WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 26 |

Доказательство. Пусть k = max QG (g). Если k 2, то gV найдена искомая 2-организация. Пусть k 3. Найдется g V, для которой QG (g) = {g1,, gk }. В силу выпуклости функционала существует разбиение набора {g1,, gk } на поднаборы {h1,,hi} и {hi+1,,hk }, для которого P(g1,, gk ) P(h1,,hi) + + P(h,hi+1,,hk ), h = h1 hi, 1 < i < k. Добавим в G вершину h,1 организовав ее из подгрупп h1,,hi. Изменим входящие в g ребра так, чтобы она организовывалась из подгрупп h,hi+1,,hk.

При {h1,,hi} = {g1,, gi} перестроение изображено на рис. 1.5.

Получим организацию G O(f ), причем P(G ) P(G). Имеем QG (g) = k - i +1 < k, QG (h) = i < k. То есть в h и g входит менее k ребер. Число вершин, в которые входит k ребер, уменьшилось на единицу. Проделывая аналогичные перестроения, получим в итоге организацию G, для которой k = max QG(g) < k и gV P(G ) P(G). Если k > 2, то повторим рассуждения. В результате придем к искомой 2-организации. Теорема доказана.

g g h g1 … gi gi+1… gk g1 … gi gi+1 … gk Рис. 1.5. Перестроение графа при выпуклом функционале.

Следствие 1. При выпуклом на наборах непересекающихся групп функционале для любой организации без пересечений ~ G = (V, E) O(f ) набора групп f существует 2-организация без ~ пересечений G2 O2 (f ) не большей стоимости: P(G2 ) P(G).

Если группа, равная h, уже присутствует в графе, то одинаковые группы не отождествляются, а во множестве вершин появляется повторение.

Доказательство. Возьмем G в качестве начального графа при доказательстве теоремы 1.5. Для любой вершины g V набор QG (g) = {g1,, gk } не содержит пересекающихся групп.

Следовательно, для перестроения G достаточно выпуклости на наборах непересекающихся групп. После перестроения получим ~ организацию G O(f ), которая также не содержит пересечений, что позволяет продолжить рассуждения. Следствие доказано.

Следствие 2. При выпуклом на наборах непересекающихся групп монотонном функционале для любой организации G O( f ) группы f существует 2-дерево D2 D2 ( f ) не большей стоимости: P(D2 ) P(G).

Доказательство. По теореме 1.4 существует дерево организации D D( f ), для которого P(D) P(G). По следствию ~ существует 2-организация без пересечений G2 O( f ), для которой P(G2 ) P(D). По утверждению 1.2 G2 – искомое 2дерево D2. Следствие доказано.

Теорема 1.6. При вогнутом на наборах непересекающихся групп монотонном функционале веерная организация одной группы f оптимальна на O( f ).

Доказательство. Пусть G O( f ) – организация, оптимальная на O( f ). По теореме 1.4 существует дерево D = (V, E) D( f ), P(D) P(G). То есть P(D) = P(G) и дерево D оптимально на O( f ). Если V = { f } NG, то D – веерная организация. В противном случае рассмотрим промежуточную группу g V \ ({ f } NG ). Пусть QD (g) = {g1,, gk1}. Из g выходит ровно одно ребро в некоторую вершину h. Пусть QD (h) = {g,h1,,hk2 }. По утверждению 1.2 в наборах QD (g) и QD (h) нет пересекающихся групп. Учитывая g = g1 gk1, получим, что пересекающиеся группы отсутствуют и в наборе Q (h) = {g1,, gk1,h1,, hk2 }. То есть на данном наборе функционал вогнут, следовательно P(g1,, gk1, h1,, hk2 ) P(g1,, gk1 ) + P(g, h1,, hk2 ). Удалим g, а h организуем из набора подгрупп Q (h) (см. рис. 1.6).

Получим оптимальное дерево организации группы f, которое содержит на одну промежуточную вершину меньше, чем G. Продолжая такие действия, докажем оптимальность веерной организации одной группы. Теорема доказана.

h h g g1 … gk h1 … hk g1 … gk h1 … hk 1 2 1 Рис. 1.6. Перестроение оптимального дерева при вогнутом функционале.

Следствие. При вогнутом на наборах непересекающихся групп функционале веерная организация одной группы f ~ оптимальна на O( f ).

~ Доказательство. По утверждению 1.2 O( f ) = D( f ). Таким ~ образом, оптимальная на O( f ) организация будет деревом. Его можно использовать в качестве дерева D в доказательстве теоремы 1.6. При этом монотонность функционала не потребуется.

Следствие доказано.

3. Организации без повторяющихся групп.

~ Теорема 1.7. Для каждого из множеств O2 (f ), Op (f ), O(f ), ~ Or (f ), а при монотонном функционале и для множеств O(f ), Or (f ), существует организация без повторяющихся групп, оптимальная на данном множестве.

Доказательство. Пусть G = (V, E) – организация, оптимальная на одном из вышеперечисленных множеств.

Предположим, что группа g V встречается в G два или более раз. Обозначим экземпляр g, который не подчинен никаким другим экземплярам, через g (он существует, так как граф ацикличен), а некоторый другой экземпляр – через g.

Рассмотрим ребро (g, h). Выполнено g QG (h). Если ~ ~ G O(f ) или G Or (f ), то g QG (h), иначе в графе G нашлось бы пересечение. Если G O2 (f ) или G Op (f ), то g QG (h), иначе выполнялось бы QG (h) = {g, g }, h = g g = g, то есть группа g была бы подчинена еще одному экземпляру g, что противоречит определению g. Если функционал монотонен, G O(f ) или G Or (f ), то при g QG (h) удалим ребро (g, h), получим оптимальную организацию, принадлежащую тому же множеству, что и G. В результате во всех случаях (g, h) E.

Удалим ребро (g, h) и добавим ребро (g, h), то есть перенесем начало ребра из g в g. По определению g h g, то есть при перестроении не образуется петель (циклов). После изменения ребра множество QG (h) не изменилось, так как вместо группы g в набор QG (h) вошла точно такая же группа g. Получили оптимальную организацию, принадлежащую тому же множеству, что и G.

Продолжая удалять ребра вида (g, h), придем к организации, в которой вершина g – терминальная. Удалим ее и инцидентные ребра. При этом все группы из набора f останутся в графе (мы удалили повторяющуюся группу), стоимость не возрастет.

Получили оптимальную на соответствующем множестве организацию, число экземпляров g в которой уменьшилось на единицу. Продолжая аналогичные действия, в итоге получим организацию без повторений g. Для остальных повторяющихся групп проделываем то же самое, что и для g. Получим оптимальную организацию без повторяющихся групп. Теорема доказана.

Лемма 1.4. Если организация G = (V, E) не содержит повторяющихся групп, то для любой вершины g V \ NG выполнено QG (g) 2; любая подгруппа h QG (g) вложена в g собственным образом: h g ; все элементарные вершины {a}V являются начальными: {a} NG.

Доказательство. Выполнено g = g1 gk, где QG (g) = {g1,, gk }. При k = 1 g = g1, то есть группы повторяются, следовательно k 2. Для любого i = 1, k выполнено gi g. Если gi = g, то группы повторяются, следовательно gi g. В элементарную группу {a} могут входить ребра только из таких же групп. Так как повторения отсутствуют, то в {a} ребер не входит, то есть {a} NG. Лемма доказана.

4. Существенно выпуклые функционалы.

Определение 1.32. Структурный функционал стоимости назовем существенно выпуклым, если он выпуклый и для любого набора неэлементарных групп {g1, g2} выполнено по крайней мере одно из двух условий:

а) для любого a g1: P(g1, g2) P(g1 \{a},g2) + P((g1 \{a}) g2,{a}), b) для любого a g2 : P(g1, g2) P(g1, g2 \{a})+ P(g1 (g2 \{a}),{a}).

То есть функционал существенно выпуклый, если при организации двух неэлементарных подгрупп можно из одной удалить произвольный элемент, а затем организовать его с полученной группой, не увеличивая стоимости.

Теорема 1.8. При существенно выпуклом функционале для любой организации G O(f ) набора групп f существует последовательная организация Gp Op (f ) не большей стоимости:

P(Gp ) P(G).

Доказательство. По теореме 1.5 существует 2-организация G2 O2 (f ), P(G2 ) P(G). По теореме 1.7 существует 2-организация без повторяющихся групп G2 = (V, E) O2 (f ), P(G2 ) P(G2 ) P(G). По лемме 1.4 для g V \ NG2 выполнено QG2 (g) = 2. Назовем вершину g графа G2 неправильной, если она организуется из двух неэлементарных подгрупп. В противном случае назовем ее правильной. Если в графе G2 нет неправильных вершин, то G2 – последовательная организация (см. опр. 1.24).

Пусть g – такая неправильная вершина, все подчиненные вершины которой правильны. Пусть QG2 (g) = {g1, g2}. Тогда g1 и g2 – неэлементарные правильные вершины, и, следовательно, QG2 (g1) = {g1 \ {a },{a }}, QG2 (g2 ) = {g2 \ {a },{a }}.

Функционал – существенно выпуклый. Пусть выполнено условие a) определения 1.32. Добавим вершину g3 = (g1 \ {a }) g2,1 организовав ее из g1 \{a } и g2. После этого организуем g из {a } и g3 (см. рис. 1.7). Получим 2-организацию G. В силу P(g1, g2 ) P(g1 \ {a }, g2 ) + P(g3,{a }) имеем P(G ) P(G2 ). Если выполнено условие b) определения 1.32, то рассуждаем аналогично, заменяя g1 на g2 и {a } на {a }.

g g gg1 g2 g1 g {a } g1 \{a } g2 \{a } {a } {a } g1 \ {a } g2 \ {a } {a } Рис. 1.7. Перестроение графа при существенно выпуклом функционале.

Итак, в обоих случаях получим 2-организацию G O2 ( f ), в которой вершина g правильна. Как и в G2, во все неначальные вершины G входит 2 ребра. Пусть вершина g3 неправильна.

Мощность g3 меньше, чем мощность g, все вершины, подчиненные g3, правильны. Повторим перестроение, взяв вместо G2 граф G, а вместо g вершину g3, что снова уменьшит мощность неправильной вершины. Продолжая перестроения, в итоге получим 2-организацию G, в которой на одну неправильную вершину меньше, чем в G, и выполнено P(G ) P(G). Проделав вышеуказанные действия нужное число раз, придем к 2-организации без неправильных вершин, то есть к последовательной организации Gp, P(Gp ) P(G). Теорема доказана.

Далее в работе считаем, что Op (f ) содержит только организации без повторяющихся групп. В силу теоремы 1.решение задачи на таком множестве будет решением и на исходном множестве. По лемме 1.4 для произвольной организации G = (V, E) Op (f ) и любой вершины g V \ NG выполнено QG (g) = {h,{a}}, где {a} NG, {a} h (иначе группы повторяются). То есть любая неэлементарная группа организуется Если группа, равная g3, уже присутствует в графе, то одинаковые группы не отождествляются, а во множестве вершин появляется повторение.

путем “добавления” элемента к некоторой своей подгруппе. Таким ~ образом, G не содержит пересечений, то есть G O2 (f ).

Последовательная организация G Op ( f ) одной группы ~ представляет собой частный случай 2-дерева: G D2 ( f ) = O2 ( f ).

В G группа f = {a1,,an} организуется из некоторой элементарной подгруппы {ain } и подгруппы gn-1 = f \ {ain }. В свою очередь, gn-1 организуется из некоторой элементарной подгруппы {ain-1} и подгруппы gn-2 = gn-1 \ {ain-1 }. И так далее, g2 организуется из элементарных подгрупп {ai2 } и {ai1}. Здесь через (i1,,in ) обозначена произвольная перестановка чисел (1,,n). Таким образом, любая последовательная организация одной группы состоит из элементарных групп {ai1},,{ain }, которые последовательно организуются в группы g2,, gn, где gn = f. Общий вид последовательной организации одной группы приведен на рис. 1.8. Введем определение, которое понадобится в последующих главах.

gn = f gn- gn- g3 … g {ai } {ai } {ai } … {ai } {ai } {ai } 1 2 3 n-2 n -1 n Рис. 1.8. Общий вид последовательной организации одной группы.

Определение 1.33. Будем говорить, что в последовательной организации G Op ( f ) одной группы f = {a1,,an} на j -ом месте стоит элемент ai j, j = 1, n, где (i1,,in ) – произвольная перестановка чисел (1,,n).

Подведем итоги данной главы, кратко охарактеризовав полученные методы решения задачи об оптимальной иерархии.

В §1 задача об оптимальной иерархии поставлена в общем виде: на произвольном множестве ориентированных ациклических графов найти граф, минимизирующий произвольный функционал стоимости. В данной работе изучаются лишь конечные графы (некоторые методы изучения бесконечных иерархий приведены в [16]). Доказано, что функционал локален тогда и только тогда, когда он аддитивен (см. теор. 1.1). Тем самым дана содержательная интерпретация локальных функционалов. То есть если априори ясно, что исследуемый функционал аддитивен, то можно считать его представимым в виде суммы стоимостей отдельных звеньев. Введено свойство простоты функционала, которое подразумевает аддитивность и равенство стоимостей структурно эквивалентных графов (одинаковых с точностью до переименования неначальных вершин). Доказано (см. теор. 1.2 и 1.3), что в общем случае простота эквивалентна структурности (см.

опр. 1.17). Тем самым дана содержательная интерпретация структурных функционалов, которые и исследуются в данной работе.

В §2 построено отображение исходного множества произвольных графов во множество графов организации (см. опр.

1.19) и показано, что в случае структурного функционала решение задачи на множестве графов организации даст решение и на исходном множестве. Введены различные варианты множества ~ ~ графов организации: O(f ), Or (f ), Op (f ), O(f ), Or (f ) (см. опр.

1.22-1.25). В дальнейшем разрабатываются методы решения задачи на этих множествах.

В §3 определяются свойства монотонности, выпуклости, вогнутости, существенной выпуклости структурного функционала и доказываются теоремы 1.4-1.8 по поводу вида оптимальной организации для вышеуказанных вариантов функционала. Одна из возможных аналогий с выпуклостью и вогнутостью в ”классическом” смысле приведена в пункте 1 §1 главы II. По поводу организации произвольного набора групп f можно сделать следующие выводы из теорем 1.5, 1.7, 1.8:

a) При выпуклом функционале организация, оптимальная на O2 (f ), будет оптимальна и на Or (f ), O(f ), а организация, ~ ~ ~ оптимальная на O2 (f ), будет оптимальна и на Or (f ), O(f ) (см.

теор. 1.5 и следствие 1). То есть оптимальна 2-организация произвольного набора групп.

b) При существенно выпуклом функционале организация, ~ оптимальная на Op (f ), будет оптимальна и на O(f ), Or (f ), O(f ), ~ Or (f ) (см. теор. 1.8)1. В главе IV построены алгоритмы, позволяющие решить задачу об оптимальной организации на Op (f ). Следовательно, для существенно выпуклого функционала алгоритмы главы IV исчерпывающим образом решают задачу на ~ ~ O(f ), Or (f ), O(f ), Or (f ).

c) При поиске оптимальной организации на O2 (f ), Op (f ), ~ ~ O(f ), Or (f ) можно ограничиться организациями без повторяющихся групп, а в случае монотонного функционала то же верно и для множеств O(f ), Or (f ) (см. теор. 1.7).

По поводу организации одной группы f можно сделать следующие выводы из теорем 1.4-1.7 (напомним, что по утв. 1.~ ~ D( f ) = O( f ), Dr ( f ) = Or ( f )):

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.