WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 21 |

В качестве примера сопоставим указанные доходности для каждого из дней в период 3.08.98 – 14.08.98, непосредственно предшествовавший замораживанию ГКО-ОФЗ и девальвации рубля. На рисунке 4.показаны следующие величины:

• ВВЗ - простая годовая доходность облигации внутреннего валютного займа третьего транша с датой погашения 14.05.99;

• «спот-фьючерс» – доходность, рассчитанная по соотношению курса доллара и цены фьючерса с исполнением 17.05.99;

• ГКО – полусумма простых годовых доходностей выпусков ГКО 21116 и 21117 с датами погашения 12.05.99 и 19.05.99 соответственно;

• «спот-ВВЗ-фьючерс» – простая годовая доходность цепочки операций, описанных выше.

4 спот-ВВЗ-фьючерс 3 ГКО 2 спот-фьючерс 1 ВВЗ Рис. 4.7. Доходности «спот-фьючерс» и ГКО Рассматриваемый период характеризовался активным и порою лихорадочным сбросом российских облигаций, как рублевых, так и валютных, поэтому в данной динамичной и неравновесной ситуации трудно ожидать точного выполнения соотношения (4.5). Тем не менее кривые 3 и 4 достаточно близки и изменяются синхронно.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» % годовых авг авг авг авг авг авг авг авг авг авг авг авг ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ 5.1. «ВЕРОЯТНОСТНЫЙ» ПОДХОД В разделе 4.1 было упомянуто, что если фьючерс на бездивидендную акцию покупается или продается в спекулятивных целях с намерением сохранять позицию до дня исполнения, то следует ориентироваться на µT Se ожидаемое среднее цены акции в день исполнения. Тем не менее, как было показано, теоретическое значение фьючерсной цены определяется не из вероятностных, а из арбитражных соображений и rT Se оказывается равно. Рассмотрим первый - «вероятностный» - подход применительно к опционам. Как и ранее, будем считать, что модель движения цены базисного актива описывается уравнением (3.3) с известными параметрами.

Рассмотрим европейский опцион колл на акцию. Предположим, что купив опцион и уплатив премию, покупатель не собирается предпринимать никаких других операций с опционами или базисным активом вплоть до даты экспирации опциона, а затем исполнить или не исполнять опцион в зависимости от цены акции. Пусть текущая цена акции равна S0 = S и ожидаемая динамика цены акции описывается уравнением (3.3) с заменой F на S. Если параметры µ и модели известны, то можно определить ожидаемое вероятностное распределение цены акции в любой будущий момент, в том числе в день экспирации, а значит, и распределение финальной стоимости опциона CT (см. (2.1)).

Предположим, что сделка по опциону заключается многократно, затем случайным образом реализуется одна из траекторий цены акции и в результате становится известной величина CT. Если усреднить эти величины и допустить, что по условиям контракта покупатель обязан уплатить продавцу фиксированную премию не в день заключения контракта, а в день экспирации, то рассчитанное вероятностным способом среднее является «естественной» справедливой ценой опциона, поскольку шансы покупателя и продавца получить прибыль или понести убытки в этом случае равны.

Обозначим эту среднюю величину Cаес(T ), где T - момент экспирации опциона. Усреднение указанных сумм приводит к следующему результату:

аес C (T ) = S (T )N (d1) - EN (d2 ), (5.1) µ T где E - страйк, S (T ) = Se, S (t) S (T ) 2 ln + 0.5 T ln - 0.5 T E E d1 =, d2 =, T T N(x) - функция стандартного нормального распределения:

x y N ( x ) = e dy. (5.2) - Формула для Pаес(T ) получается аналогично усреднением возможных исходов. При этом оказывается, что Pаес(T ) и Cаес(T ) связаны следующим соотношением:

Cаес(T ) - Pаес(T ) = S (T ) - E.

Для того чтобы пересчитать Cаес(T ), Pаес(T ) к моменту заключения контракта, необходимо использовать дисконтирующий множитель (3.2). Например, для опциона колл окончательный результат имеет вид:

Cаес = e-rTCаес(T ) = e-rT [S(T )N(d1) - EN(d2)] (5.3).

Как следствие получаем, что стоимости опционов колл и пут на одном страйке удовлетворяют тождеству:

Cаес - Pаес = e-rT[SeµT - E] (5.4).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Связь между стоимостями этих же опционов можно получить другим, более простым способом.

Предположим, что в момент t = 0 имеются два портфеля. Первый содержит длинную позицию по опциону колл на страйке E и сумму денег Ee-rT, второй - длинную позицию по опциону пут на том же страйке E и акцию. В момент экспирации опциона стоимость первого портфеля равна max[E, ST ], где ST стоимость акции при t = T. Действительно, первоначальная сумма денег с учетом процентов оказывается равна E, а опцион дает CT = max[ST - E,0], что в сумме составляет указанное выражение. Стоимость второго портфеля к этому моменту также оказывается равна этой величине, поскольку если ST E, то портфель состоит из акции, а если ST < E, то опцион пут исполняется и акция продается за E.

Так как на момент экспирации стоимости порфелей одинаковы, то и в начальный момент они должны быть равны, иначе возможен арбитраж. Например, если первый портфель дороже второго, то необходимо (начиная с «нуля») продать опцион колл и занять сумму Ee-rT. По предположению, полученной премии и занятой суммы будет с избытком хватать на покупку второго портфеля.

Рассмотреть возможные исходы и убедиться, что на дату экспирации опционов итогом операции оказывается прибыль в размере разности начальных стоимостей портфелей.

К выводу о равенстве начальной стоимости портфелей можно прийти и другим путем: если из двух портфелей, стоимость которых в будущем обязательно сравняется, один дешевле, то спрос будет сосредоточен на этом портфеле, пока их стоимости не выровняются.

Таким образом, в момент t = 0 стоимости портфелей должны совпадать, то есть аес - rT аес C + Ee = P + S. (5.5) Это соотношение называется пут-колл паритетом (put-call parity).

Перепишем пут-колл паритет в виде Cаес - Pаес = e-rT[SerT - E].

(5.6) Расхождение между (5.4) и (5.6) показывает, что одна из формул неверна. Так как вторая из них основана на простых арбитражных рассуждениях и не вызывает сомнений, то первый способ получения формулы стоимости опционов следует признать ошибочным.

Метод Блэка-Шоулса, рассматриваемый ниже, исходя из той же модели движения цены (3.3), дает результаты для стоимости опционов, совместимые с пут-колл паритетом. В отличие от «статичной» стратегии покупки (продажи) опциона и пассивного ожидания даты экспирациии, подход Блэка-Шоулса предполагает проведение операций с базисным активом на протяжении всего периода существования опциона и как бы заменяет один «большой» спор непрерывной серией «маленьких» - относительно величины локального, скажем, однодневного изменения цены базисного актива. При этом окончательный результат оказывается инвариантным к конкретной траектории цены базисного актива и зависит лишь от одной обобщенной характеристики траектории - волатильности. Можно сказать, что подход Блэка-Шоулса уменьшает неопределенность, насколько это возможно, и максимально приближает «вероятностную» стратегию к «арбитражной».

Тем не менее статичные опционные стратегии также применяются, и для них соотношения (5.1), (5.3), (5.4) имеют смысл с тем замечанием, что использование в (5.3) для дисконтирования безрисковой процентной ставки r неправильно, поскольку результат операции носит неопределенный характер.

Распределение случайной величины CT является дискретно-непрерывным (рис. 5.1): имеется некоторая вероятность P1 того, что CT будет равно нулю (если ST окажется меньше или равно страйку E ), а для положительных CT распределение «размыто». Чем больше возможное отклонение CT от среднего Cаес(T ), то есть чем выше неопределенность в исходе, тем выше для покупателя должна быть ожидаемая средняя доходность операции - на уровне других инвестиций с тем же риском. Исходя из этой доходности в (5.3) и должен выбираться дисконтирующий множитель. Продажу опциона можно интерпретировать как получение кредита под процент, который становится известен только в момент T. Соответственно, для компенсации этого риска цена продажи должна быть выше (5.3). Расхождение цен покупки и продажи не исключает возможностей для сделок, поскольку индивидуальные оценки параметров µ,, а также ставки привлечения и размещения различны.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Функция N(x) (5.2) будет постоянно встречаться в дальнейшем. Она является одной из встроенных функций Excel.

Для тех, кто пользуется другими программными средствами, ниже приведена одна из ее возможных аппроксимаций в виде функции языка C, определяющей N(x) с точностью до 7 знака после запятой.

double N(double x) { double ax, t, d, p;

if (x>10) return(1);

if(x<-10) return(0); Рис. 5.1. Распределение ST и финальная стоимость опциона CT ax=fabs(x);

t=1/(1+0.2316419ax);

d=0.3989423exp(-0.5xx);

p=dt((((1.330274t-1.821256)t+1.781478)t--0.3565638)t+0.3193815);

p=(x>0) 1-p : p;

return(p);

} 5.2. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД Биномиальный метод, называемый также по имени его авторов методом Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox-Ross-Rubinstein), был предложен в 1979 году и является более поздним по отношению к методу БлэкаШоулса (1973). Однако начинать знакомство с подходами к оценке опционов лучше именно с более простого биномиального метода. В определенном смысле он аналогичен численным методам решения дифференциальных уравнений. Первоначально данный подход применялся для расчета стоимостей американских опционов, для которых отсутствует точное аналитическое решение, а впоследствии был распространен на многие более сложные производные инструменты. В настоящее время численные методы наряду с методами статистических испытаний (Монте-Карло) чаще всего используются в моделях обсчета производных инструментов, так как позволяют максимально учесть реальные условия операций с ними.

Модель движения цены Отправной точкой для биномиального метода является слегка модифицированное уравнение (3.3).

Выше уравнение (3.3) использовалось как приближенное описание непрерывного случайного процесса. В биномиальном методе от непрерывного процесса преднамеренно делается шаг назад к уравнению (3.3), в котором под k понимаются величины, принимающие только два значения: 1 и -1 (отсюда название метода). Возможные траектории такого процесса схематически изображены на рис. 5.2. При уменьшении шага по времени сетка все более измельчается (раствор сетки - угол наклона крайних лучей - при этом также возрастает из-за множителя в последнем слагаемом (3.3)) и в пределе содержит практически любую непрерывную траекторию, так что биномиальная модель не сужает класс рассматриваемых процессов. В то же время она позволяет выявить «микроструктуру» процесса и выработать определенную стратегию покупателя или продавца опциона.

Рисунок 5.2 именно схематический, так как траектории St должны изображаться экспонентами.

Прямолинейные траектории получаются, когда вместо St сетка строится для ln St, что позволяет получать более эффективные с вычислительной точки зрения алгоритмы.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Идея метода Проиллюстрируем этот метод на примере европейского опциона колл на фьючерс с уплатой премии, предполагая пока, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю.

Пример 5.1. Пусть необходимо оценить стоимость опциона колл на страйке 5000 за пять дней до экспирации опциона при текущей фьючерсной котировке 5200.

Предположим, что на следующий день возможны только Рис. 5.2. Траектории движения цены базисного актива два сценария: котировка может измениться на 100 вниз или на 100 вверх. Возможные траектории показаны на рис. 5.3. Идея биномиального метода состоит в том, чтобы двигаться от дня экспирации опциона в обратном направлении к текущему дню.

Предположим, что день экспирации наступил и фьючерсная котировка приняла одно из значений 4700, 4900, 5100, 5300, 5500, 5700. В этом случае сумма, которую получает держатель по одной открытой позиции, точно известна и изображается ломаной. Можно сказать, что в день экспирации цена обязательно совпадает со стоимостью и обе они равны указанной сумме, задаваемой выражением (2.1).

Рассмотрим ситуацию за день до экспирации, когда возможными значениями котировки являются 4800, 5000, 5200, 5400, 5600. Если котировка равна 4800, то при любом из двух сценариев следующего дня сумма, полученная по опциону, будет равна 0, поэтому и в узле 4800 необходимо поставить нулевую стоимость опциона. Более интересен узел 5000. Предположим, что в этой ситуации, то есть за день до экспирации и при сложившейся к этому моменту фьючерсной котировке 5000, куплено M опционов. Если котировка фьючерса уменьшится до 4900, то держатель опционов получит 0, а если котировка возрастет до 5100, то полученная сумма окажется равна 100 по каждой открытой позиции. Имеется способ устранить эту неоднозначность, продав одновременно с покупкой опционов фьючерсные контракты в количестве =0.5M.

Тогда, как нетрудно проверить, независимо от сценария следующего дня сумма, полученная держателем опционов, будет равна 50M. Действительно, при падении котировки до 4900 по коротким фьючерсным позициям будет получено 100, а при росте котировки по опционам будет получено 100M, но одновременно потеряно 100 по фьючерсам. При указанном выше выборе коэффициента оба исхода приводят к одинаковому результату 50М. Это означает, что стоимость одного опциона составляет 50. Комбинация, состоящая из купленных M опционов и проданных фьючерсов, или противоположная ей - проданные M опционов и купленные фьючерсов - являются частными случаями так называемого безрискового или дельта-нейтрального портфеля.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 5.3. Расчет стоимости опциона 5000 колл биномиальным методом Если цена опциона меньше 50, например, 45, то существует прибыльная арбитражная стратегия:

необходимо купить M опционных контрактов за 45M на заимствованные средства, продать фьючерсных контрактов и получить на следующий день гарантированную прибыль в размере (50-45)M=5M. Если цена опциона больше 50, например, 60, то необходимо продать M контрактов за 60M и купить фьючерсных контрактов. Тогда на следующий день при любом сценарии необходимо будет выплатить 50M, получив на этой операции (60-50)M=10M.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.