WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 26 |

a) При монотонном функционале организация, оптимальная на D( f ), будет оптимальна и на O( f ), а организация, оптимальная на Dr ( f ), будет оптимальна и на Or ( f ) (см. теор. 1.4 и следствие).

То есть при монотонном функционале дерево минимальной стоимости также будет и оптимальной организацией одно группы.

b) При монотонном выпуклом на наборах непересекающихся групп функционале организация, оптимальная на D2 ( f ), будет оптимальна и на D( f ), Dr ( f ), O( f ), Or ( f ) (см. следствие 2 к теор. 1.5). То есть при монотонном выпуклом функционале 2дерево минимальной стоимости также будет и оптимальной организацией одно группы.

c) При монотонном вогнутом на наборах непересекающихся групп функционале веерная организация будет оптимальна на ~ O( f ) и O( f ) (см. теор. 1.6 и следствие).

d) При поиске оптимального дерева на D( f ) и Dr ( f ) можно ограничиться деревьями без повторяющихся групп (см. теор. 1.7).

Как указано выше, считаем, что Op (f ) содержит лишь организации без повторяющихся групп, таким образом, множество Op (f ) вложено во множества ~ ~ O(f ), Or (f ).

Алгоритмы поиска таких деревьев построены в главе III и позволяют исчерпывающим образом решить задачу об ~ ~ оптимальной организации на O( f ), Or ( f ), а при монотонном функционале и на O( f ), Or ( f ) (см. п. a). При монотонном выпуклом на наборах непересекающихся групп функционале используются алгоритмы поиска оптимального 2-дерева с меньшей сложностью (см. п. b).

Примеры использования построенного аппарата при рассмотрении частных задач в рамках общей постановки приведены в §1 главы II. Примеры функционалов, анализ их монотонности, выпуклости, вогнутости, существенной выпуклости и выводы из теорем 1.4-1.8 для каждого из примеров приведены в §2 главы II.

Глава II. Общие методы оптимизации иерархических структур в частных задачах.

В данной главе различные частные задачи рассматриваются в контексте общей задачи оптимизации иерархических структур, которая сформулирована и частично решена в предыдущей главе.

В §1 рассмотрены задачи, имеющие конкретную содержательную интерпретацию. В §2 исследуются различные примеры структурных функционалов стоимости. В конце главы кратко резюмируются результаты использования общих методов главы I для анализа частных постановок задачи об оптимальной иерархии.

§1. Примеры задач поиска оптимальной структуры.

Во многих работах, в частности в [37, 41, 43], под сложной системой понимается множество элементов, взаимодействующих между собой определенным образом. Управление элементами состоит в некоторой координации их взаимодействий. То есть некоторые элементы подчиняются управляющему центру, который координирует их связи. Управляющие центры, в свою очередь, могут подчиняться центрам более высокого уровня, которые координируют связи между множествами элементов, и так далее.

Управляющий центр высшего уровня координирует взаимодействие всех элементов. Формально это описывается следующим образом.

Иерархией над множеством элементов N = {a1,, an} называется дерево, вершины которого являются некоторыми подмножествами N ; корнем является f = N ; множества g1,, gk на концах дуг, входящих в g, удовлетворяют условиям g = g1 gk, gi g =, 1 i < j k ; висячими вершинами j являются одноэлементные подмножества N.

Определенная таким образом в [41] иерархия1 является, согласно определениям 1.19 и 1.27, деревом организации группы С точностью до обозначений и направления дуг в дереве не от корня к листьям, а наоборот.

f, то есть принадлежит D( f ). В зависимости от конкретной содержательной интерпретации элементов и управляющих центров, в различных частных постановках по разному определяется функционал стоимости, возможны различные ограничения на деревья, то есть исследуемое множество структур является подмножеством D( f ): D( f ). Далее в этом параграфе рассмотрены различные примеры таких задач.

1. Оптимальная организация технологического взаимодействия элементов.

Как отмечается в различных работах (см., например, [45, 52]), структура производственных потоков в наибольшей степени определяет организационную структуру. В связи с этим интересно рассмотреть задачу надстройки управляющего графа организации над множеством элементов, связанных технологическими взаимодействиями. Обобщив некоторые известные постановки, в [17] задача поставлена следующим образом.

Технологическим графом над множеством элементов N назовем ориентированный граф без петель T = (N, ET ), ребрам которого (u,v) ET сопоставлены s-мерные вектора lT (u,v) с s неотрицательными компонентами: lT : ET R+. Вершины графа T – это элементарные операции технологического процесса предприятия или конечные исполнители. Связь (u,v) ET в технологическом графе означает, что от элемента u к элементу v идет s -компонентный поток сырья, материалов, энергии, информации и т. п. Интенсивность каждой компоненты потока и определяется компонентами вектора lT (u,v).

Исходной информацией для построения технологического графа может служить анализ различных аспектов функционирования предприятия, например, анализ структуры систем связи [33, 38, 46], анализ документооборота [20] и т. п.

Простой пример технологического графа с двухкомпонентными потоками (первая компонента – документы, вторая – “устная информация”) приведен на рис. 2.1. Вершины данного графа можно рассматривать и как рабочие места, и как операции. Часто при организации подобных технологических процессов ограничиваются тем, что назначают ответственных за выполнение той или иной операции. Однако в общем случае для нормального функционирования системы этого недостаточно, так как технологические связи между операциями (исполнителями) специально не контролируются. То есть необходимо создание управляющих центров, которые координируют взаимодействие элементов.

Сбор Согласование информации о условий с поставщиках поставщиками (маркетолог 1) (менеджер 1) Подготовка Визирование проектов договоров договоров (бухгалтер) (юрист) (3, 0) Анализ предложений (маркетолог 3) Сбор Согласование информации о условий с покупателях заказчиками (маркетолог 2) (менеджер 2) Рис. 2.1. Технологический граф процесса подписания договоров.

Считаем технологический граф связным1, так как в противном случае происходит декомпозиция на никак не связанные друг с другом части, которые могут быть рассмотрены по отдельности. Для того чтобы каждая связь кем-то контролировалась, и каждая вершина была подчинена только одному “начальнику”, необходимо наличие управляющего центра, которому подчинено все множество исполнителей (элементов) f = N. Таким образом, рассматривается множество всевозможных деревьев организации: = D( f ).

Имеется в виду связность при рассмотрении ребер как неориентированных. В этом случае при любом разбиении множества вершин N на части N1 и N2, N = N1 N2, N1 N2 = существуют ребра, идущие из N1 в N2 или наоборот.

( ( ),,, ) ) ( ( ) ),,, ) ( ( Рассмотрим группу элементов g 2N \ {}. Через lT (g) обозначим суммарную интенсивность потоков внутри группы, то есть lT (g) = l (u, v). Пусть в некотором дереве T u,vg,(u,v)ET D = (V, E) D( f ) группа g V организуется из непересекающихся подгрупп QD (g) = {g1,, gk }. Тогда центр, соответствующий группе g, координирует потоки между подгруппами g1,, gk. Их суммарная интенсивность, очевидно, равна lT (g) - lT (g1) - - lT (gk ). Предполагаем, что затраты на содержание (функционирование) управляющего центра являются некоторой неотрицательной функцией K () от интенсивности координируемого потока. Тогда можно записать функционал стоимости организации взаимодействия подгрупп g1,, gk следующим образом:

PT,K (g1,, gk ) = K (lT (g1 gk ) - lT (g1) - - lT (gk )).

Стоимость P(D) = gV \ND P(g1,, gk ) (QD (g) = {g1,, gk }) содержания (функционирования) всей организации D будет структурным функционалом и задача об оптимальной организации технологического взаимодействия – частный случай общей задачи об оптимальной организации на D( f ).

Построенные в главе III алгоритмы поиска оптимального дерева могут быть использованы для решения задачи в общем случае. Кроме того, ниже доказываются некоторые аналитические результаты.

Частный случай поставленной задачи рассмотрен, например, в [37]. Связи между элементами (ребра технологического графа) характеризуются тремя градациями “интенсивности” взаимодействия: низкая, средняя и высокая, после чего применяется эвристический алгоритм группировки наиболее “связанных” элементов, затем наиболее “связанных” групп и т.д.

На рис. 2.2 приведены примеры “надстройки” дерева организации над технологическим графом. На рисунке слева организация состоит из элементов технологического графа 1-7 и трех управляющих центров (узлов) I, II, III. Подчиненными узла I являются все маркетологи (элементы 1-3 технологического графа), подчиненными узла II – менеджеры и юрист (элементы 4-6), в подчинении узла III – узлы I, II и бухгалтер (элемент 7). Группы, подчиненные узлам I, II, III, обведены криволинейными фигурами.

В середине рисунка приведен пример 2-дерева, справа изображена веерная организация.

III I II 1 1 4 1 3 6 3 6 3 6 2 5 2 2 Рис. 2.2. Примеры структур системы управления технологическими связями.

s Утверждение 2.1. Если для любых векторов l,l R+ выполнено K(l + l ) K(l ) + K(l ), то для любого технологического графа T функционал PT,K выпуклый на наборах непересекающихся групп, а если K(l + l ) K(l ) + K(l ) – вогнутый.

Доказательство. Пусть {g1,, gk } – произвольный набор непересекающихся групп, k 3. Рассмотрим произвольное разбиение на поднаборы {h1,,hi}, {hi+1,, hk }, 1 < i < k (см. опр.

1.30). Рассмотрим следующие векторы, l = lT (g) - lT (g1) - - lT (gk ) l = lT (h) - lT (h1) - - lT (hi ), l = lT (g) - lT (h) - lT (hi+1) - - lT (hk ), где h = h1 hi, g = g1 gk. Выполнено l + l = lT (g) - - lT (h1) - - lT (hi ) - lT (hi+1) - - lT (hk ) = l. Кроме того, можно записать равенства P(g1,, gk ) = K(l), P(h1,, hi ) = K(l ), P(h, hi+1,, hk ) = K(l ). Если K(l + l ) K(l ) + K(l ), то выполнено неравенство а) определения 1.30, а если K(l + l ) K(l ) + K(l ) – то неравенство b). Утверждение доказано.

Таким образом, если функция затрат супераддитивна (выполнено первое неравенство утв. 2.1), то существует 2-дерево организации, оптимальное на D( f ) (см. следствие 1 к теор. 1.5).

Если функция затрат субаддитивна (выполнено второе неравенство утв. 2.1), то оптимальна веерная организация (см.

следствие к теор. 1.6). В первом случае для решения задачи можно воспользоваться алгоритмами поиска оптимального 2-дерева, которые имеют меньшую сложность, чем для произвольного дерева (см. гл. III). Во втором случае оптимальная организация найдена.

Если функция K (l) зависит только от линейной комбинации компонент вектора l = (l1,...,ls ), то есть имеет вид K (l) = K ( l1 +... + ls ), то можно заменить все вектора на 1 s ребрах технологического графа соответствующими величинами и рассмотреть вместо функции K() одномерную функцию затрат K ().

Лемма 2.1. Если K(0) = 0 и одномерная функция затрат K() выпукла, то K(x + y) K (x) + K( y), а если вогнута, то K(x + y) K(x) + K( y) для любых x, y 0.

Доказательство. Для выпуклой функции и любых a,b 0, 0 1 выполнено K ( a + (1- )b) K(a) + (1 - )K (b).

Положим a = 0, b = x + y. Тогда при = y /(x + y) с учетом K(0) = 0 имеем K (x) K (x + y) x /(x + y). При = x /(x + y) имеем K ( y) K(x + y) y /(x + y). Складывая два неравенства, получим K(x) + K ( y) K(x + y). Для вогнутой функции все неравенства изменятся на противоположные. Лемма доказана.

То есть при условиях леммы 2.1 выпуклость влечет супераддитивность, вогнутость – субаддитивность. Рис. 2.иллюстрирует полученные результаты. При вогнутой функции затрат (рис. 2.3 справа) выгоднее координировать один большой поток, чем несколько малых. То есть оптимальное дерево – веерная организация – содержит один центр, которому подчинены все элементы. При выпуклой функции затрат (рис. 2.3 слева) выгоднее координировать несколько малых потоков, чем один большой. То есть если некоторый центр координирует более двух групп, то выгоднее ввести еще один промежуточный центр. В результате оптимально 2-дерево организации, которое имеет максимальное количество центров управления.

Рис. 2.3. Выпуклая и вогнутая функция затрат.

Если для одномерной выпуклой функции затрат выполнено K(0) > 0, то условие K(x + y) K(x) + K(y) может не выполняться, и, следовательно, 2-деревья могут не быть оптимальными.

Величину K (0) можно рассматривать как начальные затраты по содержанию узла при нулевом контролируемом потоке. Для этого случая, интересного с содержательной точки зрения, в [17] предложен эвристический алгоритм решения.

2. Оптимальное алфавитное кодирование.

В алгебраической теории кодирования рассматриваются два алфавита (см., например, [42]): входной {a1,, an} и выходной {b1,,br}. Считается заданным алфавитный код (схема кодирования), если каждому символу ai входного алфавита сопоставлена непустая последовательность символов (кодовое слово) wi выходного алфавита. Длину слова wi обозначим через li 1. Код называется разделимым (декодируемым), если любая последовательность кодовых слов, записанных подряд, имеет только одну интерпретацию, то есть может быть разделена на подряд идущие кодовые слова единственным образом. Код называется префиксным, если wi не является началом никакого слова wj, i j. Очевидно, что любой префиксный код разделим.

Для любого разделимого кода выполнено неравенство Макмиллана i=1,n1/ rli 1 [51]. Известно (см., например, [42]), что если величины l1,,ln удовлетворяют неравенству Макмиллана, то существует префиксный код с длинами слов l1,,ln. Таким образом, для любого разделимого кода с длинами l1,,ln существует префиксный код с такими же длинами. По этой причине в теории кодирования рассматриваются, в основном, префиксные коды, которые имеют наиболее простую процедуру декодирования.

Считаем заданными вероятности p1,, pn появления символов a1,,an в тексте, p1 + + pn = 1. Если входной текст имеет длину L, то математическое ожидание длины кодового сообщения составит L( p1ll + + pnln ). Разделимый код называется оптимальным (кодом с минимальной избыточностью [48]), если величина p1ll + + pnln минимальна, то есть минимальна средняя длина кодовых сообщений. Задача об оптимальном коде состоит в поиске оптимального префиксного кода для заданных вероятностей.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.