WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 21 |

1 2 m u µ =, =. (3.8) Для прогнозирования волатильности часто используется следующий прием. Задавшись некоторой шириной окна w, например, в 20 точек (20 рабочих дней или 1 месяц), «скользят» этим окном по имеющейся записи цены базисного актива. Для попадающих в окно точек определяются µ и, которые отображаются на графике для даты, являющейся правым краем окна (то есть процедура построения этих графиков аналогична построению графика скользящего среднего, применяемого в техническом анализе).

Эти данные могут быть использованы в качестве ориентира для прогнозирования волатильности на будущий период. При этом рекомендуется сначала выбрать ширину окна w порядка длины прогнозируемого периода, а затем проанализировать графики для других значений этого параметра. Как и при прогнозе динамики цены базисного актива, для предсказания волатильности привлекается разнообразный арсенал методов фундаментального и технического анализа, а также то, что можно назвать «чувством рынка».

Одним из наблюдений о поведении волатильности базисных активов на относительно стабильных западных рынках является возврат к среднему (reversion to the mean). Различные базисные активы характеризуются средними значениями волатильности, которые являются весьма устойчивыми в том смысле, что графики исторической волатильности на длительном временном интервале испытывают колебания вверх и вниз относительно этих средних значений.

О последнем виде волатильности речь подробно пойдет в главе 10, однако здесь определить ее можно как расчетный параметр, который необходимо подставить в формулу для теоретической стоимости опциона, чтобы при фиксированных остальных параметрах (цене базисного актива, страйке, времени до экспирации, процентной ставке) получить заданное значение премии. Иными словами, если прямое назначение теоретических формул - давать стоимость опциона в зависимости от различных ценообразующих факторов, то для определения опционной волатильности необходимо решить обратную задачу - по заданной премии, с которой была совершена реальная сделка, рассчитать соответствующую волатильность. По графикам опционной волатильности также строятся прогнозы, причем возврат к среднему здесь тоже имеет место.

3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH Если в (3.7) положить u = 0 и использовать упрощенный вариант этой формулы:

2 u12 + u2 +... + um =, (3.9) m то отличие результатов, как правило, пренебрежимо мало. Отдельные наблюдения u в (3.9) i суммируются с одинаковыми весами. Обобщением этого выражения является m = V + ui2, (3.10) i i =где m + = 1, (3.11) i i =а величина V имеет смысл долговременного среднего для величины и вводится для учета тенденции возврата волатильности к среднему. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям u обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего i момента.

Одним из наиболее часто упоминаемых и используемых в настоящее время способов оценки волатильности является GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), в котором используется рекуррентный вариант соотношения (3.10). Предположим, что с течением времени в каждый дискретный момент tk вычисляется своя оценка волатильности. В наиболее распространенном методе k 2 2 GARCH(1,1) по оценке и последнему наблюдению u новая оценка вычисляется следующим k -1 k k образом 2 2 = V + + u, (3.12) k k - 1 k По поводу данного термина см. сноску на стр. 61.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» где,, - постоянные положительные коэффициенты, < 1. Если предположить, что имеется бесконечная предыстория наблюдений u, то эта рекуррентная формула может быть последовательно i преобразована в выражение:

2 2 2 2 2 = V (1 + + +...) + ( u + u + u +...).

k k k - 1 k - Нетрудно видеть, что (3.11) в данном случае эквивалентно тому, что + + = 1.

Обобщением GARCH(1,1), называемым GARCH(p,q), является выражение вида (3.12), куда входят 2 2,,..., и u, u,..., u, однако такие выражения используются реже.

k -1 k - 2 k - p k k - 1 k + 1 - q Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором = 0, то есть не учитывается возврат к среднему. В системе оценки рыночного риска RiskMetrics, разработанной J.P.Morgan, волатильности вычисляются методом EWMA с = 0.94, = 0.06. Эти параметры были выбраны как наилучшие в среднем для всех рынков.

До сих пор речь шла о вычислении оценки волатильности для текущего момента. Для того чтобы сделать прогноз волатильности на l шагов вперед, в модели GARCH(1,1) следует использовать выражение 2 l = V + ( + ) ( - V ).

k + l k Так как + < 1, то по мере увеличения глубины прогноза оценка сходится к V. В EWMA + = 1, поэтому наилучший прогноз просто совпадает с текущей оценкой волатильности.

Пример 3.1. Проиллюстрируем метод EWMA на примере цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС в «послекризисный» период 01.10.98 - 20.06.02 (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС Рис. 3.3. Историческая волатильность и прогноз методом EWMA c = 0.На рис. 3.3 каждая точка графика «волатильность» означает историческую волатильность, рассчитанную по предшествующему 60-дневному периоду. График «EWMA 0.99» построен методом EWMA с = 0.99, при этом каждая точка графика отнесена не к тому моменту, в который она могла бы быть реально рассчитана, а сдвинута вправо (в будущее) на 60 точек. Тем самым для каждого момента изображена истинная волатильность в предшествующий 60-дневный период и ее прогноз методом EWMA.

Если построить график, подобный рис. 3.3, для = 0.94, то окажется, что в этом случае EWMA чрезмерно сильно реагирует на последние по времени движения цены и ошибочно прогнозирует их вперед.

При = 0.99 прогноз оказывается лучше, например, по критерию среднего квадрата отклонений прогноза от исторической волатильности.

Относительно скорости тренда µ на основании рис. 3.2 можно сделать лишь тот вывод, что после начального периода роста цены наступил период бокового тренда, то есть в первом приближении можно считать, что µ = 0. Если бы рассматривался курс рубля к доллару, то долговременный тренд прослеживался бы более четко.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 4. СТОИМОСТЬ ФОРВАРДНЫХ И ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ Прежде чем перейти к вопросу о теоретической стоимости опционов, целесообразно рассмотреть более простые форвардные и фьючерсные контракты. Это позволит наглядно продемонстрировать арбитражный подход к определению стоимости производных финансовых инструментов.

Термины цена и стоимость срочного контракта используются в дальнейшем в различных смыслах. Цена - это вполне определенная величина, сложившаяся под влиянием рыночного спроса и предложения, по которой в действительности заключен или может быть заключен контракт. Стоимость - это абстрактная величина, показывающая цену, по которой теоретически должен был бы быть заключен контракт для того, чтобы ни одна из сторон сделки не имела возможности получения арбитражной прибыли. Таким образом, если цена контракта отличается от его стоимости, появляется возможность для арбитража.

Необходимо иметь в виду, что теоретические рассуждения, применяемые при определении стоимости, обычно идеализированы и упрощают реальную ситуацию. На практике для проверки возможности арбитража следует просчитать всю цепочку предполагаемых операций, детально учитывая конкретные обстоятельства: разницу ставок привлечения и размещения, начальную маржу (см. главу 13), резервные средства для выплаты вариационной маржи в случае фьючерсных контрактов и опционов без уплаты премии, порядок налогообложения, комиссионные, налоги и т.п.

4.1. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ Бездивидендная акция Обозначим текущую цену акции через S, стоимость форвардного контракта на поставку акции со a сроком исполнения T - через F. Если цена акции удовлетворяет уравнению (3.3) с заменой F на S, то, на первый взгляд, «естественной» ценой форвардного контракта является ожидаемое среднее значение цены a µT F = S (T ) = Se акции в момент T, то есть (см. (3.5)). В действительности за теоретическую стоимость форварда принимается a rT F = Se. (4.1) Если реальная форвардная цена не равна стоимости, то существует арбитражная стратегия, a позволяющая получать прибыль не в среднем, а гарантированно. Пусть, например, F > SerT. Тогда в момент t = 0 необходимо занять сумму S под процент r, купить акцию и продать форвардный контракт, а a в момент t=T получить по форвардному контракту за акцию цену F, что по предположению больше возвращаемой в погашение кредита суммы. Данная арбитражная стратегия называется прямым арбитражем (cash and carry arbitrage).

a При F < SerT используется так называемая короткая продажа акции (short sale), или, иначе, продажа без покрытия. В момент t=0 акция берется в долг, продается по цене S, полученная сумма размещается под безрисковый процент r и одновременно покупается форвардный контракт. В момент t = T акция a выкупается по цене F и возвращается владельцу, при этом остается прибыль. Этот тип операций называется обратным арбитражем (reverse cash and carry arbitrage). Из-за отсутствия в настоящее время нормативных процедур, допускающих продажу акций без покрытия, схема обратного арбитража реально не применима, однако несколько изменив последовательность рассуждений, к соотношению (4.1) можно прийти на основании понятия квазиарбитража, в котором продажа акции без покрытия не требуется (см.

раздел 4.4).

Будем называть доходность операции по покупке базисного актива и одновременной продаже форвардного контракта, при которой фиксируется будущая цена продажи базисного актива, доходностью a «спот-форвард» (implied repo rate). В данном случае, если S, F - реальные рыночные цены, то простая доходность спот-форвард RF и соответствующая непрерывно начисляемая процентная ставка rF определяются из соотношения a F rF T 1 + R T = e =.

F S Выше речь шла о том, что при rF r возникают условия для арбитража. Поскольку арбитражная стратегия дает прибыль без всякого риска и тем большую, чем значительнее объемы сделок, при нарушении соотношения (4.1) такие операции должны проводиться очень активно и в силу рыночных механизмов А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» приводить к устранению ценового дисбаланса. Реально в силу различия цен покупки и продажи, ставок привлечения и размещения, а также других факторов в ценах форвардных контрактов возникает «зазор», в котором получение прибыли описанным способом невозможно либо сопряжено с риском.

Дивидендная акция Пусть по акции в заранее известные моменты T1, T2,..., Tm < T будут выплачены известные же дивиденды d, d,..., d соответственно. Тогда форвардный курс дается выражением 1 2 m див див rT F = S e, (4.2) див - rT1 - rT2 - rTm где S = S - d1e - d e -... - d e 2 m приведенная текущая стоимость акции с учетом будущих дивидендов, которые будут выплачены до - rT - rT - rT 1 2 m момента T. Выражения d e d e, …, d e представляют собой текущие стоимости, 1 2 m будущих дивидендов. Если d, d,..., d не известны, то не остается ничего лучшего, как использовать 1 2 m прогнозируемые значения.

див див rT Рассуждения в данном случае аналогичны. Если F > S e, то в момент t = 0 необходимо занять сумму S, купить акцию и продать форвардный контракт, а в момент t = T получить по див форвардному контракту за акцию F. Кроме того, обладание акцией позволит получить дивиденды, которые по мере поступления будут размещаться под процент r. В итоге окончательная сумма на момент T будет равна див r ( T - T1 ) r ( T - T ) r ( T - T ) 2 m F + d e + d e +... + d e, 1 2 m что, как нетрудно проверить, больше возвращаемой в погашение кредита суммы.

див rT При F < S, как и в случае бездивидендной акции, в момент t = 0 акция берется в долг, продается по цене S, полученная сумма размещается под безрисковый процент r и одновременно покупается форвардный контракт. При этом по мере выплаты дивидендов по акции заемщик акции, проводящий данную операцию, обязан выплачивать кредитору акции дивиденды. Это осуществляется за rTсчет суммы S с начисленными по ней процентами. Так, в момент T1 из суммы Se будет выплачено d1, (SerT в момент T2 из суммы - d1)er(T -T1) будет выплачено d2 и т. д. В момент t = T акция выкупается див по цене F и возвращается кредитору акции, при этом также остается прибыль.

Аналогично определяется форвардный курс купонной облигации, если под d, d,..., d понимать 1 2 m будущие выплаты по купонам, приходящиеся на период действия форвардного контракта. Особенность купонной облигации заключается в способе ее котировки: объявляемые спот-цены покупки и продажи, а также цены сделок не включают накопленный доход по купону с ближайшей датой погашения. В соответствии с этим расчет форвардного курса начинается с определения полной текущей цены облигации (прибавлением накопленного купонного дохода). Далее применяется формула (4.2), а результат уменьшается на купонный доход, который будет накоплен к моменту исполнения форвардного контракта от момента погашения предыдущего купона.

Валюта в Форвардный курс иностранной валюты F определяется аналогично:

в ( r - rв )T F = Se, (4.3) в ( r - rB )T где S - текущий спот-курс валюты, rв - безрисковая процентная ставка по валюте. При F < Se арбитражная прибыль возникает в результате заимствования валюты, конвертации ее в рубли по текущему курсу, размещения рублей под проценты и покупке форвардного контракта. В момент t = T на полученные рубли покупается валюта по форвардному курсу и погашается валютный кредит, при этом остается в ( r - rB )T прибыль. Если F > Se, то в описанной процедуре рубли и валюта меняются местами.

Таким образом, во всех рассмотренных случаях форвардный курс не зависит от случайных факторов, влияющих на курс акции или валюты в будущем, а полностью определяется известными на текущий момент параметрами. Независимость от будущих значений курса достигается за счет определенных операций, А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» сопровождающих собственно покупку или продажу контракта. Если этих операций не предполагается, например, форвардный контракт покупается или продается в спекулятивных целях, то для оценки его прибыльности необходимо строить прогнозы, в частности, привлекая вероятностные модели типа (3.3).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.