WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

С ЦЕЛЬЮ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛА С ПОСТЕПЕННЫМ УСЛОЖНЕНИЕМ КОЛИЧЕСТВА ПАРАМЕТРОВ ОПТИМИЗАЦИИ, РАССМОТРИМ, В НАЧАЛЕ, АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (2.1) – (2.4) ДЛЯ ОДНОГО ИНТЕРВАЛА ВРЕМЕНИ, Т.Е. ПАРАМЕТР T В УКАЗАННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ БУДЕТ ОПУЩЕН. ТАКИМ ОБРАЗОМ СУММИРОВАНИЕ В ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ БУДЕТ ТОЛЬКО ПО I (2.1). КРОМЕ ТОГО, ИЗ-ЗА ОТСУТСТВИЯ ПАРАМЕТРА ВРЕМЕНИ, ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ ПРОИЗВОДИТЬСЯ НЕ БУДЕТ.

АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СЛЕДУЮЩИЙ.

1 Формируются следующие исходные данные: диапазоны изменения прибыли от единицы продукции qmin q qmax; начальный запас ресурсов предприятия b0; функции спроса на продукцию xmax = f(q); системы технологических ограничений (2.2); функция инвестиций I(b0, b1), где b1 – конечный запас ресурсов предприятия; I – величина инвестиций на увеличение ресурсов предприятия на единицу.

2 С использованием первой версии метода Нелдера–Мида производится поиск оптимального варианта прибыли от единицы продукции q в указанном диапазоне.

3 Соответствующий q максимальный объем продаж xmax определяется, исходя из функции спроса на продукцию.

4 С использованием второй версии метода Нелдера–Мида для выбранного варианта q и xmax происходит поиск оптимального варианта запасов ресурсов предприятия b. При этом xmax определяет верхнюю границу варьирования bmax = A xmax, где А – матрица расхода ресурсов на производство единицы продукции.

5 Для выбранных вариантов q и b происходит поиск оптимального решения (объемов продаж x) с использованием метода Бокса. Общая величина чистой прибыли определяется как разность суммы прибылей от всех продуктов и инвестиций, связанных с увеличением ресурсной базы предприятия.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ВЫСТРАИВАЕТСЯ ИЕРАРХИЯ ДВУХ ВЕРСИЙ (КОПИЙ) МЕТОДОВ НЕЛДЕРА–МИДА И ОДНОГО МЕТОДА БОКСА. НА РИС. 2.3 ПРИВЕДЕНА БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО ИНТЕРВАЛА ВРЕМЕНИ.

Решим конкретный пример поставленной задачи. Пусть планируются к продаже два продукта: x1 и x2 на одном временном интервале (параметр t в модели (2.1) – (2.4) опущен). Коэффициент дисконтирования примем равным единице.

max Пусть для первого продукта функция спроса имеет следующий вид: x1 = -1,4q1 + 50, а для второго max продукта: x2 = -1,6q2 + 70 xmax2. Диапазон изменения прибыли от единицы для первого продукта: q1 = (5…30), для второго продукта: q2 = (10…40). Начальный запас ресурсов b0 = (4000, 7000, 4000). Рассмотрим два варианта инвестиций на увеличения запаса ресурсов на 100 единиц: I1 = (5; 3; 6) и I2 = (1;

0,6; 1,2).

Система ограничений определяется b1 и xmax и имеет следующий вид:

250 x1 + 150 x b11, 350 x1 + 250 x b12, 100 x1 + 200 x b13, 0 x1 x1max, 0 x x.

max 2 На рис. 2.4 представлено изменение значения общей прибыли в зависимости от прибыли q для двух вариантов I.

Для первого варианта I1 при увеличении параметров q общая прибыль Qобщ строго возрастает до Qобщ = 746 при q = (28,2; 32,9). Затем происходит резкое падение Qобщ до значения 480 при x1 = 8, x2 = 6.

max max Оно соответствует максимальным объемам продаж x1 = 8, x2 = 6, определяемым функциями спроса.

При этом начальный запас ресурсов не расходуется полностью: b11 = 2900, b12 = 4300, b11 = 2000.

Начало алгоритма Ввести n – число выпускаемы х продуктов, m – число используемых р есурсов. Ввести стоимость инвестиций в увеличение ресурсов на единицу min max I. Ввести минимальную q и максимальную q прибыль от единицы ma x продукции, функции спроса для всех продуктов x = f(q ), запас ресурсов предприятия b. Значение целевой функции общей дисконтированной прибыли Q = общ Цикл 1. Поиск оптимального варианта q* первой версией метода Нелдера – Ми д а Выбор q = q ' Не т Д а min max q q q ma x Вычисление x = f(q ) и ma x max b = A x Принимается наихудшее значение целевой * Цикл 2. Поиск оп тим ального варианта b min функции Q = Q второй версией метода Нелдера – Ми д а Выбор b = b ' 1 Д а min ma x b b b 1 1 Нет Принимается Цик л 3. По ис к оптимального наихудшее * варианта x ме т одом Бокса значение целевой min функции Q = Q Выбор x = x ' Д а min ma x x x x В ы числение Q общ Не т при q ', b '1, x ' Принимается наихудшее значение целевой Коне ц цикла min функции Q = Q Коне ц цикла Коне ц цикла Коне ц алгор итма Рис. 2.3 Алгоритм поиска оптимального решения для одного интервала времени 1003,983,843,746,676,569,164 571,314,267,200 199,(5,10) (10,15) (19, 24.2) (20,30) (28.2, 32.9) (30,40) Прибыль от единицы продукции, q Инвестиции на единицу ресурса (5, 3, 6) Инвестиции на единицу ресурса (1, 0.6, 1.2) Общая прибыль, Q общ Рис. 2.4 Диаграмма решений вариантов задачи оптимизации для одного интервала времени К данному значению Qобщ = 480 сходятся решения и для второго варианта I2. Однако для данного варианта целевая функция Qобщ при росте q имеет точку максимума при q = (19; 24,2). Затем происходит плавное снижение до Qобщ = 844 при q = (28,2; 32,9). После этого оптимальное решение соответствует значению Qобщ = 480.

Возникновение точки максимума для второго варианта I2 объясняется тем, что, при увеличении q (прибыли от единицы продукции), максимальная прибыль, получаемая от всего объема продаж, соответствует вариантам при наибольших объемах продаж при данной норме прибыли q. Иными словами, становится выгодным производить как можно больше продукции, невзирая на необходимость дополнительных инвестиций в увеличение запасов ресурсов, связанных с ростом объемов производства. Дополнительные инвестиции компенсируются высоким значением прибыли от единицы продукции и значительными объемами продаж. Однако, при q > (19; 24,2) максимальных объемов продаж при данных нормах прибыли уже недостаточно для компенсирования дополнительных инвестиций, несмотря на продолжение роста q. То есть, в полной мере происходит отражение влияния функции спроса на поставленную задачу.

Таким образом, с использованием поисковых методов Нелдера–Мида и Бокса были найдены следующие оптимальные варианты.

Для I = (5; 3; 6):

– Qобщ = 746,042;

– q1 = 28,18587, q2 = 32,87359;

– x1 = 7,57, x2 = 17,4;

– b11 = 4503,194, b12 = 7000,582, b13 = 4237,502;

– I(b0, b1) = 39,4.

Для I = (1; 0,6; 1,2):

– Qобщ = 1003,218;

– q1 = 19,00228, q2 = 24,21198;

– x1 = 23,4, x2 = 30;

– b11 = 10348,62, b12 = 15688,12, b13 = 8339,451;

– I(b0, b1) = 168.

ТЕПЕРЬ РАССМОТРИМ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (2.1) – (2.4) ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ, НА КОТОРЫЕ РАЗБИТ ГОРИЗОНТ ПЛАНИРОВАНИЯ. ТАКИМ ОБРАЗОМ, СУММИРОВАНИЕ В ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ БУДЕТ НЕ ТОЛЬКО ПО I (2.1), НО И ПО T-СЧЕТЧИКУ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ. КРОМЕ ТОГО, ИЗ-ЗА ПАРАМЕТРА ВРЕМЕНИ, ВОЗНИКНЕТ НЕОБХОДИМОСТЬ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ.

Алгоритм поиска оптимального решения задачи распределения долгосрочных ресурсов промышленного предприятия в долгосрочном периоде следующий.

1 Формируются следующие исходные данные: диапазоны изменения прибыли от единицы продукции qmin q qmax для всех интервалов времени; начальный запас ресурсов предприятия b0; функции спроса на продукцию xmax = f(q) для всех интервалов времени; система технологических ограничений + (2); функция инвестиций I(bt–1, bt); I, I – величины инвестиций на увеличение и доходов от ликвидации ресурсов предприятия на единицу.

2 С использованием первой версии метода Нелдера–Мида производится поиск оптимального варианта запасов ресурсов bt для всех t = 1, 2, …, T по всему составу ресурсов (размерность поискового метода равна mT, где m – общее число ресурсов).

3 С использованием второй версии метода Нелдера–Мида для выбранных bt производится поиск оптимальных значений прибыли от единицы продукции qt для всех интервалов времени t = 1, 2, …, T.

4 Соответствующий значению qt максимальный объем продаж xtmax определяется, исходя из функции спроса на продукцию. При этом верхняя граница варьирования запасами ресурсов btmax остается неизменной и равной bt – варианту, выбранному первой версией метода Нелдера–Мида.

5 Для выбранных вариантов qt и bt происходит поиск оптимального решения (объемов продаж xt) с использованием метода Бокса. Величина чистой дисконтированной прибыли для отдельного интервала определяется как разность суммы прибылей от всех продуктов и инвестиций, связанных с увеличением ресурсной базы предприятия, умноженная на соответствующий коэффициент дисконтирования.

6 Общая чистая дисконтированная прибыль определяется суммированием чистых дисконтированных прибылей за отдельные интервалы времени.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ВЫСТРАИВАЕТСЯ ИЕРАРХИЯ ДВУХ ВЕРСИЙ (КОПИЙ) МЕТОДОВ НЕЛДЕРА – МИДА И ОДНОГО МЕТОДА БОКСА. НА РИС. 2.5 ПРИВЕДЕНА БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ.

Начало алгоритма Ввести n-число выпускаемых продуктов, m-число используемых ресурсов, число интервалов времени T, на которые разбит горизонт планирования.

Ввести матрицу расхода ресурсов А, стоимость инвестиций в увеличение и доходов от ликвидации ресурсов на единицу I+, I– и норму дисконта.

Ввести минимальную qmint и максимальную qmaxt прибыль от единицы продукции, функции спроса для всех продуктов xmaxt = f(qt) для t = 1, 2, …, T, запас ресурсов предприятия b0. Значение целевой функции общей дисконтированной прибыли Qобщ = Вычисление xmaxt = f(qmaxt) и btmax = Axmaxt Цикл 1. Поиск оптимального варианта bt*, t = 1, 2, …, T первой версией метода Нелдера–Мида для всех t сразу Выбор bt = bt', для всех t Нет Да bmint bt bmaxt – для всех t Принимается Цикл 2. Поиск оптимального варианта qt* наихудшее второй версией метода Нелдера–Мида значение целевой функции Qобщ=Qmin Рис. 2.5 Алгоритм поиска оптимального решения для нескольких интервалов времени Выбор qt = qt' Да qtmin qt qtmax Нет Цикл 3. Поиск оптимального Принимается варианта xt* методом Бокса наихудшее значение целевой функции Qt = Qmin Выбор xt = xt' Да xmint xt xmaxt Вычисление Qt Нет при qt', b't, xt' Принимается наихудшее значение целевой Конец цикла функции Qt = Qmin Конец цикла Вычисление Qобщ = Q1 + Q2 +…+ QT Конец цикла Конец алгоритма Рис. 2.5 (Продолжение) Решим ряд примеров поставленной задачи.

Пусть планируются к продаже два продукта x1 и x2 на пяти временных интервалах t = 1, 2, 3, 4, 5.

Норма дисконта равна 20 %. Тогда коэффициент дисконтирования d = 0,833; 0,694; 0,579; 0,482; 0,402.

Пусть инвестиции в увеличение ресурсов предприятия осуществляются на том же интервале времени, что и осуществление продажи продукции в объеме, обеспеченном указанными инвестициями.

Пусть функции спроса на выпускаемую продукцию имеют следующую временную динамику (табл. 2.1).

2.1 ФУНКЦИИ СПРОСА НА ПРОДУКЦИЮ ЗначеПродукт 1 Продукт ния t max max = –1,4q1+50 = –1,6q2+1 x1 xmax max = –1,45q1+50 = –1,63q2+2 x1 xmax max = –1,5q1+50 = –1,66q2+3 x1 xmax max = –1,55q1+50 = –1,69q2+4 x1 xmax max = –1,6q1+50 = –1,72q2+5 x1 xТаким образом, спрос на продукцию предприятия имеет тенденцию к сокращению, т.е. по одной и той же цене с течением времени максимально можно продать все меньше и меньше продукции.

Диапазон изменения прибыли от единицы продукции для первого продукта: qt1 = (5…30), для второго продукта: qt 2 = (10…40) для всех интервалов времени. Начальный запас ресурсов b0 = (4000; 7000;

4000). Рассмотрим два варианта инвестиций на увеличения запаса ресурсов на 100 единиц: I1 = (5; 3; 6) и I2 = (1; 0,6; 1,2).

Система ограничений определяется bt и xtmax и имеет следующий вид:

250 x1 + 150 x bt1, 350 x1 + 250 x bt 2, 100 x1 + 200 x bt, 2 max t1 t0 x x, 0 x x.

max t 2 t На рис. 2.6 представлено изменение значения общей дисконтированной прибыли за все интервалы времени в зависимости от прибыли q для двух вариантов I.

Здесь для 1 – 3 и 5 вариантов постановки задачи оптимизации значения прибыли от единицы выпускаемой продукции фиксированы. Для оптимальных вариантов значения прибыли, как и все остальные, находились при помощи описанных в работе процедур.

Следует отметить, что при расчетах закладывалось условие, что с каждым новым интервалом времени количество запаса ресурсов предприятия по каждой составляющей не должно уменьшаться. Данное дополнительное условие характеризует необходимость сохранять производственные мощности, персонал и оборотный капитал предприятия с течением времени. Однако оно не является обязательным, по крайней мере, для запасов материальных ресурсов.

3075,2700,2369,2184,2086,1987,1938,1364,1196,827,(5,10) (10,15) (20,30) Оптимальный (25,25) вариант Варианты значений прибыли, q.

Инвестиции на единицу ресурса (5, 3, 6) Инвестиции на единицу ресурса (1, 0.6, 1.2) Рис. 2.6 Диаграмма решений вариантов задачи оптимизации для нескольких временных интервалов В данном случае, как видно из рис. 2.6, при обоих вариантах I имеются точки максимума – оптимальные варианты решения задачи оптимизации для пяти интервалов времени. Оптимальные решения задачи оптимизации для двух вариантов I приведены в табл. 2.2 и 2.3.

2.2 Оптимальное решение задачи оптимизации при I = (5, 3, 6) t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = q 424,972957 753,892262 614,414388 499,631748 407,b b1 = 7668,8 b1 = 7668,8 b1 = 7668,8 b1 = 7668,8 b1 = 7668,87; 87; 87; 87; 87;

b2 = 11731, b2 = 11777, b2 = 11777, b2 = 11777, b2 = 11777, 989; 529; 529; 529; 529;

b3 = 6576,9 b3 = 6576,9 b3 = 6576,9 b3 = 6576,9 b3 = 6576,12, 12, 12, 12, 12, c c1 = 21,491; c1 = 24,552; c1 = 23,673; c1 = 22,912; c1 = 22,156;

c2 = 26,108, c2 = 28,082, c2 = 27,578, c2 = 27,073, c2 = 26,591, Общая дисконтированная прибыль, Q общ x x1 = 15,627; x1 = 15,647; x1 = 15,633; x1 = 15,639; x1 = 15,604;

x2 = 25,069, x2 = 25,047, x2 = 25,058, x2 = 25,061, x2 = 25,083, Qобщ = 2700,091.

2.3 Оптимальное решение задачи оптимизации при I = (1; 0,6; 1,2) t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = q 704,385541 780,075241 642,926831 522,682224 425,b b1 = 8747,7 b1 = 8747,7 b1 = 8747,7 b1 = 8747,7 b1 = 8747,64; 64; 64; 64; 64;

b2 = 10775, b2 = 13153, b2 = 13153, b2 = 13153, b2 = 13153, 990; 918; 918; 918; 918;

b3 = 7171,8 b3 = 7171,8 b3 = 7171,8 b3 = 7171,8 b3 = 7171,86 86 86 86 c c1 = 23,453; c1 = 22,419; c1 = 21,650; c1 = 20,917; c1 = 20,288;

c2 = 25,794 c2 = 27,156 c2 = 26,666 c2 = 26,179 c2 = 25,x x1 = 18,613; x1 = 18,607; x1 = 18,623; x1 = 18,553; x1 = 12,475;

x2 = 26,551 x2 = 26,534 x2 = 26,543 x2 = 26,573 x2 = 25,Qобщ = 3075,885.

Теперь пусть функции спроса на выпускаемую продукцию имеют другую временную динамику (табл. 2.4).

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.