WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 21 |

Проверим, что и в общем случае, если пренебречь разновременностью платежей, оба способа расчетов – с уплатой премии и без уплаты премии - приводят к одному результату. Пусть опцион колл с уплатой премии на страйке E был куплен с премией C. Если опцион не исполняется вплоть до дня экспирации, то прибыли/убытки по опциону составят -C; если он исполняется в один из дней до дня экспирации включительно, то держатель в результате коррекции фьючерсных позиций по рынку получает F -E А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» (первоначально фьючерсные позиции открываются по страйковой цене E ), а суммарные прибыли/убытки на этот день оказываются равны F -E -C, то есть изображаются рис. 2.5.

В случае опциона без уплаты премии предположим, что расчетные цены опциона в день заключения контракта и в последующие дни, вплоть до последнего дня торговли опционом, равны C1, C2,..., Cm. Если опцион не исполняется, то Cm = 0 и суммарная вариационная маржа равна (C1 - C) + (C2 - C1)+...(Cm - Cm-1) = Cm - C = -C, то есть тому же, что и ранее. Если опцион исполняется в некоторый k -тый день, k m, то результат на этот день равен (C1 - C) + (C2 - C1)+...+(Ck - Ck -1) + (F - E - Ck ) = F - E - C, что опять-таки совпадает с приведенным выше выражением для опционов с уплатой премии. В случае опциона пут выкладки аналогичны.

Опционы без уплаты премии на первый взгляд могут показаться более сложными, чем более традиционные - с уплатой премии, однако в действительности такой способ расчетов не только снимает указанные выше нестыковки в денежных расчетах, но, как будет видно из дальнейшего, и упрощает формулы для теоретической стоимости опционов.

В таблице 2.1 приведена типичная ежедневная биржевая сводка по итогам торгов опционами на фьючерсы. В ней указаны расчетные цены для опционов с ближайшими тремя месяцами поставки. Кроме того, под таблицей обычно даются объемы торгов и количество открытых позиций отдельно по опционам колл и пут.

колл пут страйк октябрь ноябрь декабрь октябрь ноябрь декабрь 4300 223.......... 23..........

4350 184 226..... 34 76.....

4400 149 195 227 49 95 4450 118 166 200 68 116 4500 91 140 175 91 140 4550 69 117 152 119 167 4600 51 98 131 151 198 Таблица 2.9. Расчетные цены опционов Можно ли сделать какие-либо выводы относительно фьючерсной цены при таких ценах опционов (Указание: см. рассуждения в связи с рис. 2.7).

2.8. КЛАССИФИКАЦИЯ ОПЦИОНОВ Подводя итоги данной главы, классифицируем опционы следующим образом:

• по типу опциона – колл или пут;

• по виду опциона – европейский или американский;

• по базисному активу – акции, валюта, фьючерсы;

• по типу расчетов – с уплатой премии или без уплаты премии.

Акция как базисный актив будет рассматриваться в двух вариантах - как бездивидендная и дивидендная. Первое означает, что за время действия опциона выплата дивидендов не ожидается, во втором случае будет предполагаться, что заранее точно известны даты выплаты и величины дивидендов.

Результаты для акций допускают также следующее расширительное толкование. Бездивидендная акция выступает как представитель класса базисных активов, обладающих свойствами: владение этим активом, с одной стороны, не дает никаких денежных поступлений за время действия опциона, а с другой, не требует расходов по хранению, страховке и т.п. Дивидендный случай описывает класс базисных активов, владение которыми сопровождается дискретными поступлениями денежных средств.

Валюта обобщает класс активов, владение которыми сопровождается увеличением количества единиц этого базисного актива пропорционально временному промежутку и известной скорости прироста (ставке процента по валюте). Форварды, фьючерсы и опционы на валюту допускают двоякую интерпретацию в силу специфики базисного актива. Например, опцион колл на поставку долларов за рубли можно интерпретировать как опцион пут на продажу рублей за доллары.

Наконец, существуют классы базисных активов, владение которыми связано с необходимостью денежных выплат, например, за хранение товара, либо с уменьшением единиц актива со временем.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Результаты для этих случаев формально получаются простой заменой соответствующих знаков в выражениях, полученных для дивидендной акции или валюты, поэтому отдельно эти классы рассматриваться не будут.

Поскольку опционы без уплаты премии существуют только для опционов на фьючерсы, всего имеется возможных комбинаций. Принципиальный подход к оценке стоимости опциона одинаков во всех этих случаях, однако конкретные выражения получаются разными. Примем следующие соглашения: Cаес будет обозначать стоимость опциона колл на акции, европейского, с уплатой премии; Pфаб - стоимость опциона пут на фьючерс, американского, без уплаты премии, и т.д.

Известная формула Блэка-Шоулса была первоначально получена для Cаес, Pаес (Fischer Black, Myron Scholes, 1973). В следующей главе описывается рыночная модель, использованная при выводе этой формулы. Следует отметить, что несмотря на обилие работ по этой теме классическая формула БлэкаШоулса в силу ее простоты и эффективности остается широко применяемой на практике профессиональными трейдерами.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЙ 3.1. НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА При выводе формулы для теоретической стоимости опционов необходимо задаться какой-то количественной моделью тех условий, в которых совершаются операции с опционами. При этом неизбежно приходится делать ряд упрощающих предположений. Одно из ключевых связано с процентными ставками и состоит в следующем. Вводится понятие безрисковой процентной ставки, единой для всех участников торгов и одинаковой как для привлечения, так и для размещения средств. Кроме того, считается, что временная структура процентных ставок удовлетворяет условию: если Ri = R(Ti ) - годовые процентные ставки для некоторого набора периодов Ti < 1 (время в долях года), выраженные в виде простого процента, то существует единая величина r такая, что rTi e = 1 + Ri Ti (3.1) для всех i. Из этого следует, в частности, что если для некоторого периода T задана процентная ставка R= R ( T ), то для любого кратного периода Tn = nT процентная ставка Rn = R ( Tn ) однозначно определяется по правилу сложных процентов:

n enrT = (erT )n = (1 + RT )n = 1 + RnTn = erT.

Можно также сказать, что при расчете эффективной годовой процентной ставки Reff по формуле сложных процентов на основании заданных простых процентных ставок Ri = R(Ti ) всегда получается одинаковый результат: Reff =er -1. Это предположение, с одной стороны, не лишено оснований и по крайней мере приближенно часто выполняется; с другой, позволяет отвлечься от вопросов, связанных с «короткими» и «длинными» деньгами, поскольку специфические вопросы, связанные с опционами, сами по себе достаточно сложны.

Геометрический смысл параметра r, который называется непрерывно начисляемой процентной ставкой (continuously compounded interest rate), показан на рис. 3.1. Здесь для наглядности параметр r рассчитывается для 6-месячной процентной ставки R = 200% и оказывается равен r = 140%.

Экспонента ert подобрана так, чтобы пройти через точку A на прямой 1+ Rt, а прямая 1+ rt - касательная к этой экспоненте в нуле. Смысл непрерывно начисляемой процентной ставки сводится к тому, что для малых T (на практике для одного дня, а в пределе для бесконечно малых T ) величина r дает простой годовой процент, а для больших периодов по предположению рост денежных средств удовлетворяет формуле сложных процентов, то есть происходит непрерывная капитализация дохода.

Экспоненциальная форма представления сложных процентов удобна с математической точки зрения и широко используется в теоретических выкладках при определении стоимости опциона. Также записываются и окончательные результаты. Интересно, однако, что эти выражения (по крайней мере те из них, которые будут встречаться ниже) всегда содержат параметр r в готовых комбинациях erT и e-rT, которые при расчетах можно просто заменить соответственно на правую часть (3.1) и e- rT =. (3.2) 1 + RT Рис. 3.1. Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200% А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Еще одно предположение, используемое при выводе формулы стоимости опциона, состоит в том, что за время существования опциона процентная ставка r будет постоянной. Принципиально рассуждения не меняются, если считать, что будущая динамика процентной ставки r в этот период заранее известна.

Вообще говоря, непрерывно начисляемый процент применяется и в тех случаях, когда предположение (3.1) о временной структуре процентных ставок не выполняется. Тогда необходимо указывать, для какого периода T задан процент r, представляющий собой просто другую форму записи процента R. Процентные ставки r для различных периодов T легко сравнивать, поскольку большему r соответствует бльшая годовая эффективная процентная ставка.

3.2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНЫ БАЗИСНОГО АКТИВА Для определенности будем говорить об опционах на фьючерсы и обозначать текущую фьючерсную цену символом F, однако под F можно понимать текущую цену любого базисного актива.

Предполагается, что динамика цены базисного актива в течение торговой сессии описывается некоторым непрерывным случайным процессом, причем и между сессиями скачков цены не происходит. Не вдаваясь в математические подробности, связанные с корректным представлением непрерывных случайных процессов, примем более простое и наглядное описание цены как дискретного процесса с некоторым временным шагом : F0 = F, F1, F2,..., Fm. Шагом может быть один день, одна неделя, один час, 15 мин и т.д. Шаг будет выражаться в долях года, причем поскольку процесс «существует» только в течение торговых сессий, то 1 год считается равным в среднем 252 рабочим дням, и если, например, шаг по времени равен одному дню (типичный случай), то =.

Дискретная модель движения цены описывается уравнением Fk - Fk -= µ + k, (3.3) Fk -где слева стоит относительное изменение цены, а справа:

• µ - средняя скорость тренда цены, выраженная как простой годовой процент;

• - волатильность (volatility);

•,,..., - последовательность гауссовских независимых случайных величин с нулевым 1 2 m средним и единичной дисперсией.

Первое слагаемое справа при отсутствии второго и достаточно малом интервале задает экспоненциальный рост или снижение цены по формуле µt k F (tk ) = Fk = Fe, (3.4) где tk = k, что имеет аналогию с выражениями предыдущего раздела при замене r на µ. Второе слагаемое описывает случайные колебания цены относительно траектории ее среднего роста или снижения.

Разброс случайных возмущений i стандартизован и определяется единичной дисперсией, а влияние их на цену регулируется параметром. Таким образом, модель (3.3) содержит как прогнозируемую составляющую изменения цены, так и ее непредсказуемые колебания, а волатильность является характеристикой размаха этих колебаний. Волатильность обычно указывается в процентах. Типичными значениями на товарных и фондовых рынках являются 15 - 30% и более.

Модель (3.3) при 0 переходит в модель непрерывного изменения цены, которая в некотором отношении проще, так как дает более компактные результаты. Если использовать эту модель для прогноза цены в определенный будущий момент t, то F(t) имеет так называемое логнормальное распределение со средним µ t F ( t ) = Fe, (3.5) а разброс цены относительно среднего F(t) - F(t) характеризуется среднеквадратическим отклонением (СКО) t = F ( t ) e - 1 F ( t ) t. (3.6) F ( t ) Последняя аппроксимация тем точнее, чем меньше t по сравнению с F(t). Логнормальное распределение, в отличие от нормального, несимметрично и целиком лежит в положительной области. Чем меньше t по сравнению с F(t), тем ближе логнормальное распределение к нормальному со средним А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» F(t) F(t) и СКО. Поэтому в первом приближении вероятность того, что F(t) окажется в определенном интервале с центром F(t), может быть определена на основании хорошо известных свойств гауссовского распределения.

Вероятность Интервал относительно F(t) 70% ± F (T ) 95% ± F (T ) 99.7%.

± F (T ) Более точно эти интервалы могут быть определены на основании следующего свойства F(t): случайная величина ln F(t) имеет нормальное распределение со средним ln F(t) - 0.5 t и СКО t.

Если в (3.6) взять t = 1 - один год, то F(t). Тем самым в первом приближении F (t ) волатильность можно интерпретировать как СКО цены через один год, выраженное как процент от ожидаемого среднего значения. Если t = 1/ 252 - один день, то F. При цене базисного актива F (t ) F = 5000 и волатильности = 40% распределение цены на следующий день имеет относительное СКО 40/16=2.5%, а в терминах цены 5000*2.5%=125 рублей.

В разделе 3.1 и в данном временные интервалы T измеряются по-разному. В предыдущем разделе, где речь шла о процентных ставках, для определения T необходимо было взять полное количество дней и отнести его к 365, а в данной необходимо количество рабочих дней делить на 252. Небольшое различие, которое при этом возникает, часто игнорируется, однако для уточнения приводимых в дальнейшем формул теоретической стоимости опционов рекомендуется использовать первый способ в выражениях rT и второй способ в выражениях µT, T.

3.3. ТИПЫ ВОЛАТИЛЬНОСТИ В главе 5 будет показано, что парадоксальным на первый взгляд образом теоретическая стоимость опциона не зависит от скорости тренда µ цены базисного актива. Для оценки стоимости опциона важно спрогнозировать волатильность цены базисного актива в будущий период до момента экспирации опциона. Различают 4 типа волатильности:

• истинную будущую волатильность;

• историческую волатильность (historical volatility);

• прогноз на определенный будущий период;

• опционную волатильность4 (implied volatility).

Истинная будущая волатильность - это то, что хотелось бы знать сегодня, но что станет известно только по прошествии данного периода.

Историческая волатильность определяется по ценам базисного актива в некоторый предшествующий период времени. Для того чтобы получить оценку параметров µ, по дискретному набору цен базисного актива F0 = F, F1, F2,..., Fm, необходимо определить относительные изменения цены за период F1 - F0 F2 - F1 Fm - Fm - u1 =, u =,..., u =, 2 m F0 F1 Fm - рассчитать среднюю скорость тренда u + u +... + u 1 2 m u =, m а затем вычислить оценку волатильности для периода (u1 - u )2 + (u2 - u )2 +... + (um - u ) =. (3.7) m - А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Используя обычную терминологию, можно сказать, что волатильность - это СКО случайных величин u, u,..., u. Оценки коэффициентов µ, получаются нормированием:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.