, в условиях биномиальной модели стоимость портфеля при этом не меняется:

1 = (Cer +V1) - C1 = 0, А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» где - однодневный интервал. Аналогично на второй день 2 = (Ce2r +Ver +V2 ) - C2 = 0, и так 0 далее. В итоге на момент экспирации t = T = m суммарные выплаты по вариационной марже с учетом процентов составят V1er(m-1) +V2er(m-2) +...+Vm = CT - C0erT.

Метод воспроизведения опционов при имитации длинных позиций хорошо работает до тех пор, пока цена фьючерсов меняется без резких скачков. Если, например, при имитации опционов колл цена фьючерсов резко падает, то убытки по соответствующей длинной фьючерсной позиции оказываются пропорциональны падению котировки и могут превысить премию по «настоящим» опционам. При скачке вверх фьючерсные позиции принесут меньшую прибыль, чем опционы. С другой стороны, если имитируются проданные опционы, то при резких скачках фьючерсные позиции оказываются, напротив, выгоднее.

9.4. ДЕЛЬТА-ГАММА-НЕЙТРАЛЬНЫЕ ПОЗИЦИИ Еще одним видом стратегий является построение не только -нейтральных, но одновременно и -нейтральных позиций. Рассмотрим следующий пример. Пусть при фьючерсной котировке 4500 опционы колл на страйке 4500 и пут на страйке 4600 с датой экспирации через 1 месяц имеют цены, указанные в колонке «цена» таблицы 9.4. Там же даны расчетные характеристики для прогнозируемой волатильности =10%.

Цена Стоимость Vega 4500 колл 60.0 53.29 0.506 0.00299 -1.16 5.4600 пут 102.0 118.01 0.766 0.00230 -0.89 4.Таблица 9.Из этих данных следует, что опцион колл переоценен, а опцион пут недооценен. Предположим, что трейдер на основании этих данных решает продать 100 опционов колл, купить 130 опционов пут и купить 150 фьючерсов. Тогда общий портфель имеет параметры, перечисленные в таблице 9.5. Коэффициенты и портфеля здесь приблизительно равны 0. Это достигается следующей последовательностью расчетов:

приняв за исходное, что продается 100 опционов колл, подбирается количество покупаемых опционов пут, при котором портфеля обнулится; затем подсчитывается получившийся коэффициент и соответствующее количество фьючерсных позиций компенсирует этот коэффициент.

Цена Стоимость Vega 150 фьюч 0 0 150.0 0.0 0 -100 колл -6000 -5330 -50.6 -0.299 116 - 130 пут 13260 15340 -99.6 0.299 -116 Итого 7260 10010 -0.2 0.0 0 Таблица 9.График получившейся позиции показан на рис. 9.4. Из графика видно, что за счет - -нейтральности достигается стабильность стоимости портфеля в значительном интервале фьючерсных котировок, и тем самым потребность в регулярных коррекциях уменьшается. Одновременно с обнуляется и коэффициент, который в свою очередь связан с вегой, поскольку время и волатильность входят в формулу для теоретической стоимости опционов на фьючерс с фьючерсным типом расчетов в комбинации T.

Если стоимость опционов зависит от процентной ставки r, например, речь идет об опционах на акцию, то комбинация трех различных опционов, а также позиций по базисному активу позволяет построить портфель со всеми нулевыми коэффициентами чувствительности, включая чувствительность к процентной ставке (ро).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы». 9.4. --‡‡fl fl Как показывает рис. 9.4, нулевые коэффициенты чувствительности не означают стабильности стоимости портфеля и коэффициента в будущем: при достаточно больших изменениях котировки, а также с течением времени стоимость портфеля все-таки отклоняется от первоначальной, появляется и нескомпенсированный наклон графика, что требует проведения коррекций.

9.5. ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ Приведенные примеры могут создать излишне оптимистичное впечатление о полном соответствии теории и практики. В действительности теоретические модели отражают лишь основные черты реальных процессов, и даже сравнительно мелкие, но многочисленные отклонения от модели в совокупности способны привести к результатам, прямо противоположным ожидаемым. Для того чтобы продемонстрировать некоторые типичные проблемы, вернемся еще раз к таблице 9.3. Как отмечалось выше, одним из условий, при которых получена формула Блэка-Шоулса, является постоянство волатильности цены базисного актива за все время существования опциона. В реальности это не так, в том числе в рассматриваемом примере. Одним из следствий этого является то, что процедура динамического хеджа, примененная аналогичным образом к 100 опционам колл, но на других страйках, приводит к значительным отклонениям стоимости портфеля от начальной. В таблице 9.6 даны конечные стоимости портфеля 53 для некоторых страйков, а также коэффициенты Vega этих опционов на начало операции.

Страйк 4000 4500 5000 5500 53 -31 -4 44 27 Vega 3 6 8 7 Таблица 9.Для того чтобы в данном случае иметь шансы получить прибыль по окончании динамического хеджа, необходимо в начале операции иметь запас по волатильности в размере как минимум /Vega.

Например, апостериори ясно, что продавать опционы на страйке 4000 в расчете на их переоцененность имело бы смысл только в том случае, если опционная волатильность опционов как минимум была бы равна 40+31/350%, то есть значительно превышала бы прогнозируемую волатильность.

Можно дать следующее объяснение качественного характера приведенным в этой таблице данным. В условиях непостоянства волатильности цены базисного актива существенно, насколько далеко от страйка находится цена в периоды повышенной и пониженной волатильности. Если цена находится в районе страйка, то повышенная волатильность приводит к более быстрому росту стоимости портфеля по сравнению со случаем, когда цена удалена от страйка. И наоборот, если периоды, когда опцион оказывается на деньгах, совпадают с интервалами пониженной волатильности цены базисного актива, потери стоимости портфеля максимальны. Формально это связано с тем, что для опциона на деньгах коэффициенты и наибольшие.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Еще одним выводом из теоретической модели движения цены базисного актива является независимость стоимости опциона от скорости тренда базисного актива µ.

Однако если модифицировать реальную -фьючерсную котировку из таблицы 9.3 таким -образом, чтобы встроить в нее тренд с -некоторым постоянным коэффициентом µ, -и моделировать на полученном процессе -динамический хедж, то получаются -1500 -1000 -500 0 500 1000 результаты, приведенные на рис. 9.5. По отклонение окончательной расчетной цены горизонтальной оси отложено отклонение фьючерса последнего значения модифицированной ~ фьючерсной котировки F53 от исходного ~ F53 (точнее, от спот-курса, поскольку F53, F53. 9.5. fl ‰‡ ‡ ‡ ‡ ‰‡ означают спот-курс), по вертикальной – последнее значение стоимости портфеля в пересчете на один опцион.

Таким образом, наблюдается зависимость от тренда, которая имеет под собой ту же основу – дискретность хеджа и неравномерность волатильности фьючерсной котировки во времени.

Возвращаясь к началу данного раздела, отметим, что приведенные примеры не следует воспринимать как свидетельство полной несостоятельности теории стоимости опционов. Необходимо лишь представлять те рамки, в которых эти формулы получены, и, возможно, вносить такие поправки в расчеты, которые учитывали бы отклонения реальных условий от модельных. В следующей главе рассмотрена одна из возможных поправок.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» портфеля финальная стоимость ГЛАВА 10. ОПЦИОННАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ 10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если прямое назначение методов оценки опционов заключается в расчете теоретической стоимости опциона по исходным данным – цене и волатильности базисного актива; страйку и времени до экспирации опциона; процентной ставке, - то при определении опционной волатильности решается обратная задача.

Известными считаются все перечисленные исходные параметры, за исключением волатильности, вместо которой дается цена опциона. При увеличении волатильности от нуля стоимость опциона монотонно возрастает, поэтому существует единственное значение волатильности, при котором теоретическая стоимость сравнивается с заданной ценой (при условии, что цена лежит в диапазоне возможных стоимостей опциона). Найденное таким образом значение волатильности будем называть опционным5 (implied volatility).

По существу, опционная волатильность эквивалентна цене опциона и лишь выражает ее в других терминах. Для трейдеров, специализирующихся на опционах, типичными являются высказывания типа «Я купил (продал) 20%-ную волатильность» или просто «Я купил (продал) волатильность», что означает проведение сделки не в расчете на рост или падение фьючерсной котировки, а из соображений, основанных на расхождении опционной волатильности и прогнозируемой. Так, в разделе 9.1 приведен пример покупки опционов за 10% при 20%-ном прогнозе. Разность между этими величинами характеризует запас по волатильности и является не менее информативным показателем, чем собственно ожидаемая прибыль в денежном выражении.

Практически для расчета опционной волатильности может использоваться как описанный способ наращивания волатильности с некоторым шагом (скажем, 0.1%), так и более быстрые и точные численные методы решения уравнений.

10.2. КРИВАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТИ С опционной волатильностью связано понятие кривой волатильности. Для построения кривой волатильности выбирается определенная дата экспирации опционов и страйки, по которым ведется торговля опционами с этой датой экспирации, откладываются по горизонтальной оси. По вертикальной оси откладываются значения опционной волатильности. Если в некоторой серии опционов проходит сделка, то по величине премии и цене базисного актива рассчитывается опционная волатильность и для соответствующего страйка на графике делается отметка (при этом желательно применять обозначения, различающие сделки по опционам колл и пут). В идеале все анализируемые сделки должны быть проведены за очень короткий отрезок времени для того, чтобы получить «моментальный снимок» рыночной ситуации.

На том же графике могут быть изображены интервалы между ценами спроса и предложения, выраженные в терминах волатильности. Как правило, точки, соответствующие сделкам по опционам колл и пут на одном страйке, оказываются близкими, а ворота между ценами спроса и предложения имеют общую часть, что объясняется пут-колл паритетом (5.6): временные составляющие премий опционов колл и пут на одном страйке для устранения арбитражных возможностей должны быть равны, следовательно, должны быть равны и опционные волатильности. Кривая волатильности получается соединением этих точек ломаной или более гладкой линией. Когда на отдельных страйках сделки отсутствуют, то применяются методы интерполяции и экстраполяции, причем во внимание принимается весь массив имеющихся данных о сделках и заявках по всем сериям опционов со всеми месяцами исполнения. Данные об имеющихся опционных волатильностях заносятся в таблицу, в которой столбцы соответствуют страйкам, а строки месяцам исполнения (так называемую матрицу волатильностей). Таким образом, учитывается и временная структура опционных волатильностей.

Если рынок действительно руководствуется теми соображениями, которые были положены в основу формул для теоретической стоимости опционов, то полученная кривая волатильностей для одного месяца исполнения должна быть горизонтальной прямой. Действительно, каждый участник торгов составляет для себя прогноз волатильности и при наличии запаса по волатильности, который представляется ему существенным, готов покупать недооцененные и продавать переоцененные опционы. Если опционы на Известны трудности с подбором эквивалента для термина implied volatility, встречаются варианты:

подразумеваемая, предполагаемая, ожидаемая, внутренняя, индуцированная волатильность. Здесь не делается попытки перевода этого термина, а просто предлагается новый термин, подчеркивающий происхождение этой волатильности (так же как выше implied repo rate заменена на «доходность спотфьючерс»). Еще одним соображением является аналогия с interest-rate swap yield curve (кривой доходностей, выводимой из процентных свопов) – термин прямо указывает на источник данных для построения кривой.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» разных страйках имеют различную опционную волатильность, то покупатели сосредоточат спрос на наиболее дешевых в терминах опционной волатильности, а продавцы - на наиболее дорогих (для увеличения запаса по волатильности и уменьшения риска ошибки прогноза), что приведет к выравниванию цен в терминах волатильности.

Анализ реальных премий показывает, что этот вывод подтверждается лишь отчасти: как правило, опционные волатильности на соседних страйках близки, а кривая волатильности представляет собой плавную линию без резких перепадов. Однако чем сильнее страйк удаляется от цены базисного актива, тем заметнее отклонение волатильности от основного значения, в качестве которого принимается значение в центральном страйке. Это означает, что рынок принимает во внимание дополнительные факторы, которых не учитывает упрощенная модель движения цены базисного актива, положенная в основу теории.

Типичный пример кривой волатильности приведен на рис. 10.1. В таблице 10.1 показаны расчетные цены по опционам на фьючерс, базисным активом которого является западнотехасская нефть (NYMEX).

Расчетная фьючерсная цена при этом была равна 2522 цента за баррель.

страйк 2150 2200 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2800 2900 Колл 373 324 276 228 183 143 107 76 52 33 22 14 6 2 Пут 1 2 4 6 11 21 35 54 80 111 150 192 Таблица 10.На всех страйках, где даны цены опционов колл и пут, выполняется пут-колл паритет (5.6), поэтому опционные волатильности коллов и путов на одном страйке совпадают. На рисунке 10.1 наряду с кривой волатильности показаны графики цен опционов.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.