WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 21 |

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 9. СТОИМОСТЬ ПОРТФЕЛЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ В этой и последующих главах для определенности речь идет об опционах на фьючерс без уплаты премии. Считается, что фьючерс является расчетным, а дата экспирации опционов совпадает с датой исполнения фьючерсов. Остальные варианты по существу аналогичны.

Далее под портфелем будем понимать открытые фьючерсные позиции c определенной датой исполнения и опционы на данный фьючерсный контракт, а также возникшие в результате выплат вариационной маржи рублевые средства (отрицательные означают задолженность). Рассмотрим следующий портфель с исполнением 15 июня, в котором позиции открыты 30 апреля:

• 3 коротких фьючерсных позиции по цене 5050;

• 100 длинных позиций по опциону колл на страйке 5100 по цене 47;

• 100 длинных позиций по опциону пут на страйке 5000 по цене 47.

Для того чтобы получить эти цены опционов по формулам (6.2), (6.3), в них необходимо подставить =10%, то есть опционная волатильность в данном случае равна 10%.

Пусть прогноз волатильности фьючерсной цены на оставшийся период действия опциона равен 20%, тогда теоретическая стоимость опциона колл равна 116, а опциона пут 115. Суммарная стоимость опционов превышает их суммарную цену на 100(116+115)-100(47+47)=13700.

Эта величина показывает потенциальную прибыль, «содержащуюся» в позиции при условиях:

1) правильности прогноза волатильности; 2) применения динамического хеджа. Будем называть эту величину потенциальной прибыльностью/убыточностью позиции (сокращенно ППУ позиции).

Определим стоимость портфеля как сумму стоимости позиции и рублевых средств, возникших в результате ежедневной корректировки позиций по рынку, а также, возможно, начисления процентов на остатки.

Пусть на конец торгового дня расчетные цены оказались равны: по фьючерсам 5000, по опционам колл 30, по опционам пут 70. Опционная волатильность, соответствующая этим ценам, та же - 10%.

Вариационная маржа по итогам дня положительна:

(-35000+10030+10070)-(-35050+10047+10047)=750.

В результате портфель состоит из этой денежной суммы и скорректированных по рынку позиций по фьючерсам и опционам. Стоимости опционов, соответствующие =20%, при этом равны 95 для опциона колл и 137 для опциона пут, а ППУ позиции составляет 100(95+137)-100(30+70)=13200.

С учетом вариационной маржи ППУ портфеля на конец дня равна 13200+750=13950. Заметим на будущее, что ППУ портфеля возросла на 250 по сравнению с первоначальной 13700.

Игнорируя разбиение на денежную составляющую и ППУ открытых позиций, ППУ портфеля можно получить проще, отталкиваясь от исходных цен открытия позиций:

(-35000+10095+100137) - (-35050+10047+10047)=13950.

На рис. 9.1 изображен график позиции на конец дня. Ломаная XX показывает суммарные прибыли/убытки, которые будут получены на день экспирации (в дополнение к уже начисленной вариационной марже) при условии сохранения позиции неизменной. Эта ломаная является суммой графиков вида 1.2, 2.5, 2.6, если считать, что фьючерсные позиции открыты по цене 5000, опционы колл куплены по цене 30, опционы пут - по цене 70.

Линия YY построена в расчете на опционную волатильность =10%. На текущей фьючерсной котировке 5000 эта линия проходит через ноль, как и должно быть для опционной волатильности (при этой волатильности теоретическая стоимость опционов совпадает с реальной ценой). В случае немедленного закрытия всех позиций по расчетным ценам дня никаких дополнительных прибылей или затрат не будет.

Для других фьючерсных цен линия YY показывает прибыли/убытки при условии «замораживания» остальных ценообразующих параметров - времени и волатильности. Вопросы, связанные с опционной волатильностью, рассматриваются подробнее в следующей главе.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 9.1. Суммарный график открытой позиции Линия ZZ изображает ППУ позиции при прогнозируемой волатильности =20%. В частности, значение графика ZZ на текущей фьючерсной котировке равно 13200.

Наряду с приведенным графиком открытой позиции часто используют график портфеля, в котором фьючерсы и опционы изображают исходя из первоначальных цен открытия позиций - 5050 для фьючерсов и 47 для опционов, в этом случае ломаная ХХ является статичной и не меняется. Для такого графика портфеля в любой из дней линия YY, построенная в соответствии с текущей опционной волатильностью, на расчетной цене фьючерса показывает накопленную к этому моменту суммарную вариационную маржу - что удобно. Введенное выше разделение стоимости портфеля на денежную составляющую и стоимость позиции целесообразно только в том случае, когда на остатки на счете начисляется процент и денежная составляющая портфеля не является простой суммой ежедневных прибылей/убытков.

Проверить, что для получения графика портфеля на рис. 9.1 достаточно сдвинуть линии XX, YY, ZZ вверх на 750, то есть учесть полученную вариационную маржу.

Построим к линии ZZ в точке 5000 касательную. Касательная в некоторой окрестности 5000 достаточно точно описывает изменение стоимости позиции и, следовательно, стоимости портфеля, вызванное смещением фьючерсной котировки. Представим себе второй портфель, состоящий только из фьючерсных позиций в таком количестве, что график прибылей/убытков по этому портфелю имеет тот же наклон, что и касательная. Количество фьючерсных позиций во втором портфеле является важной характеристикой первого портфеля и носит название коэффициента дельта или коэффициента хеджа. Если > 0, то позиция называется длинной рыночной позицией, если < 0, то короткой рыночной позицией, и при = 0 - дельта-нейтральной или безрисковой позицией.

Коэффициент хеджа равен тангенсу угла наклона касательной. Если портфель состоит из одной длинной фьючерсной позиции, то = 1, если из одной короткой, то = -1. Для одной длинной позиции по опциону колл меняется от 0 для опциона глубоко вне денег (то есть когда цена базисного актива мала по сравнению со страйком) до 1 для опциона глубоко в деньгах. На деньгах значение приблизительно равняется 0.5. Для одной длинной позиции по опциону пут принимает отрицательные значения, меняясь от -1 для опциона глубоко в деньгах до 0 для опциона вне денег. Если открыта опционная позиция на большее число контрактов, то пропорционально увеличивается.

Таким образом, изменения стоимости сложного составного портфеля при колебаниях цены базисного актива приблизительно такие же, как если бы просто занимать позицию по базисному активу. Если цена базисного актива переместится из F0 в точку F1, то стоимость портфеля приблизительно будет равна 1 = 0 + 0(F1 - F0).

Коэффициент является одним из так называемых коэффициентов чувствительности стоимости портфеля (sensitivities) по отношению к ценообразующим параметрам. Эти коэффициенты показывают, на сколько меняется стоимость портфеля при малом отклонении того или иного параметра от опорного значения, при котором рассчитана стоимость портфеля. Термин «коэффициенты хеджа» обобщенно А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» применяют и ко всем этим коэффициентам, поскольку они позволяют строить портфели, инвариантные к локальным изменениям того или иного параметра или одновременно нескольких из них.

Как следует из формул главы 6, стоимость портфеля зависит от таких переменных, как текущая фьючерсная котировка, время до экспирации опционов, волатильность, а в ряде случаев также и от процентной ставки:

= ( F, t,, r ), где t - переменная, означающая текущее время. В этом выражении опущены страйки и даты экспирации опционов, поскольку они фиксированы.

Параметр дельта показывает, на сколько меняется стоимость портфеля при изменении цены базисного актива на единицу (1 рубль) при фиксированных остальных параметрах. Математически определяется как частная производная стоимости портфеля по цене базисного актива:

=.

F В дополнение к коэффициенту вводится коэффициент гамма :

= =, F F который позволяет оценить, на сколько меняется при изменении цены базисного актива. Для портфеля, состоящего только из фьючерсных позиций, = 0. В общем случае при сдвиге цены базисного актива в точку F1 коэффициент хеджа будет равен 1 = 0 + 0 (F1 - F0), где оба коэффициента - 0 и 0 - рассчитаны в точке F0. Более точно стоимость портфеля в точке Fдается соотношением 1 = 0 + 0 ( F1 - F0 ) + 0.50 ( F1 - F0 )2. (9.1) Коэффициент 0 характеризует кривизну графика стоимости портфеля в окрестности точки F0.

Аналогично определяются коэффициенты чувствительности стоимости портфеля по отношению к остальным ценообразующим параметрам - тета, вега, ро:

=, Vega =, =. (9.2) t r Удобнее нормировать коэффициенты следующим образом:

1 1 =, Vega =, =, 252 t 100 100 r тогда тета, вега, ро измеряются соответственно в руб/день, руб/процент, руб/процент и показывают изменение теоретической стоимости портфеля • на следующий торговый день;

• при увеличении волатильности на один процент;

• при увеличении процентной ставки r на один процент.

Формулы для расчета коэффициентов чувствительности приведены в приложении А. Во избежание недоразумений обратим внимание на то, что в определении коэффициента используется текущее время t, тогда как все формулы даются в терминах срока действия опциона T = T - t, где T фиксированная дата экспирации. Очевидно, что для получения следует дифференцировать стоимость по T, но результат брать с обратным знаком.

В рассматриваемом примере коэффициенты в момент открытия позиций имели значения, указанные в таблице 9.1 ( F0 = 5050, = 20%, коэффициент здесь равняется 0). Первоначально позиция была практически -нейтральной: остаточный коэффициент = -0.2 по модулю меньше 1 и не может быть устранен покупкой или продажей фьючерсов. Приблизительно первоначальную стоимость позиции можно оценить как произведение коэффициента вега на запас по волатильности, определяемый как разность прогнозируемой и опционной волатильностей: 1373(20-10)=13730.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Коэффициент Vega -3 фьючерса -3.0 0.0 0 100 длинных 5100 колл 45.7 0.114 -223 100 длинных 5000 пут -42.9 0.113 -220 Итого по портфелю -0.2 0.227 -443 Таблица 9.1. Коэффициенты чувствительности портфеля, F0 = 5050.

При смещении фьючерсной котировки в точку F1 = 5000 таблица приобретает следующий вид:

Коэффициент Vega -3 фьючерса -3.0 0.0 0 100 длинных 5100 колл 40.0 0.112 -215 100 длинных 5000 пут -48.6 0.116 -222 Итого по портфелю -11.6 0.228 -437 Таблица 9.2. Коэффициенты чувствительности портфеля, F1 = 5000.

При этом возникает короткая рыночная позиция. Новый коэффициент = -11.6 мог бы быть получен на основании данных таблицы 9.1 как сумма остаточного коэффициента и произведения коэффициента на смещение фьючерсной котировки:

-0.2+0.227(-50)=-11.55.

Рассчитанное выше приращение стоимости портфеля (250) в соответствии с (9.1) можно оценить как -0.2(5000-5050)+0.50.2275050=288.

Если необходимо оценить стоимость портфеля при изменении всех факторов, то следует использовать формулу 1 = 0 + 0(F1 - F0) + 0.50(F1 - F0)2 + 0 (t1 - t0 ) +Vega0 (1 - ) + 0 (r1 - r0), где • F1 - F0 - сдвиг цены базисного актива, • t1 - t0 - интервал времени в днях, • 1 - - сдвиг волатильности в процентах, • r1 - r0 - изменение процентной ставки в процентах.

9.2. ПРИМЕР ДИНАМИЧЕСКОГО ХЕДЖА I Коэффициент имеет прямое отношение к динамическому хеджу. Продолжим пример 3.1 раздела 3.4.

Последняя точка графика исторической волатильности на рис. 3.3 дает истинную волатильность фьючерсной котировки за предшествующий 60-дневный период, равную приблизительно 40%.

Предположим, что в течение всего этого периода рынок котирует опционы исходя из 40%-ной волатильности. Так, 27 марта при котировке F0 = 5000 июньские опционы колл со страйком 5000 стоят 360 рублей. Предположим, что трейдер покупает 100 опционов и в дальнейшем применяет динамический хедж. Считается, что на остатки на счете процент не начисляется.

Первый шаг состоит в расчете коэффициента дельта купленных опционов: 0 = 53.6, и продаже фьючерсных контрактов по текущей цене F0 = 5000 для получения -нейтральной позиции. После ~ коррекции портфель имеет остаточный коэффициент 0 = -0.4. Изменение графика портфеля в результате продажи фьючерсов иллюстрируется рис. 9.2, где пунктирная линия показывает позицию по опциону колл до фьючерсной коррекции.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 9.2. Суммарный график открытой позиции Куда бы ни двинулась фьючерсная цена после открытия -нейтральной позиции, стоимость портфеля (в соответствии с гладкой параболообразной кривой) будет увеличиваться. Однако с течением времени происходит уменьшение временнй стоимости опциона, что иллюстрируется рис. 9.3.

Рис. 9.3. Двухдневное изменение стоимости портфеля Коэффициенты чувствительности позиции 27.03.02 равны -349 руб., 0 0.Предположим, что фьючерсные коррекции проводятся через день. К 29.03.02 из-за временного убывания стоимости опциона график смещается вниз на 700 руб. Как следует из рис. 9.3, для точной компенсации временного убывания дневное колебание фьючерсной котировки должно быть равно 177 рублям, независимо от направления. Эту величину можно оценить из соотношения - 2 = 0.50 ( F2 - F0 ), (9.3) откуда F2 - F0 = 2 * 349 /( 0.5 * 0.044 ) 177.

Формула Блэка-Шоулса «устроена» таким образом, что среднеквадратическое двухдневное изменение котировки, определяемое по формуле (3.6) при t = 2 / 252, F(t) F0 = 5000, = 40%, совпадает с этой величиной:

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» = 5000 * 0.4 * 252 / 2 177.

F ( t ) Реально фьючерсная цена 29.03.02 была равна 5172, то есть приращение цены фьючерса было приблизительно таким, чтобы скомпенсировать временное убывание стоимости опциона. Более точно, изменение стоимости портфеля составило –110 рублей, при этом коэффициент дельта портфеля возрос с – 0.4 до 7. Эти величины можно приближенно оценить с помощью коэффициентов чувствительности:

~ + 0 ( F2 - F0 ) = -0.4 + 0.044 *172 = 7.1 ~ 2 - 0 = 20 + 0(F2 - F0) + 0.50(F2 - F0)2 = - 2 * 349 - 0.4 *172 + 0.5 * 0.044 *1722 -117.

Для устранения возникшего наклона позиции (ненулевого коэффициента дельта) короткая фьючерсная позиция наращивается до 54+7=61, после чего общая позиция становится горизонтальной в окрестности новой фьючерсной цены 5172. Если этого не делать, то сохраняется вероятность возврата котировки в исходную точку с потерей приращения стоимости позиции, вызванного движением фьючерсной цены.

В дальнейшем коррекция числа открытых фьючерсных позиций (динамический хедж) проводится по той же схеме. В таблице 9.3 приведены результаты динамического хеджа вплоть до даты исполнения фьючерсов и опционов. Столбцы таблицы имеют следующий смысл:

• даты, в которые проводятся коррекции (через один рабочий день, для сокращения размеров таблицы);

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 21 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.