WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 21 |

Аналогичные рассуждения могут быть проведены для остальных узлов этого уровня, затем узлов более низкого уровня и т. д. В каждом узле помимо стоимости опциона указано также значение в расчете на один контракт. В результате стоимость опциона в начальной точке оказывается равна 225. Если цена опциона отличается от 225, то применимы те же арбитражные рассуждения, что и выше, но в «многоходовом» варианте. Если, например, цена опциона меньше 225, то возможно получение арбитражной прибыли путем покупки M опционов и продажи фьючерсов, где =0.81M для этого узла. В дальнейшем по мере течения времени и в зависимости от того, по какой именно траектории движется фьючерсная котировка, необходимо корректировать объем открытой фьючерсной позиции. При этом, как нетрудно убедиться, теоретическая стоимость портфеля - сумма стоимости опционов и реализованных прибылей/ убытков по открытым фьючерсным позициям - остается на одном уровне 225M. Если, например, фьючерсная котировка движется влево и стоимость опциона падает, то ровно настолько же в портфеле появляется денежных средств за счет вариационной маржи по фьючерсам. Если фьючерсная котировка растет, то растет стоимость опциона, однако именно такую же сумму приходится выплачивать в качестве вариационной маржи. Цена опциона может быть меньше стоимости вплоть до дня, предшествующего экспирации, однако в день экспирации она обязана сравняться со стоимостью, что гарантирует прибыль, размер которой мог быть определен еще в начале операции. Если цена раньше сравнивается с теоретической стоимостью опциона или превышает ее, то в этот день можно закрыть опционные и фьючерсные позиции и получить ту же или большую прибыль.

Описанная стратегия - открытие опционных и противоположных им фьючерсных позиций и последующая коррекция соотношения их объемов в соответствии с текущим коэффициентом (поддержание безрискового портфеля) называется динамическим хеджем, а параметр - коэффициентом хеджа или просто дельтой. Термин хедж (hedge - ограждение от возможных потерь, страховка) используется здесь потому, что независимо от траектории движения фьючерсной котировки стоимость портфеля остается неизменной.

Учет процентных ставок Выше предполагалось, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю. Вернемся к расчету стоимости опциона за день до экспирации в узле 5000, считая для примера, что r=360% (такое утрированно большое значение выбрано из соображений «выпуклости» расчетов). В этом случае стоимость опциона в данном узле должна быть равна 50e-r=49.5, где =1/365 - однодневный интервал. Если стоимость опциона А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» отличается от указанной, то также применимы арбитражные соображения с учетом того, что деньги на покупку опциона заимствуются, а деньги от продажи размещаются под процент r.

После того как определены стоимости в узлах за день до экспирации, рассчитываются стоимости за два дня до экспирации. Например, в узле 5100 стоимость опциона равна - r - r 50 e + 200 e - r -2 r e = 125 e 122.5, то есть равняется стоимости опциона без учета процентных ставок, дисконтированной исходя из оставшегося времени существования опциона. Изменяется и коэффициент :

- r - r 50 e + 200 e = = 0..

В исходном узле за 5 дней до экспирации стоимость опциона оказывается равна 225e-5r = 225e-rT 214, пропорционально уменьшается и коэффициент = 0.81e-rT 0.77.

При реализации арбитражной стратегии в случае отклонения цены опциона от рассчитанной стоимости для получения «запланированного» результата необходимо, чтобы процентная ставка была постоянной за время существования опциона (либо известной функцией времени - тогда в описанной пошаговой процедуре обсчет каждого слоя ведется по той ставке, которая сложится в соответствующий будущий момент). Возможность ошибки в прогнозе процентных ставок на будущее вносит свой вклад в неопределенность результатов операций с опционами.

Более детальный анализ требует учета различия ставок привлечения и размещения. Пусть трейдер имеет возможность привлекать средства под процент r = 360% и размещать под процент r = 180%.

p Этим ставкам соответствуют начальные стоимости 225e-r T = 214 и 225e-r T = 220. Предположим, что опцион продается по цене 220. Тогда наилучшим исходом для продавца будет нулевой результат, то есть отсутствие как прибылей, так и убытков. Действительно, если траектория движения фьючерсной цены такова, что даже при возникновении отрицательной вариационной маржи остаток на счете всегда положителен, то на остатки на счете ежедневно будет начисляться процент, исходя из ставки размещения.

Поскольку и начальная цена соответствует этой ставке, то стоимость портфеля будет поддерживаться на нулевом уровне. Если, однако, в какие-то моменты будут возникать отрицательные остатки на счетах, то заимствование будет осуществляться под больший процент, и результатом операции будут убытки. Тем самым продажа опциона по цене 220 в лучшем случае позволит остаться «при своих». Аналогичная ситуация возникает при покупке опциона по цене 214. Таким образом, при условии r < r в ценах опциона возникает зазор, в котором невозможно получение арбитражной прибыли. В реальной ситуации, кроме того, необходимо учитывать другие факторы, не включенные в этот упрощенный анализ: налоги, комиссионные, начальную маржу и т. п.

Алгоритм расчетов Для практического применения биномиального метода необходимо более точно, чем это изображено на рис. 5.2, 5.3, формировать сетку движения цены. В соответствии с биномиальным вариантом уравнения (3.3) из начальной точки F0 = F скачок цены через интервал времени может быть осуществлен в два положения:

µ + µ - F1 = F0 e, F1 = F0 e. (5.7) В дальнейшем каждый новый узел становится начальным и процедура расчета узлов повторяется. При движении в обратном по времени направлении теоретическая стоимость опциона в каждом узле и коэффициент дельта для европейского опциона на фьючерс с уплатой премии определяются по формулам фес фес фес Ck = e-r [ pCk +1 + (1- p)Ck +1 ], фес фес Ck +1 - Ck +фес =, k Fk - Fk +1 +фес фес где Ck +1,Ck +1 - стоимость опциона в узлах Fk, Fk соответственно, + 1 + µ - F - F 1 - e k k + p = =.

µ + µ - F - F e - e k + 1 k + А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Эти соотношения являются следствием простых геометрических пропорций (рис. 5.4). Количество необходимых фьючерсных позиций - фес подбирается из k тех соображений, чтобы вариационная маржа скомпенсировала различие стоимостей опциона в двух следующих узлах. В результате происходит уравнивание столбиков справа и слева, и «равновесное» значение с учетом дисконтирования дает стоимость фес опциона Ck.

Случай опциона на акцию отличается тем, что фьючерсная Рис. 5.4. Построение -нейтрального портфеля позиция заменяется на покупку или продажу без покрытия определенного количества акций. При этом различие методов расчета по фьючерсам и акциям вносит определенные коррективы в способ расчета стоимости опциона и коэффициента в каждом узле. Аналогичное замечание относится к опционам на валюту. Результаты имеют следующий вид:

аес Ck аес • для бездивидендной акции, определяются аналогично вышеприведенным выражениям с k S заменой фьючерсной котировки F на цену акции и параметра p на r µ - e - e p = ;

µ + µ - e - e • для валюты вес вес ( r - rв ) µ - C - C e - e - rв k +1 k +вес = e p =,, k µ + µ - S - S e - e k +1 k +S где обозначает курс валюты.

Для того чтобы биномиальным методом получить стоимость опциона пут, необходимо лишь изменить граничное значение на дату экспирации: вместо стоимости опциона колл CT использовать стоимость опциона пут PT.

Во всех трех рассмотренных случаях оказывается, что результирующие выражения для теоретической стоимости опционов колл и пут в начальном узле допускают аналитическую, хотя и довольно громоздкую, запись. При этом выявляется принципиально важное обстоятельство: если измельчать сетку, то есть уменьшать, то в предельных выражениях коэффициент сноса µ отсутствует. Тем самым теоретическая стоимость опциона не зависит от µ, о чем было упомянуто выше. Механизм «выпадения» µ из окончательных формул далеко не столь очевиден, как, например, причины отсутствия µ в выражении для стоимости форвардного контракта (4.1). Не прибегая к формальным доказательствам, можно лишь отметить, что это является следствием -нейтральности (безрисковости) портфеля, в силу которой направление изменения цены базисного актива оказывается безразличным.

Поскольку биномиальная модель движения цены тем точнее описывает непрерывное изменение цены, чем меньше, то в действительности интерес представляет именно предельное выражение. При этом коэффициент µ с самого начала не учитывают при расчетах, а здесь его присутствие обусловлено лишь логикой получения результата - таким образом, в выражениях данного раздела необходимо положить µ=0.

Практически биномиальный метод, конечно, не имеет смысла применять в рассмотренных трех случаях, так как имеются компактные аналитические результаты. Смысл появляется, например, при расчете цен американских опционов. Соответствующие поправки к алгоритму расчетов будут даны ниже.

Интересно, что идея биномиального метода может быть применена в ситуациях, далеких от торговли опционами.

Две команды играют серию матчей до 4 побед одной из команд. Ничьи отсутствуют, так что может быть сыграно не более 7 матчей. Два болельщика перед каждой игрой заключают пари, которое выигрывает тот, чья команда победила в А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» данной игре. Ставка в каждом из пари подбирается таким образом, чтобы независимо от того, сколько матчей будет сыграно, болельщик победившей во всей серии команды суммарно выиграл 100 рублей. Чему равна ставка в первой игре А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 6. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ 6.1. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН КОЛЛ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ Предельное выражение для Cаес, о котором шла речь в предыдущей главе, является ничем иным как знаменитой формулой Блэка-Шоулса. Авторы получили ее методом, основанным на теории случайных процессов. Эта формула для стоимости европейского опциона колл на бездивидендную акцию с уплатой премии имеет вид:

аес - rT C = e- rT [SerT N (d1) - EN (d2 )] = SN (d1) - Ee N (d2 ), (6.1) где E - страйк, S - текущая цена акции, SerT SerT 2 ln + 0.5 T ln - 0.5 T E E d1 =, d2 =, T T N(x) - функция стандартного нормального распределения. Выражения для d, d допускают очевидное 1 упрощение вынесением экспоненты из-под знака логарифма, однако приведенное представление позволяет, во-первых, заменить непрерывно начисляемый процент обычным (см. главу 3), во-вторых, в дальнейшем легко модифицировать эту базовую формулу применительно к остальным вариантам опционов.

µ T rT Сравнение (6.1) с (5.3) показывает, что здесь Se заменено на Se. Так же, как и в главе 4, это является следствием определенной активности покупателя или продавца опциона. Однако имеется и существенное различие: если формулы главы 4 основаны на арбитражных стратегиях, по крайней мере теоретически гарантирующих результат, то описанные в предыдущей главе стратегии зависят от точности прогноза будущей истинной волатильности. Если волатильность оценена неверно, то неправильными будут расчетные стоимости опциона и коэффициенты, вследствие чего результат операции не совпадет с ожидаемым и будет зависеть от случайных факторов.

6.2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ Перечислим все условия, при которых справедлива формула (6.1):

• выполнены предположения о процентных ставках главы 3;

• динамика цены базисного актива в течение срока действия опциона описывается уравнением (3.3) с постоянными µ и ;

• рынок базисного актива абсолютно ликвиден - в любой момент имеется возможность купить или продать без покрытия любое, в том числе дробное, количество акций;

• средства, полученные от продажи акций без покрытия, могут быть использованы в полном объеме;

• спрэд между рыночными ценами покупки и продажи акций пренебрежимо мал;

• комиссионные и налоги равны нулю;

• по акции не выплачиваются дивиденды за время существования опциона;

• на рынке отсутствуют безрисковые арбитражные возможности;

• торговля осуществляется непрерывно.

Очевидно, что эти предположения являются идеализацией реальной рыночной ситуации. В дальнейшем будут сделаны некоторые замечания, связанные с возможными отклонениями принятой модели от действительности.

6.3. МОДИФИКАЦИИ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛСА Европейский опцион колл на дивидендную акцию В предположениях относительно дивидендов по акции, при которых получена формула (4.2), в формуле Блэка-Шоулса необходимо заменить S на Sдив.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Европейский опцион колл на валюту Формула для Cвес - европейского опциона колл на валюту - получается из (6.1) заменой выражения rT ( r - rв )T Se на Se (см. (4.3)).

Европейский опцион колл на фьючерс с уплатой премии rT Формула Блэка для Cфес отличается от (6.1) заменой выражения Se на F - текущую фьючерсную котировку. Если при этом сроки истечения действия фьючерсного контракта и опциона не совпадают, то в формулу, как обычно, следует подставлять оставшееся время существования опциона.

Европейский опцион колл на фьючерс без уплаты премии В соответствии с предыдущим пунктом и соотношением (4.4) формула для Cфеб имеет вид:

феб C = FN (d1 ) - EN (d ), (6.2) где E - страйк, F - текущая фьючерсная котировка, F F 2 ln + 0.5 T ln - 0.5 T E E.

d1 =, d2 = T T Таким образом, Cфеб отличается от Cфес отсутствием дисконтирующего множителя e-rT перед всем выражением.

6.4. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН ПУТ В разделе 5.1 получена однозначная связь (5.6) стоимостей европейских опционов колл и пут на бездивидендную акцию на одном страйке, причем это соотношение не зависит от модели движения цены.

Это выражение легко переносится на все остальные варианты европейских опционов с уплатой премии заменой SerT на соответствующие выражения аналогично тому, как это было сделано для опциона колл в предыдущем разделе.

Для опциона на фьючерс это тождество можно интерпретировать как невозможность получения арбитражной прибыли за счет конверсии или реверсии (см. раздел 2.7, а также главу 11). Действительно, в случае реверсии сумма, получаемая в день экспирации, равна F - E, следовательно, в момент t = 0 эта позиция должна стоить e-rT[F - E].

Для европейского опциона на фьючерс без уплаты премии ситуация, как всегда, упрощается:

Cфеб - Pфеб = F - E. (6.3) А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 7. ГРАФИКИ СТОИМОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ 7.1. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРС БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ На рис. 7.1, 7.2 приведены кривые стоимости европейских опционов колл и пут на фьючерс без уплаты премии, построенные по формулам (6.2), (6.3). Указанные на этом и следующих рисунках даты означают текущую дату, для которой построена кривая теоретической стоимости опциона, и дату экспирации опциона.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.